計量經(jīng)濟學習題集

1、第二章 經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟學模型：一元線性回歸模型一、內(nèi)容提要本章介紹了回歸分析的基本思想與基本方法。首先，本章從總體回歸模型與總體回歸函數(shù)、樣本回歸模型與樣本回歸函數(shù)這兩組概念開始，建立了回歸分析的基本思想。總體回歸函數(shù)是對總體變量間關(guān)系的定量表述，由總體回歸模型在若干基本假設下得到，但它只是建立在理論之上，在現(xiàn)實中只能先從總體中抽取一個樣本，獲得樣本回歸函數(shù)，并用它對總體回歸函數(shù)做出統(tǒng)計推斷。本章的一個重點是如何獲取線性的樣本回歸函數(shù)，主要涉及到普通最小二乘法（OLS）的學習與掌握。同時，也介紹了極大似然估計法（ML）以及矩估計法（MM）。本章的另一個重點是對樣本回歸函數(shù)能否代表總體回歸函

2、數(shù)進行統(tǒng)計推斷，即進行所謂的統(tǒng)計檢驗。統(tǒng)計檢驗包括兩個方面，一是先檢驗樣本回歸函數(shù)與樣本點的“擬合優(yōu)度”，第二是檢驗樣本回歸函數(shù)與總體回歸函數(shù)的“接近”程度。后者又包括兩個層次：第一，檢驗解釋變量對被解釋變量是否存在著顯著的線性影響關(guān)系，通過變量的t檢驗完成；第二，檢驗回歸函數(shù)與總體回歸函數(shù)的“接近”程度，通過參數(shù)估計值的“區(qū)間檢驗”完成。本章還有三方面的內(nèi)容不容忽視。其一，若干基本假設。樣本回歸函數(shù)參數(shù)的估計以及對參數(shù)估計量的統(tǒng)計性質(zhì)的分析以及所進行的統(tǒng)計推斷都是建立在這些基本假設之上的。其二，參數(shù)估計量統(tǒng)計性質(zhì)的分析，包括小樣本性質(zhì)與大樣本性質(zhì)，尤其是無偏性、有效性與一致性構(gòu)成了對樣本估計

3、量優(yōu)劣的最主要的衡量準則。Goss-markov定理表明OLS估計量是最佳線性無偏估計量。其三，運用樣本回歸函數(shù)進行預測，包括被解釋變量條件均值與個值的預測，以及預測置信區(qū)間的計算及其變化特征。二、典型例題分析例1、令kids表示一名婦女生育孩子的數(shù)目，educ表示該婦女接受過教育的年數(shù)。生育率對教育年數(shù)的簡單回歸模型為（1）隨機擾動項包含什么樣的因素？它們可能與教育水平相關(guān)嗎？（2）上述簡單回歸分析能夠揭示教育對生育率在其他條件不變下的影響嗎？請解釋。解答：（1）收入、年齡、家庭狀況、政府的相關(guān)政策等也是影響生育率的重要的因素，在上述簡單回歸模型中，它們被包含在了隨機擾動項之中。有些因素可能

4、與增長率水平相關(guān)，如收入水平與教育水平往往呈正相關(guān)、年齡大小與教育水平呈負相關(guān)等。（2）當歸結(jié)在隨機擾動項中的重要影響因素與模型中的教育水平educ相關(guān)時，上述回歸模型不能夠揭示教育對生育率在其他條件不變下的影響，因為這時出現(xiàn)解釋變量與隨機擾動項相關(guān)的情形，基本假設4不滿足。例2已知回歸模型，式中E為某類公司一名新員工的起始薪金（元），N為所受教育水平（年）。隨機擾動項的分布未知，其他所有假設都滿足。（1）從直觀及經(jīng)濟角度解釋和。（2）OLS估計量和滿足線性性、無偏性及有效性嗎？簡單陳述理由。（3）對參數(shù)的假設檢驗還能進行嗎？簡單陳述理由。解答：（1）為接受過N年教育的員工的總體平均起始薪金。

