9二重積分的概念及性質(zhì)

1、Ozyx第第9 9章章 重重 積積 分分 9.1 二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì)2 重積分是定積分的推廣和發(fā)展重積分是定積分的推廣和發(fā)展.分割、取近似、求和、取極限分割、取近似、求和、取極限. 定積分的被積函數(shù)是一元函數(shù)定積分的被積函數(shù)是一元函數(shù),而二重、三重積分的被積函數(shù)而二重、三重積分的被積函數(shù)重積分有其廣泛的應(yīng)用重積分有其廣泛的應(yīng)用.序序 言言其同定積分其同定積分一樣也是某種確定和式的極限一樣也是某種確定和式的極限,其基本思想是四其基本思想是四步曲步曲:其積分區(qū)域其積分區(qū)域是一個確定區(qū)間是一個確定區(qū)間.其積分域是一個平面有界其積分域是一個平面有界是二元、三元函數(shù)是二元、三元函數(shù)

2、,和空間有界閉區(qū)域和空間有界閉區(qū)域. 9.1 二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì)3問題的提出問題的提出二重積分的概念二重積分的概念二重積分的性質(zhì)二重積分的性質(zhì)小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)double integral9.1 二重積分二重積分的概念與性質(zhì)的概念與性質(zhì)第第9 9章章 重重 積積 分分 9.1 二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì)4一、問題的提出一、問題的提出定積分中會求平行截面面積為已知的定積分中會求平行截面面積為已知的 一般立體的體積如何求一般立體的體積如何求先從先從曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積開始開始.而而曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積的計(jì)算問題的計(jì)算問題,一般立體

3、的體積可分成一些比較簡單的一般立體的體積可分成一些比較簡單的 回想回想立體的體積、立體的體積、 旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積.曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積.可作為二重積分的一個模型可作為二重積分的一個模型. 9.1 二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì)5),(yxfz 曲頂柱體體積曲頂柱體體積 =1. 曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積D困難困難曲頂柱體曲頂柱體0),( yxf以以xOy面上的閉區(qū)域面上的閉區(qū)域D為底為底,D的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于z軸的柱面軸的柱面,側(cè)面以側(cè)面以曲面曲面z = f (x, y),且在且在D上連續(xù)上連續(xù)).oyxz頂是曲的頂是曲的頂是頂

4、是 9.1 二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì)6柱體體積柱體體積 = 特點(diǎn)特點(diǎn) 分析分析曲邊梯形面積是如何求曲邊梯形面積是如何求以直代曲、以直代曲、如何創(chuàng)造條件使如何創(chuàng)造條件使 解決問題的思路、步驟與解決問題的思路、步驟與回憶回憶思想是思想是分割、分割、平頂平頂平平曲曲這對矛盾互相轉(zhuǎn)化這對矛盾互相轉(zhuǎn)化與與以不變代變以不變代變.曲邊梯形面積的曲邊梯形面積的求法類似求法類似.取近似、取近似、 求和、求和、 取極限取極限. . 底面積底面積高高 9.1 二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì)7步驟如下步驟如下用若干個用若干個D),(yxfz 先任意分割曲頂先任意分割曲頂 V曲頂柱體的體積曲頂

5、柱體的體積:并任取并任取之和之和近似表示近似表示曲曲頂柱體的體積頂柱體的體積,iiniif ),(10lim xzyO),(ii ),(iif i 柱體的底柱體的底,小區(qū)域小區(qū)域,小平頂柱體體積小平頂柱體體積 9.1 二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì)8(1) 分割分割相應(yīng)地此曲頂相應(yīng)地此曲頂柱體分為柱體分為n個小曲頂柱體個小曲頂柱體.(2) 取近似取近似iii ),(第第i個小曲頂柱體的體積的近似式個小曲頂柱體的體積的近似式iV n ,21(用用 表示第表示第i個子域的面積個子域的面積).i 將域?qū)⒂駾任意分為任意分為n個子域個子域在每個子域內(nèi)任取一點(diǎn)在每個子域內(nèi)任取一點(diǎn)ni, 3 ,

6、 2 , 1 iiif ),( 9.1 二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì)9(3) 求和求和 即得曲頂柱體體積的近似值即得曲頂柱體體積的近似值: (4) 取極限取極限作作)趨于零趨于零,iiniifV ),(lim10求求n個小平頂柱體體積之和個小平頂柱體體積之和令令n個子域的直徑中的最大值個子域的直徑中的最大值(記記上述和式的極限即為上述和式的極限即為曲頂柱體體積曲頂柱體體積iiniif ),(1iiniif ),(1 V 9.1 二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì)102. 非均勻平面薄片的質(zhì)量非均勻平面薄片的質(zhì)量(1) 將薄片將薄片分割分割成成 n個個小塊小塊,近似看作近似看作

