計算流體力學基本原理及其發(fā)展現(xiàn)狀之我見

1、計算流體力學基本原理及其發(fā)展現(xiàn)狀之我見 一、計算流體力學基本原理計算流體力學或計算流體動力學，英文Computational Fluid Dynamics，簡稱CFD，是用電子計算機和離散化的數值方法對流體力學問題進行數值模擬和分析的一個分支。計算流體力學是目前國際上一個強有力的研究領域，是進行傳熱、傳質、動量傳遞及燃燒、多相流和化學反應研究的核心和重要技術，廣泛應用于航天設計、汽車設計、生物醫(yī)學工業(yè)、化工處理工業(yè)、渦輪機設計、半導體設計、HAVC&R 等諸多工程領域，板翅式換熱器設計是CFD 技術應用的重要領域之一。為了說明計算流體力學主要方法，需先了解流體力學運動的基本方程的性質和

2、分類。流體力學的基本方程是在19 世紀上半葉由C.-L.-M.-H.納維和G.G.斯托克斯等人建立的，稱為納維斯托克斯方程，簡稱N-S方程。1、非定?？蓧嚎sNavierStokes方程不計質量力的情況下，在直角坐標系中，守恒型NS方程可以寫為下列向量形式：， 其中 ， ，。如果忽略NS方程中的粘性和熱傳導，得到的簡化方程為Euler方程：。 方程、稱為向量守恒型方程。其重要特點是：連續(xù)、動量和能量方程被寫為統(tǒng)一形式。其中，均為列向量，是方程的解向量，稱為守恒變量；稱為通量（flux），具體說為無粘通量，為粘性通量。所謂守恒型方程，是空間導數項為散度的形式的方程。（3）式所示的向量型守恒方程，實

3、際上仍然是散度形式。顯然，（3）式的另一種等價形式為：， 其中，或，通量張量，為直角坐標系三個坐標軸方向的單位基矢量。把式在任意固定的控制體上積分，并利用Gauss公式，有。 這就是守恒積分型方程?？梢?，守恒的微分、積分型方程之間有直接的聯(lián)系。式是我們以后將要講到的有限體積方法的出發(fā)方程，而、或是則是有限差分方法的出發(fā)方程。2、流體力學方程的簡化形式根據具體流動狀態(tài)，NS方程可以進行各種簡化。簡化的形式及其適用條件是理論流體力學的重要研究內容之一。這里我們對于各種簡化方程作一歸納，見下圖：圖1.NS方程的簡化形式3、曲線坐標系中的基本方程當求解域的形狀比較復雜時，計算流體力學方法通常在曲線坐標

4、系中實施。因此，有必要得到曲線坐標系中流體力學基本方程的形式。在曲線坐標中，矢量可以采用在直角坐標中的分量形式，也可以采用協(xié)變或逆變分量，基本方程也將因此呈現(xiàn)出不同的形式。最簡單，應用也最普遍的形式是矢量分量為直角坐標系中的分量。下面，我們討論這種情況下的流體力學基本方程。直角坐標到曲線坐標的變換及其逆變換關系為： （1）、導數的變換 對于一階偏導數，根據鏈式求導法則，有 。 同理可得。 對于二階偏導數，有。同理可得，。把導數的變換關系代入微分方程，就可以得到微分方程在計算平面中的形式。以直角坐標系中的Laplace方程為例，把上述二階導數的變換關系代入上述Laplace方程，得。 （2）、度

5、量系數及其計算方法 在導數的坐標變換公式中涉及到下列坐標變換系數：。這些系數稱為坐標變換公式對應的度量系數（metrics）。我們看到，為了求解計算平面中的偏微分方程，如式，必須確定度量系數（有時還包括等）的離散值。那么，這些度量系數如何計算呢？由于一般情況下，我們只知道坐標變換關系、的離散表達式，度量系數一般也要通過有限差分方法近似計算。但是，直接構造的差分近似是不容易的。以為例，根據偏導數的意義，為保持不變時隨的變化，如圖2所示，網格點處的的計算公式應為：圖2 的計算。由于一般不是網格點，因此是未知的，只能通過插值方法確定。 另一方面，我們可以定義逆變換式的度量系數。在貼體坐標系中，這些度

6、量系數的有限差分離散非常簡單。如果采用中心差分離散，有 。 這就提示我們，如果能夠找到和之間的關系，我們就可以得到等的計算方法。下面，我們推導二者之間的關系。 由變換關系式，有，寫成矩陣形式 。 由逆變換式，有。 式中的矩陣稱為正變換和逆變換的Jacobi矩陣。易知， 即， 其中 為坐標變換的Jacobi行列式（jacobian）。因此，。 根據（15）（16）式，可以得到的差分離散形式。 如何計算呢？考慮。 根據式，我們同樣可以得到?，F(xiàn)在，把式分別對求導：，上面四個關系中，只有三個是獨立的，寫成矩陣形式，有：。 所以， 。同理。對、式的右端進行有限差分離散，就可以算出。4、任意曲線坐標系中流