5、當N為零時，平均薪金為，因此表示沒有接受過教育員工的平均起始薪金。是每單位N變化所引起的E的變化，即表示每多接受一年學校教育所對應的薪金增加值。（2）OLS估計量和仍滿足線性性、無偏性及有效性，因為這些性質(zhì)的的成立無需隨機擾動項的正態(tài)分布假設。（3）如果的分布未知，則所有的假設檢驗都是無效的。因為t檢驗與F檢驗是建立在的正態(tài)分布假設之上的。 例3、在例2中，如果被解釋變量新員工起始薪金的計量單位由元改為100元，估計的截距項與斜率項有無變化？如果解釋變量所受教育水平的度量單位由年改為月，估計的截距項與斜率項有無變化？ 解答：首先考察被解釋變量度量單位變化的情形。以E*表示以百元為度量單位的薪金

6、，則由此有如下新模型或 這里，。所以新的回歸系數(shù)將為原始模型回歸系數(shù)的1/100。 再考慮解釋變量度量單位變化的情形。設N*為用月份表示的新員工受教育的時間長度，則N*=12N，于是或 可見，估計的截距項不變，而斜率項將為原回歸系數(shù)的1/12。例4、對沒有截距項的一元回歸模型稱之為過原點回歸（regrission through the origin）。試證明（1）如果通過相應的樣本回歸模型可得到通常的的正規(guī)方程組 則可以得到的兩個不同的估計值： ， 。 （2）在基本假設下，與均為無偏估計量。 （3）擬合線通常不會經(jīng)過均值點，但擬合線則相反。 （4）只有是的OLS估計量。解答：（1）由第一個正

7、規(guī)方程 得 或 求解得 由第2個下規(guī)方程得 求解得 （2）對于，求期望 這里用到了的非隨機性。 對于，求期望 （3）要想擬合值通過點，必須等于。但，通常不等于。這就意味著點不太可能位于直線上。相反地，由于，所以直線經(jīng)過點。（4）OLS方法要求殘差平方和最小Min 關(guān)于求偏導得 即 可見是OLS估計量。例5假設模型為。給定個觀察值，按如下步驟建立的一個估計量：在散點圖上把第1個點和第2個點連接起來并計算該直線的斜率；同理繼續(xù)，最終將第1個點和最后一個點連接起來并計算該條線的斜率；最后對這些斜率取平均值，稱之為，即的估計值。（1）畫出散點圖，給出的幾何表示并推出代數(shù)表達式。（2）計算的期望值并對所

8、做假設進行陳述。這個估計值是有偏的還是無偏的？解釋理由。（3）證明為什么該估計值不如我們以前用OLS方法所獲得的估計值，并做具體解釋。解答：（1）散點圖如下圖所示。 （X2,Y2） （Xn,Yn） （X1,Y1）首先計算每條直線的斜率并求平均斜率。連接和的直線斜率為。由于共有1條這樣的直線，因此（2）因為X非隨機且，因此這意味著求和中的每一項都有期望值，所以平均值也會有同樣的期望值，則表明是無偏的。（3）根據(jù)高斯馬爾可夫定理，只有的OLS估計量是最付佳線性無偏估計量，因此，這里得到的的有效性不如的OLS估計量，所以較差。例6對于人均存款與人均收入之間的關(guān)系式使用美國36年的年度數(shù)據(jù)得如下估計模

9、型，括號內(nèi)為標準差：0.538（1）的經(jīng)濟解釋是什么？（2）和的符號是什么？為什么？實際的符號與你的直覺一致嗎？如果有沖突的話，你可以給出可能的原因嗎？（3）對于擬合優(yōu)度你有什么看法嗎？（4）檢驗是否每一個回歸系數(shù)都與零顯著不同（在1%水平下）。同時對零假設和備擇假設、檢驗統(tǒng)計值、其分布和自由度以及拒絕零假設的標準進行陳述。你的結(jié)論是什么？解答： （1）為收入的邊際儲蓄傾向，表示人均收入每增加1美元時人均儲蓄的預期平均變化量。 （2）由于收入為零時，家庭仍會有支出，可預期零收入時的平均儲蓄為負，因此符號應為負。儲蓄是收入的一部分，且會隨著收入的增加而增加，因此預期的符號為正。實際的回歸式中，的