7、均勻薄片均勻薄片. iM(2) M(3) M(4) 任取小塊任取小塊 i 設(shè)有一平面薄片設(shè)有一平面薄片,),(),(yxyx 處的面密度為處的面密度為在點(diǎn)在點(diǎn)Dyx在在假定假定),( 求平面薄片的質(zhì)量求平面薄片的質(zhì)量M.iii ),(iinii ),(1iinii ),(10lim xyOi 上連續(xù)上連續(xù),占有占有xOy面上的閉區(qū)域面上的閉區(qū)域D,),(ii 9.1 二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì)11也表示它的面積也表示它的面積,個小區(qū)域個小區(qū)域表示第表示第其中其中ii ),(iii 上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)在每個在每個 二、二重積分的概念二、二重積分的概念1. 二重積分的定義二重積分的

8、定義定義定義9.1,21n 作乘積作乘積 ), 2 , 1(ni 并作和并作和 .),(1iiniif iiif ),(設(shè)設(shè)f (x, y)是有界閉區(qū)域是有界閉區(qū)域 D上的上的有界函數(shù)有界函數(shù), ,將閉區(qū)域?qū)㈤]區(qū)域 D任意分成任意分成n個小閉域個小閉域(1)(2)(3) 9.1 二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì)12,d),( Dyxf 這和式這和式趨近于零時趨近于零時,如果當(dāng)如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值各小閉區(qū)域的直徑中的最大值 的極限存在的極限存在, 則則iiniif ),(1二重積分二重積分, ,記為記為即即iiniiDfyxf ),(limd),(10稱此極限為函數(shù)稱此極限為

9、函數(shù) f (x, y)在閉區(qū)域在閉區(qū)域D上的上的(4) 9.1 二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì)13曲頂柱體體積曲頂柱體體積,d),( DyxfV 它的面密度它的面密度.d),( DyxM 曲頂曲頂 即即在底在底D上的上的二二重積分重積分,),(yxfz 平面薄片平面薄片D的質(zhì)量的質(zhì)量即即0 ),(yx 在薄片在薄片D上的二重積分上的二重積分, 9.1 二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì)14 (2) 在直角坐標(biāo)系下用在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域劃分區(qū)域D, Dyxf d),(二重積分可寫為二重積分可寫為注注定積分中定積分中(1) 重積分重積

10、分與與定積分的區(qū)別定積分的區(qū)別:重積分中重積分中, 0d dx可正可負(fù)可正可負(fù).yxdd Dyxf),(則面積元素為則面積元素為yxddd Dyxf d),(Oxy 9.1 二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì)152. 二重積分的存在定理二重積分的存在定理設(shè)設(shè)f (x, y)是有界閉區(qū)域是有界閉區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù) Dyxf d),(存在存在.連續(xù)函數(shù)一定可積連續(xù)函數(shù)一定可積注注 今后的討論中今后的討論中,相應(yīng)的積相應(yīng)的積分區(qū)域內(nèi)總是連續(xù)的分區(qū)域內(nèi)總是連續(xù)的.或是分片連續(xù)函數(shù)時或是分片連續(xù)函數(shù)時, 則則都假定被積函數(shù)在都假定被積函數(shù)在 9.1 二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的概念與

11、性質(zhì)16(2)3. 二重積分的幾何意義二重積分的幾何意義(3) (1)的的二重積分就等于二重積分就等于二重積分是二重積分是二重積分是二重積分是而在其而在其他他的部分區(qū)域上是負(fù)的的部分區(qū)域上是負(fù)的. 這些這些部分區(qū)域上的部分區(qū)域上的柱體體積的柱體體積的代數(shù)和代數(shù)和.那那么，么， f (x, y)在在D上上,0),(時時當(dāng)當(dāng) yxf,0),(時時當(dāng)當(dāng) yxf柱體體積的負(fù)值柱體體積的負(fù)值;柱體體積柱體體積;當(dāng)當(dāng)f (x, y)在在D上的若干部分區(qū)域上是正的上的若干部分區(qū)域上是正的, 9.1 二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì)17例例 設(shè)設(shè)D為圓域?yàn)閳A域222Ryx 二重積分二重積分 DyxR

