概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)公式全

1、第1章隨機(jī)事件及其概率(1)排列組合公式Pmnm從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行排列的可能數(shù)。(mn)!Cmm從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行組合的可能數(shù)。n!(mn)!(2)加法和乘法原理加法原理(兩種方法均能完成此事)：m+n某件事由兩種方法來完成，第一種方法可由m種方法完成，第二種方法可由n種方法來完成，則這件事可由m+n種方法來完成。乘法原理(兩個(gè)步驟分別不能完成這件事)：mxn某件事由兩個(gè)步驟來完成，第一個(gè)步驟可由m種方法完成，第二個(gè)步驟可由n種方法來完成，則這件事可由mxn種方法來完成。(3)一些常見排列重復(fù)排列和非重復(fù)排列(有序)對(duì)立事件(至少有一個(gè))順序問題(4)隨機(jī)試驗(yàn)和隨機(jī)事件如果一個(gè)試驗(yàn)

2、在相同條件卜可以重復(fù)進(jìn)行，而每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，但在進(jìn)一次試驗(yàn)之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果，則稱這種試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)。試驗(yàn)的可能結(jié)果稱為隨機(jī)事件。(5)基本事件、樣本空間和事件在一個(gè)試驗(yàn)下，不管事件有多少個(gè)，總可以從其中找出這樣一組事件，它具有如下性質(zhì)：每進(jìn)一次試驗(yàn)，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個(gè)事件；任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。這樣一組事件中的每一個(gè)事件稱為基本事件，用來表示?；臼录娜w，稱為試驗(yàn)的樣本空間，用表示。一個(gè)事件就是由中的部分點(diǎn)(基本事件)組成的集合。通常用大寫字母A,B,C,表示事件，匕們ZE的子集。為必然事件，？為不可能事件。不可能事件(？)的概率為

3、零，而概率為零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件(Q)的概率為1,而概率為1的事件也不一定是必然事件。(6)事件的關(guān)系與運(yùn)算關(guān)系：如果事件A的組成部分也是事件B的組成部分，(A發(fā)生必有事件B發(fā)生)：AB如果同時(shí)有AB,BA,則稱事件A與事件B等價(jià)，或稱A等于B:A=BAB中至少有一個(gè)發(fā)生的事件：AB,或者A+Bo屬于A而不屬于B的部分所構(gòu)成的事件，稱為A與B的差，記為A-B,也可表示為A-AB或者AB,它表示A發(fā)生而B不發(fā)生的事件。AB同時(shí)發(fā)生：AB,或者ABAB=?,則表示A與B不可能同時(shí)發(fā)生，稱事彳A與事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A稱為事件A的逆事件，或稱A的對(duì)立

4、事件，記為Ao它表示A不發(fā)生的事件?；コ馕幢貙?duì)立。運(yùn)算：結(jié)合率：A(BC)=(AB)CAU(BUC)=(AUB)UC分配率：(AB)UC=(AUC)n(BUC)(AUB)nC=(AC)U(BC)德摩根率：AiAii1i1ABAB,ABAB概率的公理化定義設(shè)為樣本空間，A為事件，對(duì)每一個(gè)事件A都有一個(gè)實(shí)數(shù)P(A),若滿足下列三個(gè)條件：1°0<P(A)&1,2°P(Q)=130對(duì)十而兩互不相容的事件A,A2,有常稱為可列(完全)可加性。則稱P(A)為事件A的概率。(8)古典概型1°1,2n，。12P(1)P(2)P(n)一。n設(shè)任一事件A,它是由1,2m

5、組成的，則有P(A)=(1)(2)(m)=P(1)P(2)P(m)(9)幾何概型若隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果為無限不可數(shù)并且每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性均勻，同時(shí)樣本空間中的每一個(gè)基本事件可以使用一個(gè)有界區(qū)域來描述，則稱此隨機(jī)試驗(yàn)為幾何概型。對(duì)事件A,L(A)P(A)''。其中L為幾何度量(長(zhǎng)度、面積、體積)。L()(10)加法公式P(A+B尸P(A)+P(B)-P(AB)當(dāng)P(AB)=0時(shí)，P(A+B)=P(A)+P(B)(11)減法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)當(dāng)BA時(shí)，P(A-B尸P(A)-P(B)當(dāng)A=Q時(shí)，P(B)=1-P(B)(12)條件概率定義設(shè)AB是兩個(gè)事件，且P(A)&g