10、符號為正，與預期的一致。但截距項為負，與預期不符。這可能與由于模型的錯誤設定形造成的。如家庭的人口數(shù)可能影響家庭的儲蓄形為，省略該變量將對截距項的估計產(chǎn)生影響；另一種可能就是線性設定可能不正確。 （3）擬合優(yōu)度刻畫解釋變量對被解釋變量變化的解釋能力。模型中53.8%的擬合優(yōu)度，表明收入的變化可以解釋儲蓄中53.8 %的變動。（4）檢驗單個參數(shù)采用t檢驗，零假設為參數(shù)為零，備擇假設為參數(shù)不為零。雙變量情形下在零假設下t 分布的自由度為n-2=36-2=34。由t分布表知，雙側(cè)1%下的臨界值位于2.750與2.704之間。斜率項計算的t值為0.067/0.011=6.09，截距項計算的t值為384

11、.105/151.105=2.54?？梢娦甭薯椨嬎愕膖 值大于臨界值，截距項小于臨界值，因此拒絕斜率項為零的假設，但不拒絕截距項為零的假設。三、習題（一）基本知識類題型2-1解釋下列概念：1) 總體回歸函數(shù)2) 樣本回歸函數(shù)3) 隨機的總體回歸函數(shù)4) 線性回歸模型5) 隨機誤差項（ui）和殘差項（ei）6) 條件期望7) 非條件期望8) 回歸系數(shù)或回歸參數(shù)9) 回歸系數(shù)的估計量10) 最小平方法11) 最大似然法12) 估計量的標準差13) 總離差平方和14) 回歸平方和15) 殘差平方和16) 協(xié)方差17) 擬合優(yōu)度檢驗18) t檢驗19) F檢驗2-2判斷正誤并說明理由：1) 隨機誤差項

12、ui和殘差項ei是一回事2) 總體回歸函數(shù)給出了對應于每一個自變量的因變量的值3) 線性回歸模型意味著變量是線性的4) 在線性回歸模型中，解釋變量是原因，被解釋變量是結(jié)果5) 隨機變量的條件均值與非條件均值是一回事2-3回答下列問題：1) 線性回歸模型有哪些基本假設？違背基本假設的計量經(jīng)濟學模型是否就不可估計？2) 總體方差與參數(shù)估計誤差的區(qū)別與聯(lián)系。3) 隨機誤差項ui和殘差項ei的區(qū)別與聯(lián)系。4) 根據(jù)最小二乘原理，所估計的模型已經(jīng)使得擬合誤差達到最小，為什么還要討論模型的擬合優(yōu)度問題？5) 為什么用決定系數(shù)R2評價擬合優(yōu)度，而不用殘差平方和作為評價標準？6) R2檢驗與F檢驗的區(qū)別與聯(lián)系

13、。7) 回歸分析與相關(guān)分析的區(qū)別與聯(lián)系。8) 最小二乘法和最大似然法的基本原理各是什么？說明它們有何區(qū)別？9) 為什么要進行解釋變量的顯著性檢驗？10) 是否任何兩個變量之間的關(guān)系，都可以用兩變量線性回歸模型進行分析？2-2下列方程哪些是正確的？哪些是錯誤的？為什么？ 其中帶“”者表示“估計值”。2-3下表列出若干對自變量與因變量。對每一對變量，你認為它們之間的關(guān)系如何？是正的、負的、還是無法確定？并說明理由。因變量自變量GNP利率個人儲蓄利率小麥產(chǎn)出降雨量美國國防開支前蘇聯(lián)國防開支棒球明星本壘打的次數(shù)其年薪總統(tǒng)聲譽任職時間學生計量經(jīng)濟學成績其統(tǒng)計學成績?nèi)毡酒嚨倪M口量美國人均國民收入（二）基