12、d222=解解 222yxRz 上述積分等于上述積分等于 DyxR d222.323R 由由二重積分的幾何意義二重積分的幾何意義可知可知,是上半球面是上半球面上半球體的體積上半球體的體積:RyxzOD 9.1 二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì)18性質(zhì)性質(zhì)9.1(線性性質(zhì)線性性質(zhì))為常數(shù)為常數(shù), 則則(二重積分與定積分有類似的性質(zhì)二重積分與定積分有類似的性質(zhì))三、二重積分的性質(zhì)三、二重積分的性質(zhì) Dyxgyxf d),(),( 、設(shè)設(shè) DDyxgyxf d),(d),(根據(jù)根據(jù)二重積分的幾何意義二重積分的幾何意義, 確定積分值確定積分值,d)(22 Dyxb).0( ab222ayxD

13、為為其中其中ba2 Db d Dyx d22)31(33aa ba2 .323a 9.1 二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì)19性質(zhì)性質(zhì)9.2 (區(qū)域可加性區(qū)域可加性) 將區(qū)域?qū)^(qū)域D分為兩個子域分為兩個子域 Dyxf d),()(21DDD OxyD1D2D1與與D2除分界線除分界線外無公共點(diǎn)外無公共點(diǎn).D 1d),(Dyxf .d),(2 Dyxf 將區(qū)域?qū)^(qū)域D分為兩個子域分為兩個子域D1, D2 9.1 二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì)20以以1為高的為高的 性質(zhì)性質(zhì)9.3(幾何應(yīng)用幾何應(yīng)用) 若若 為為D的面積的面積 注注 D d既可看成是以既可看成是以D為底為底,柱體

14、體積柱體體積, D d1 D d又可看成是又可看成是D的面積的面積. 9.1 二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì)21例例 41222222dd)sin(yxyxyxyx的值的值 = ( ).(A) 為正為正.(B) 為負(fù)為負(fù).(C) 等于等于0.(D) 不能確定不能確定.為負(fù)為負(fù)B性質(zhì)性質(zhì)9.4 9.4 (正性正性),),( , 0),(Dyxyxf 則則 Dyxf d),(0 9.1 二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì)22 Dyxf d),(推論推論2 2 (絕對可積性絕對可積性)推論推論1 1 (單調(diào)性單調(diào)性),),(),(),(Dyxyxgyxf 設(shè)設(shè)則則 Dyxg d),(

15、 Dyxf d),( Dyxf d),( 若若f (x, y)可積可積, 保序性保序性比較性比較性則則 | f (x, y) | 可積可積, 且有且有 9.1 二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì)23選擇題選擇題 比較比較與與 d)(21 DyxI, 1)1()2( :22 yxD其中其中(D) 無法比較無法比較.oxy 1 12C(2,1)單調(diào)性單調(diào)性.)()(32yxyx d)(32 DyxI的大小的大小,則則( ).)A(21II .)B(21II .)C(21II 1 yx,),(Dyx , 1 yx 9.1 二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì)24,d)cos(,dcos22

16、2221 DDyxIyxI設(shè)設(shè),d)cos(2223 DyxI,1),( 22 yxyxD其中其中.)A(123III 則則.)B(321III .)C(312III .)D(213III ,2, 01, 0 x2222222)(yxyxyx xcos由于由于所以所以2222222)cos()cos(cosyxyxyx 考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)(三三, 四四)(4分分)單調(diào)性單調(diào)性 9.1 二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì) Dyxf d),(,),(Dyx 則則 Dyxg d),( ),(),(yxgyxf 設(shè)設(shè)25 DMyxfm d),(幾何意義幾何意義以以m為高和以為高和以M為高的兩個為高

17、的兩個證證 D d再用再用性質(zhì)性質(zhì)9.1和和性質(zhì)性質(zhì)9.3, 性質(zhì)性質(zhì)9.5 9.5 (估值性質(zhì)估值性質(zhì))則則為為D的面積的面積,Myxfm ),(,),( , 0),(Dyxyxf 設(shè)設(shè)則曲頂柱則曲頂柱體的體積介于以體的體積介于以D為底為底,平頂柱體體積之間平頂柱體體積之間.證畢證畢. D d D d),(DCf 設(shè)設(shè)M、m為為f (x, y) 在在D上的最大上的最大、最小值最小值, 9.1 二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì)2622eyx de)(22 Dyx.ede222)(aDyxabab 解解估值性質(zhì)估值性質(zhì) DMyxfm d),(區(qū)域區(qū)域D的面積的面積ab 在在D上上, 因?yàn)?/p>