7、體力學方程組的守恒形式 考慮直角坐標系中的二維守恒型NavierStokes方程：。 利用一階導數的變換公式，有。式稱為平面上NavierStokes方程的弱守恒形式。在式兩側乘以Jacobian ，有。上面的方程中的各項可以進一步整理：得。注意到，所以，式可化簡為。 式稱為平面上NavierStokes方程的強守恒形式，一般記為：， 其中。 二、計算流體力學發(fā)展現(xiàn)狀20世紀30年代，由于飛機工業(yè)的需要，要求用流體力學理論來了解和指導飛機設計，當時，由于飛行速度很低，可以忽略粘性和旋渦，因此流動的模型為Lap lace方程，研究工作的重點是橢圓型方程的數值解。利用復變函數理論和解的迭加方法來求

8、解析解。隨著飛機外形設計越來越復雜，出現(xiàn)了求解奇異邊界積分方程的方法。以后，為了考慮粘性效應，有了邊界層方程的數值計算方法，并發(fā)展成以位勢方程為外流方程，與內流邊界層方程相結合，通過迭代求解粘性干擾流場的計算方法。同一時期，許多數學家研究了偏微分方程的數學理論，Hadamard Courant Friedrichs等人研究了偏微分方程的基本特性、數學提法的適定性、物理波的傳播特性等問題，發(fā)展了雙曲型偏微分方程理論。以后，Courant Friedrichs，Lewy等人發(fā)表了經典論文，證明了連續(xù)的橢圓型、拋物型和雙曲型方程組解的存在性和唯一性定理，且針對線性方程的初值問題，首先將偏微分方程離散

9、化，然后證明了離散系統(tǒng)收斂到連續(xù)系統(tǒng)，最后利用代數方法確定了差分解的存在性; 他們還給出了著名的穩(wěn)定性判別條件：CFL條件。這些工作是差分方法的數學理論基礎。20世紀40年代，Von Neumann，Richtmyer，Hopf Lax和其他一些學者建立了非線性雙曲型方程守恒定律的數值方法理論, 為含有激波的氣體流動數值模擬打下了理論基礎。在20世紀50年代，僅采用當時流體力學的方法，研究較復雜的非線性流動現(xiàn)象是不夠的，特別是不能滿足高速發(fā)展起來的宇航飛行器繞流流場特性研究的需要。針對這種情況，一些學者開始將基于雙曲型方程數學理論基礎的時間相關方法用于求解宇航飛行器的氣體定常繞流流場問題，這種

10、方法雖然要求花費更多的計算機時，但因數學提法適定，又有較好的理論基礎，且能模擬流體運動的非定常過程，所以在60年代這是應用范圍較廣的一般方法。以后由Lax、Kreiss和其他著者給出的非定常偏微分方程差分逼近的穩(wěn)定性理論, 進一步促進了時間相關方法。當時還出現(xiàn)了一些針對具體問題發(fā)展起來的特殊算法。值得一提的是，我國在20世紀50年代也開始了計算流體力學方面的研究。我國早期的工作是研究鈍頭體超聲速無粘繞流流場的數值解方法，研究鈍頭體繞流數值解的反方法和正方法。以后，隨著我國宇航事業(yè)的發(fā)展，超聲速、高超聲速繞流數值計算方法的研究工作發(fā)展很快。對定常歐拉方程數值解的計算方法進行研究, 并給出了鈍體超

11、聲速三維無粘繞流流場的計算結果。20世紀70年代，在計算流體力學中取得較大成功的是飛行器跨音速繞流數值計算方法的研究。首先是Murman和Cole用松弛方法求解位勢流小擾動方程, 數值模擬帶激波的跨聲速繞流場, 解決了跨聲速繞流中的混合問題。在他們的工作中第一次將迎風格式應用于空氣動力學問題的模擬。不久以后Jam eson提出了旋轉格式, 將穆爾曼- 科勒方法推廣于求解三維跨聲速繞流的全位勢流方程, 獲得成功。同一時期, 我國開展了采用時間相關方法求解非定常歐拉方程、可壓縮N - S 方程和簡化N - S 方程的計算方法研究。在差分格式的構造方面, 提出了求解歐拉方程的特征符號分裂法和三層格式

12、等。在可壓縮N - S 方程的求解中, 計算方法有了很大進展, 先后提出了開關函數法、調解因子方法、緊致迎風格式、推進迭代法、無波動無自由參數的耗散格式、界值為限格式和耗散比擬方法等。這些研究工作進一步改進了計算方法精度, 提高了求解效率, 且對流場激波的數值模擬有較高的分辨能力。而且這些研究成果使得我們在計算流體力學的差分方法研究工作中初步形成了自己的特點。進入20世紀80年代以后，計算機硬件技術有了突飛猛進的發(fā)展，千萬次機、億次機逐漸進入人們的實踐活動范圍。隨著計算方法的不斷改進和數值分析理論的發(fā)展高精度數值模擬已不再是天方夜譚。同時隨著人類生產實踐活動的不斷發(fā)展，科學技術的日新月異，一大