14、本證明與問答類題型2-4對于一元線性回歸模型，試證明：（1）（2）（3） 2-5參數(shù)估計量的無偏性和有效性的含義是什么？從參數(shù)估計量的無偏性和有效性證明過程說明，為什么說滿足基本假設的計量經(jīng)濟學模型的普通最小二乘參數(shù)估計量才具有無偏性和有效性？2-6對于過原點回歸模型 ，試證明2-7 試證明：（1），從而：（2）（3）；即殘差與的估計值之積的和為零。2-8為什么在一元線性方程中，最小二乘估計量與極大似然估計量的表達式是一致的？證明：2的ML估計量為 ，并且是有偏的。2-9熟悉t統(tǒng)計量的計算方法和查表判斷。2-10證明： ；其中R2是一元線性回歸模型的判定系數(shù)，是y與x的相關(guān)系數(shù)。2-11 試根

15、據(jù)置信區(qū)間的概念解釋t檢驗的概率意義，即證明：對于顯著性水平，當時，bi的100（1-）%的置信區(qū)間不包含0。2-12線性回歸模型 的0均值假設是否可以表示為？為什么？2-13現(xiàn)代投資分析的特征線涉及如下回歸方程：；其中：r表示股票或債券的收益率；rm表示有價證券的收益率（用市場指數(shù)表示，如標準普爾500指數(shù)）；t表示時間。在投資分析中，1被稱為債券的安全系數(shù)，是用來度量市場的風險程度的，即市場的發(fā)展對公司的財產(chǎn)有何影響。依據(jù)19561976年間240個月的數(shù)據(jù)，F(xiàn)ogler和Ganpathy得到IBM股票的回歸方程；市場指數(shù)是在芝加哥大學建立的市場有價證券指數(shù)： (0.3001) (0.07

16、28) 要求：（1）解釋回歸參數(shù)的意義；（2）如何解釋r2？（3）安全系數(shù)>1的證券稱為不穩(wěn)定證券，建立適當?shù)牧慵僭O及備選假設，并用t檢驗進行檢驗（=5%）。2-14 已知模型，證明：估計量可以表示為： 這里2-15已知兩個量X和Y的一組觀察值（xi，yi），i=1，2，n。證明：Y的真實值和擬合值有共同的均值。2-16一個消費分析者論證了消費函數(shù)是無用的，因為散點圖上的點（，）不在直線上。他還注意到，有時Yi上升但Ci下降。因此他下結(jié)論：Ci不是Yi的函數(shù)。請你評價他的論據(jù)（這里Ci是消費，Yi是收入）。2-17證明：僅當R2=1時，y對x的線性回歸的斜率估計量等于x對y的線性回歸的斜

17、率估計量的倒數(shù)。2-18證明：相關(guān)系數(shù)的另一個表達式是： 其中為一元線性回歸模型一次項系數(shù)的估計值，Sx、Sy分別為樣本標準差。2-19對于經(jīng)濟計量模型： ，其OLS估計參數(shù)的特性在下列情況下會受到什么影響：（1）觀測值數(shù)目n增加；（2）Xi各觀測值差額增加；（3）Xi各觀測值近似相等；（4）E（u2）=0 。2-20假定有如下的回歸結(jié)果：，其中，Y表示美國的咖啡的消費量（每天每人消費的杯數(shù)），X表示咖啡的零售價格（美元/杯），t表示時間。要求：（1）這是一個時間序列回歸還是橫截面序列回歸？做出回歸線；（2）如何解釋截距的意義，它有經(jīng)濟含義嗎？如何解釋斜率？（3）能否求出真實的總體回歸函數(shù)？（