18、因?yàn)?20yx 例例,de,)(22的值的值估計(jì)估計(jì)不作計(jì)算不作計(jì)算 DyxI).0( , 1:2222abbyaxD 是橢圓閉區(qū)域是橢圓閉區(qū)域其中其中2a 2ea 0e 12ea mM所以所以,即即, 9.1 二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì)27性質(zhì)性質(zhì)9.6 9.6 (積分中值定理積分中值定理) Dyxf d),(體積等于體積等于),( f以以顯然顯然幾何意義幾何意義證證( 使得使得 ),(f,),( , 0),(Dyxyxf 設(shè)設(shè)則曲頂柱體則曲頂柱體以以D為底為底 為高的平頂柱體體積為高的平頂柱體體積.將將性質(zhì)性質(zhì)9.5中不等式各除以中不等式各除以 DMyxfm d),(1. 0

19、 , 有有),(DCf 設(shè)設(shè),),(D 則則 DMyxfm d),( 為為D的面積的面積) 9.1 二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì)28 DMyxfm d),(1f (x, y)的最大值的最大值M與最小值與最小值m之間的之間的. Dyxf d),(1由有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的介值定理由有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的介值定理. Dyxf d),(1兩端各乘以兩端各乘以 ),( 點(diǎn)的值點(diǎn)的值證畢證畢.即是說即是說, 確定的數(shù)值確定的數(shù)值是介于函數(shù)是介于函數(shù)在在D上至少存在一點(diǎn)上至少存在一點(diǎn)使得函數(shù)在該使得函數(shù)在該),( f 與這個確定的數(shù)值相等與這個確定的數(shù)值相等, 即即, 9.1 二重積分的概念與

20、性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì)29選擇題選擇題222 yx).(d),(1lim22220是是極限極限 yxyxf(A)(B)(C) (D)提示提示: :B設(shè)設(shè) f (x, y)是有界閉區(qū)域是有界閉區(qū)域D:上的上的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù),不存在不存在.).0 , 0(f).1 , 1(f).0 , 1(f利用積分中值定理利用積分中值定理. 9.1 二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì)30利用利用積分中值定理積分中值定理,),(lim0 f 解解即得即得: 222d),(1lim20 yxyxf求求 222222d),(d),( yxyxfyxf222 yx),( 222d),(1lim20 yxyxf

21、).0 , 0(f ,0時時當(dāng)當(dāng) ),( 點(diǎn)點(diǎn)由函數(shù)的連續(xù)性知由函數(shù)的連續(xù)性知,),(2 f顯然顯然,).0 , 0(其中點(diǎn)其中點(diǎn)是是圓域圓域內(nèi)的一點(diǎn)內(nèi)的一點(diǎn). ),(d),(fyxfD 9.1 二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì)31 補(bǔ)充補(bǔ)充 在分析問題和算題時常用的在分析問題和算題時常用的設(shè)設(shè)區(qū)域區(qū)域D關(guān)于關(guān)于x軸對稱軸對稱,如果函數(shù)如果函數(shù) f (x, y)關(guān)于坐標(biāo)關(guān)于坐標(biāo)y為偶為偶函數(shù)函數(shù). Dyxf d),(oxyD1),(),(yxfyxf 即即則則D1為為D在第一象限中在第一象限中的部分的部分,對稱性質(zhì)對稱性質(zhì). 1d),(2Dyxf 坐標(biāo)坐標(biāo)y為奇函數(shù)為奇函數(shù)0d),(

22、Dyxf ),(),(yxfyxf 即即則則設(shè)設(shè)區(qū)域區(qū)域D關(guān)于關(guān)于x軸對稱軸對稱,如果函數(shù)如果函數(shù) f (x, y)關(guān)于關(guān)于 9.1 二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì)32這個性質(zhì)的這個性質(zhì)的幾何意義幾何意義如圖如圖:OxyzOxyz 區(qū)域區(qū)域D關(guān)于關(guān)于x軸對稱軸對稱 區(qū)域區(qū)域D關(guān)于關(guān)于x軸對稱軸對稱 f (x, y)關(guān)于坐標(biāo)關(guān)于坐標(biāo)y為偶函數(shù)為偶函數(shù) f (x, y)關(guān)于坐標(biāo)關(guān)于坐標(biāo)y為奇函數(shù)為奇函數(shù) 9.1 二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì)33 Dyxf d),(如果函數(shù)如果函數(shù) f (x, y)關(guān)于坐標(biāo)關(guān)于坐標(biāo)x為奇函數(shù)為奇函數(shù). 0d),( Dyxf oxyD1如果函數(shù)如