6、t;0，則稱P(AB)為事件A發(fā)生條件下，事件BP(A)發(fā)生的條件概率，記為P(B/A)P(AB)0P(A)條件概率是概率的一種，所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。例如P(Q/B)=1P(B/A)=1-P(B/A)(13)乘法公式乘法公式：P(AB)P(A)P(B/A)般地，對(duì)事件Ai,A,A,若P(AAA-1)>0,則有P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|AiA2.An1)/o(14)獨(dú)立性兩個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)事件A、B滿足P(AB)P(A)P(B)，則稱事件a、B是相互獨(dú)立的。若事件A、B相互獨(dú)立，且P(A)0,則有若事件A、B相互獨(dú)立，則可得到入與

7、B、A與B、區(qū)與否也都相互獨(dú)立。必然事件和不可能事件？與任何事件都相互獨(dú)立。?與任何事件都互斥。多個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)ABC是三個(gè)事件，如果滿足兩兩獨(dú)立的條件，P(AB尸P(A)P(B);P(BC尸P(B)P(C);P(CA尸P(C)P(A)并且同時(shí)滿足P(ABC尸P(A)P(B)P(C)那么A、BC相互獨(dú)立。對(duì)于n個(gè)事件類似。(15)全概公式設(shè)事件B1,B2,，Bn滿足1。B1,B2,Bn相容，P(Bi)0(i1,2,n),nABi2。i1A,則有P(A)P(B1)P(A|B1)P(B2)P(A|B2)P(Bn)P(A|Bn)。(16)貝葉斯公式設(shè)事件B1,B2,，Bn&A滿足10B1，

8、B2,，Bn兩兩互/、相容,P(Bi)>0,i1,2,，n,nABi2i1P(A)0則P(Bi/A)¥嶺/一P(Bj)P(A/Bj)j1此公式即為貝葉斯公式。P(Bj),(i1,2,，n),通常叫先驗(yàn)概率。P(Bi/A),(i1,2,，n),通常稱為后驗(yàn)概率。貝葉斯公式反映了“因果”的概率規(guī)律，并作出了“由果朔因”的推斷。(17)伯努利概型我們作了n次試驗(yàn)，且滿足每次試驗(yàn)只后兩種可能結(jié)果，A發(fā)生或A不發(fā)生；n次試驗(yàn)是重復(fù)進(jìn)行的，即A發(fā)生的概率每次均一樣；每次試驗(yàn)是獨(dú)立的，即每次試驗(yàn)A發(fā)生與否與其他次試驗(yàn)A發(fā)生與否是互不影響的。這種試驗(yàn)稱為伯努利J概型，或稱為n重伯努利試驗(yàn)。用p

9、表示每次試驗(yàn)A發(fā)生的概率，則A發(fā)生的概率為1pq，用Pn(k)表示n重伯努利試驗(yàn)中A出現(xiàn)k(0kn)次的概率，k.kknkPn(k)CnPqk0,1,2,no第二章隨機(jī)變量及其分布(1)離散型隨機(jī)變量的分布律設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為(k=1,2,)且取各個(gè)值的概率，P(X=Xk)=p%k=1,2,，則稱上式為離散型隨機(jī)變量X的概率分布或分布律。有時(shí)也用分布列X|X1,X2,xk,P(Xxk)p1,p2,pk,o顯然分布律應(yīng)滿足下列條件：pk1(1)pk0,k1，2，,(2)k1o(2)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布密度設(shè)F(x)是隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，若存在非負(fù)函數(shù)f(x),對(duì)任意實(shí)數(shù)XF(x)f

10、(x)dx則不X為連續(xù)型隨機(jī)變量。f(x)稱為X的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)，簡(jiǎn)密度函數(shù)具有卜面4個(gè)性質(zhì)：1 f(x)0。f(x)dx12 o(3)離散與連續(xù)型隨機(jī)變量的關(guān)系積分元f(x)dx在連續(xù)型隨機(jī)變量理論中所起的作用與P(Xxk)pk(4)分布圖數(shù)設(shè)X為隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，本質(zhì)上是一個(gè)累積函數(shù)。P(aXb)F(b)F(a)可以彳4到X落入?yún)^(qū)間(a,b的概率。分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：1。0F(x)1,x；2°F(x)是單調(diào)不減的函數(shù)，即x1x2時(shí)，有F(x1)F(x2)；3F()limF(x)0,F()limF(x)1；xx4°F(x0)