18、4）根據(jù)需求的價格彈性定義：彈性=斜率×（X/Y），依據(jù)上述回歸結(jié)果，你能求出對咖啡需求的價格彈性嗎？如果不能，計算此彈性還需要其他什么信息？（三）基本計算類題型2-21下面數(shù)據(jù)是對X和Y的觀察值得到的。Yi=1110； Xi=1680； XiYi=204200Xi2=315400； Yi2=133300假定滿足所有的古典線性回歸模型的假設，要求：（1）b1和b2？（2）b1和b2的標準差？（3）r2？（4）對B1、B2分別建立95%的置信區(qū)間？利用置信區(qū)間法，你可以接受零假設：B2=0嗎？2-22假設王先生估計消費函數(shù)（用模型表示），并獲得下列結(jié)果：，n=19 （3.1） (18.

19、7) R2=0.98 這里括號里的數(shù)字表示相應參數(shù)的T比率值。要求：（1）利用T比率值檢驗假設：b=0（取顯著水平為5%）；（2）確定參數(shù)估計量的標準方差；（3）構(gòu)造b的95%的置信區(qū)間，這個區(qū)間包括0嗎？2-23下表給出了每周家庭的消費支出Y（美元）與每周的家庭的收入X（美元）的數(shù)據(jù)。每周收入（X）每周消費支出（Y）8055，60，65，70，7510065，70，74，80，85，8812079，84，90，94，9814080，93，95，103，108，113，115160102，107，110，116，118，125180110，115，120，130，135，140200120，1

20、36，140，144，145220135，137，140，152，157，160，162240137，145，155，165，175，189260150，152，175，178，180，185，191 要求：（1）對每一收入水平，計算平均的消費支出，E（YXi），即條件期望值；（2）以收入為橫軸、消費支出為縱軸作散點圖；（3）在散點圖中，做出（1）中的條件均值點；（4）你認為X與Y之間、X與Y的均值之間的關(guān)系如何？（5）寫出其總體回歸函數(shù)及樣本回歸函數(shù)；總體回歸函數(shù)是線性的還是非線性的？2-24根據(jù)上題中給出的數(shù)據(jù)，對每一個X值，隨機抽取一個Y值，結(jié)果如下：Y70659095110115120

21、140155150X80100120140160180200220240260要求：（1）以Y為縱軸、X為橫軸作圖，并說明Y與X之間是怎樣的關(guān)系？（2）求樣本回歸函數(shù)，并按要求寫出計算步驟；（3）在同一個圖中，做出樣本回歸函數(shù)及從上題中得到的總體回歸函數(shù)；比較二者相同嗎？為什么？2-25下表給出了19901996年間的CPI指數(shù)與S&P500指數(shù)。年份CPIS&P500指數(shù)1990130.7334.591991136.2376.181992140.3415.741993144.5451.411994148.2460.331995152.4541.641996159.6670.8

22、3資料來源：總統(tǒng)經(jīng)濟報告，1997，CPI指數(shù)見表B-60，第380頁；S&P指數(shù)見表B-93，第406頁。要求：（1）以CPI指數(shù)為橫軸、S&P指數(shù)為縱軸做圖；（2）你認為CPI指數(shù)與S&P指數(shù)之間關(guān)系如何？（3）考慮下面的回歸模型：，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)運用OLS估計上述方程，并解釋你的結(jié)果；你的結(jié)果有經(jīng)濟意義嗎？2-26下表給出了美國30所知名學校的MBA學生1994年基本年薪（ASP）、GPA分數(shù)（從14共四個等級）、GMAT分數(shù)以及每年學費的數(shù)據(jù)。學校ASP/美元GPAGMAT學費/美元Harvard1026303.465023894Stanford1008003.