13、批高新技術產業(yè)對計算流體力學提出了新的要求，同時也為計算流體力學的發(fā)展提供了新的機遇。實踐與理論的不斷互動，形成計算流體力學的新熱點、新動力，從而推動計算流體力學不斷向前發(fā)展。首先，在計算模型方面，又提出了一些新的模型，如新的大渦模擬模型、考慮壁面曲率等效應的新的湍流模式、新的多相流模式、新的飛行器氣動分析與熱結構的一體化模型等。這就使得計算流體力學的計算模型由最初的Euler和N - S 方程，擴展到包括湍流、兩相流、化學非平衡、太陽風等問題研究模型在內的多個模型。其中以考慮更多流動機制，如各向異性的非線性(應力/應變關系)湍流研究為重點。研究結果再次證明，萬能的湍流模型還不存在，重要的是如

14、何在模型精度和計算量上較好地取得折中，也有學者從更高層次研究湍流模型問題, 由湍流流動中速度不可微，懷疑N - S 方程的有效性，進而提出以積分方程為基礎的數學模型。其次，在計算方法方面，又提出了一些新的計算方法，如新的遺傳算法、無網格算法、新型高精度緊致格式、氣動計算的新變分原理、結構/非結構混合網格新技術、新型動網格技術等等。目前計算方法的研究集中在高精度格式方法, 即追求三階精度以上，其中又以解決真正實際問題。除此之外, 計算方法研究還涉及帶限制器的高階插值、譜方法、拉格朗日方法，時-空守恒元方法等等。將其它方法引進傳統(tǒng)的計算流體力學也是現(xiàn)階段的重要成果之一，其中特別值得一提的是將基因算

15、法與傳統(tǒng)計算流體力學結合在一起,在域分裂和最優(yōu)化設計等許多方面顯示出了良好的應用前景。在算法分析上，除傳統(tǒng)的精度、穩(wěn)定性、收斂性等方面的分析，還有更深層次的數值動力學分析，即將數值方法看成是動力系統(tǒng)來進行分析，揭示了許多奇異的數值現(xiàn)象。再次，在研究成果方面, 英國M1A1Lesdhziaer關于湍流模型、美國H1C1Yee關于計算不確定性、日本學者的玻耳茲曼方程解流動問題、德國的E. von Lavant關于使用并行計算機進行發(fā)動機氣缸流場渦和激波的非定常流動模擬等等，都有較新的學術思想，較高的學術水平。目前，計算流體力學研究的熱點是：研究計算方法，包括并行算法和各種新型算法；研究渦運動和湍流

16、，包括可壓和不可壓湍流的直接數值模擬、大渦模擬和湍流機理；研究網格生成技術及計算機優(yōu)化設計；研究計算流體力學用于解決實際流動問題，包括計算生物力學、計算聲學、微型機械流動、多相流及渦輪機械流動的數值模擬等。計算流體力學的應用已經從最初的航空航天領域不斷地擴展到船舶、海洋、化學、鑄造、制冷、工業(yè)設計、城市規(guī)劃設計、建筑消防設計、汽車等多個領域。近幾年來計算流體力學在全機流場計算、旋翼計算、航空發(fā)動機內流計算、導彈投放、飛機外掛物、水下流體力學、汽車等方面獲得廣泛應用。這表明計算流體力學在解決工程實際問題方面具有重要的應用價值。下面僅以在汽車領域的應用為例, 介紹計算流體力學應用于工程實際中的速度

17、和深度。20世紀80年代初期才開始有計算流體力學應用于汽車領域的論文發(fā)表，經過短短的二十余年，其應用已涉及到汽車車身設計、汽車內部空間的空調與通風、發(fā)動機內部的氣體流動以及冷卻系、汽車液力變矩器、廢氣渦輪增壓器中的壓氣機和渦輪的葉輪與蝸殼等中的流動現(xiàn)象的研究與計算，同時進一步發(fā)展到研究汽車與發(fā)動機中傳熱、燃燒以及預測噪聲強度與模具設計等相關的問題。當著手研究一項計算流體力學課題時，首先需要建立模型，即根據相關專業(yè)知識將問題用數學方法表達出來；然后就是如何利用計算流體力學軟件，對問題進行求解、分析。整個計算流體力學處理過程大致包括三個部分：前處理，包括幾何模型的選取和網格劃分；求解器，包括確定計

18、算流體力學方法的控制方程，選擇離散方法進行離散，選用數值計算方法，輸入相關參數；后處理, 包括速度場、壓力場、溫度場及其它參數的計算機可視化及動畫處理等。由此和計算流體力學在工程實際中的應用可以將計算流體力學應用的優(yōu)點大致歸納如下：可以更細致地分析、研究流體的流動、物質和能量的傳遞等過程；可以容易地改變實驗條件、參數, 以獲取大量在傳統(tǒng)實驗中很難得到的信息資料；整個研究、設計所花的時間大大減少；可以方便地用于那些無法實現(xiàn)具體測量的場合，如高溫、危險的環(huán)境；根據模擬數據，可以全方位的控制過程和優(yōu)化設計。隨著計算流體力學在工程技術應用中的迅速推廣，計算流體力學也逐漸軟件化。CFX、FLUENT、PH