23、果函數(shù) f (x, y)關(guān)于坐標(biāo)關(guān)于坐標(biāo)x則則),(),(yxfyxf 即即為偶為偶函數(shù)函數(shù)),(),(yxfyxf 即即則則類似地類似地,設(shè)設(shè)區(qū)域區(qū)域D關(guān)于關(guān)于y軸對稱軸對稱,且且D1為為D在在第一象限中的部分第一象限中的部分, 1d),(2Dyxf 9.1 二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì)34,d)sin()sin(22 DyxxyA 計(jì)算二重積分計(jì)算二重積分 解解)sin()sin(22yxxy 和和由性質(zhì)得由性質(zhì)得 Dxy d)sin(2 DyxxyA d)sin()sin(22. 000 例例 d)(sin2yxD 積分區(qū)域積分區(qū)域D關(guān)于關(guān)于x軸軸, y軸都軸都對稱對稱,分別

24、關(guān)于分別關(guān)于x和和y是奇函數(shù)是奇函數(shù),.11, 11),( yxyxD其中其中 9.1 二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì)35).(dd)sincos(等于等于則則yxyxxyD 為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域?yàn)轫旤c(diǎn)的三角形區(qū)域,(A).ddsincos21yxyxD (B).dd21yxxyD (C).dd)sincos(41yxyxxyD (D) 0.A)1, 1()1 , 1(),1 , 1( 和和平面上以平面上以是是設(shè)設(shè)xOyDD1是是D在第一象限的部分在第一象限的部分,研究生考題研究生考題, 選擇選擇, 3分分 9.1 二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì)36yxyxxyDdd)sin

25、cos( D1D2D3D4記記 I =則則I = I1+ I2, 其中其中I1 =yxxyDdd I2 =yxyxDddsincos 而而 I1 =yxxyDdd yxxyDDdd21 yxxyDDdd43 D1與與D2關(guān)于關(guān)于y軸對稱軸對稱D3與與D4關(guān)于關(guān)于x軸對稱軸對稱xy關(guān)于關(guān)于x和關(guān)于和關(guān)于y都是奇函數(shù)都是奇函數(shù)000 )1 , 1( )1 , 1( )1, 1(xyO線性性質(zhì)線性性質(zhì) 9.1 二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì)37而而 I2 =yxyxDddsincos yxyxDDddsincos21 yxyxDDddsincos43 是是關(guān)于關(guān)于x的偶函數(shù)的偶函數(shù),yxy

26、xDddsincos21 關(guān)于關(guān)于y的奇函數(shù)的奇函數(shù). 所以所以 yxyxDddsincos21 yxyxDddsincos21 21III 0 yxsincosD1D2D3D4)1 , 1( )1 , 1(xyO )1, 1( 9.1 二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì)38,ddcosyxxyIkDk 被對角線被對角線(A) I1.(B) I2.(C) I3.(D) I4.A考研題考研題, 選擇題選擇題, 4分分1| , 1| ),( , yxyx正方形正方形如圖如圖劃分為四個區(qū)域劃分為四個區(qū)域),4 , 3 , 2 , 1( kDk).(max41 kkI則則111 1 D3 解解

27、利用二重積分區(qū)域的對稱性利用二重積分區(qū)域的對稱性與被積函數(shù)的奇偶性與被積函數(shù)的奇偶性.D2、 D4兩區(qū)域兩區(qū)域即被積函數(shù)是即被積函數(shù)是關(guān)于關(guān)于y的奇函數(shù)的奇函數(shù), xyyxfcos),(而而所以所以; 042 II關(guān)于關(guān)于x軸對稱軸對稱,),(yxf xyOD1D2D4 9.1 二重積分的概念與性質(zhì)二重積分的概念與性質(zhì)39,ddcosyxxyIkDk 被對角線被對角線(A) I1.(B) I2.(C) I3.(D) I4.A考研題考研題, 選擇題選擇題, 4分分1| , 1| ),( , yxyx正方形正方形如圖如圖劃分為四個區(qū)域劃分為四個區(qū)域),4 , 3 , 2 , 1( kDk).(max41 kkI則則D1、 D3兩區(qū)域兩區(qū)域即被積函數(shù)是即被積函數(shù)是關(guān)于關(guān)于x的偶函數(shù)的