23、366521189Columbian1004803.364021400Dartmouth954103.466021225Wharton899303.465021050Northwestern846403.364020634Chicago832103.365021656MIT805003.565021690Virginia742803.264317839UCLA740103.564014496Berkeley719703.264714361Cornell719703.263020400NUY706603.263020276Duke704903.362321910Carnegie Mellon59

24、8903.263520600North Carolina698803.262110132Michigan678203.263020960Texas618903.36258580Indiana585203.261514036Purdue547203.25819556Case Western572003.159117600Georgetown698303.261919584Michigan State418203.259016057Penn State491203.258011400Southern Methodist609103.160018034Tulane440803.160019550Il

25、linois471303.261612628Lowa416203.25909361Minnesota482503.260012618Washington441403.361711436要求：（1）用雙變量回歸模型分析GPA是否對ASP有影響？（2）用合適的回歸模型分析GMAT分數(shù)是否與ASP有關(guān)？（3）每年的學費與ASP有關(guān)嗎？你是如何知道的？如果兩變量之間正相關(guān)，是否意味著進到最高費用的商業(yè)學校是有利的；（4）你同意高學費的商業(yè)學校意味著高質(zhì)量的MBA成績嗎？為什么？2-27從某工業(yè)部門抽取10個生產(chǎn)單位進行調(diào)查，得到下表所列的數(shù)據(jù)：單位序號年產(chǎn)量（萬噸）y工作人員數(shù)（千人）x1210.87

26、.0622210.17.0313211.57.0184208.96.9915207.46.9746205.37.9537198.86.9278192.16.3029183.26.02110176.85.310要求：假定年產(chǎn)量與工作人員數(shù)之間存在線性關(guān)系，試用經(jīng)典回歸估計該工業(yè)部門的生產(chǎn)函數(shù)及邊際勞動生產(chǎn)率。2-28下表給出了1988年9個工業(yè)國的名義利率（Y）與通貨膨脹率（X）的數(shù)據(jù)：國家Y（%）X（%）澳大利亞11.97.7加拿大9.44.0法國7.53.1德國4.01.6意大利11.34.8墨西哥66.351.0瑞典2.22.0英國10.36.8美國7.64.4資料來源：原始數(shù)據(jù)來自國際貨

27、幣基金組織出版的國際金融統(tǒng)計要求：（1）以利率為縱軸、通貨膨脹率為橫軸做圖；（2）用OSL進行回歸分析，寫出求解步驟；（3）如果實際利率不變，則名義利率與通貨膨脹率的關(guān)系如何？（四）自我綜合練習類題型2-29綜合練習：自己選擇研究對象，收集樣本數(shù)據(jù)（利用我國公開發(fā)表的統(tǒng)計資料），應用計量經(jīng)濟學軟件（建議使用Eviews3.1）完成建立計量經(jīng)濟學模型的全過程，并寫出詳細的研究報告。（通過練習，能夠熟練應用計量經(jīng)濟學軟件Eviews3.1中的最小二乘法）四、習題參考答案2-1答： 總體回歸函數(shù)是指在給定下的的分布的總體均值與有函數(shù)關(guān)系。 樣本回歸函數(shù)指對應于某個給定的的值的一個樣本而建立的回歸函數(shù)

28、。 隨機的總體回歸函數(shù)指含有隨機誤差項的總體回歸函數(shù)，形如： 線性回歸模型指對參數(shù)為線性的回歸，即只以它的1次方出現(xiàn)，對可以是或不是線性的。 隨機誤差項也稱誤差項，是一個隨機變量，針對總體回歸函數(shù)而言。 殘差項是一隨機變量，針對樣本回歸函數(shù)而言。 條件期望又稱條件均值，指取特定值時的的期望值。 回歸系數(shù)（或回歸參數(shù)）指、等未知但卻是固定的參數(shù)。 回歸系數(shù)的估計量指用、等表示的用已知樣本所提供的信息去估計出來的量。 估計量的標準差指度量一個變量變化大小的標準。 總離差平方和用TSS表示，用以度量被解釋變量的總變動。 回歸平方和用ESS表示，用以度量由解釋變量變化引起的被解釋變量的變化。 殘差平方和用RSS表示，用以度量實際值與擬合值之間的差異，是由除解釋變量以外的其他因素引起的。 協(xié)方差用Cov（X，Y）表示，是用來度量X、Y二個變量同時變化的統(tǒng)計量。2-