11、F(x),即F(x)是右連續(xù)的；5。P(Xx)F(x)F(x0)o對(duì)于離散型隨機(jī)變量，F(xiàn)(x)pk；xkxx對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，F(xiàn)(x)f(x)dxo(5)八大分布0-1分布P(X=1)=p,P(X=0)=q在n重貝努里試驗(yàn)中，設(shè)事件A發(fā)生的概率為po事件A發(fā)生的ZPXk)Pn(k)C：pkqnk,其中q1p,0p1,k貝稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布。記為XB(n,當(dāng)n1時(shí)，P(Xk)pkq1k,k0.1,這就是(0-1)分布泊松分布設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為kP(Xk)ek!0,k0,1,2貝稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的泊松分布，記為X()或者于松分布為二項(xiàng)分布的極限分布(np=入，n-8

12、)。走i機(jī)變量X服從參數(shù)為n,N,M的超幾何分布，記為H(n,N,M)幾何分 布 匚 何 分 布 均 勻 分 布 一. k 1_P1(X k) q p, k 1,2,3,其中 p>0, q=1-p隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為 G(p) o設(shè)隨機(jī)變量 X的值只落在a , b內(nèi)，其密度函數(shù)f(x)在a , b1(x) b a0,a< x< b其他,X在a , b上服從均勻分布，記為XU(a, b)貝稱隨機(jī)變量 分布函數(shù)為ax1,x2)x、-F(x)f(x)dxx1當(dāng)a<xi<X2<b時(shí)，X落在區(qū)間x2x1P(XiXX2)baxxf(x)?e，X0,的指

13、數(shù)分布?君中0，則稱隨嶗量X服從參數(shù)為設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為X的分布函數(shù)為正 態(tài) 分 布1()r-f(x)-e2,x，,2其中、0為常數(shù)，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為f(x)具有如下性質(zhì):1。f(x)的圖形是關(guān)于x對(duì)稱的;2°當(dāng)若XF(x)xN(12叱f()的分布函數(shù)為dt為最大值;參數(shù)(x)仙寸的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為2分布函數(shù)為1x-(x)-,e2dt。2已編制成表可供查用(x)是不可求積函數(shù)，其函數(shù)值,(-x)=1-(x)且(0)=N(0,1)如果XN(,2),則XP(x1Xx2)x1(6)分位數(shù)下分位表：P(X)=上分位表：P(X)=(7)函數(shù)分布離散型已知X的分布列為

14、Xx1,x2,xn,?,P(Xxi)p1,p2,pn,Yg(X)的分布列(yg(xi)互不相等)如下：Yg(x1),g(x*,g(xn),P(Yyi)p1,p2,pn,若有某些g(xi)相等，廁應(yīng)將對(duì)應(yīng)的pi相加作為g(xi)的概率。連 續(xù) 型先利用X的概率密度fx(x)寫出Y的分布函數(shù)FY(y) =P(g(X) <y),第三章二維隨機(jī)變量及其分布(1)聯(lián) 合分布離散型連續(xù)型(2)二維隨機(jī)變量的本質(zhì)如果二維隨機(jī)向量(X,Y)的所有可能取值為至多可列個(gè)有序設(shè)=(X,Y)的所有可能取值為(xi,yj)(i,j1,2,),且J(1) pij >0 (i,j=1,2,)；Pij1.對(duì)于二維

15、隨機(jī)向量(X,Y),如果存在非負(fù)函數(shù)f(x,y)(D=(X,Y)|a<x<b,c<y<d有則稱為連續(xù)型隨機(jī)向量；并稱f(x,y)為=(X,Y)的分布密度或分布密度f(x,y)具有下面兩個(gè)性質(zhì)：(1) f(x,y)>0;(2) f(x,y)dxdy1.(3)聯(lián)合分布函數(shù)設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)變量，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y,二元函數(shù)稱為二維隨機(jī)向量(X,Y)的分布函數(shù)，或不為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)。分布函數(shù)是一個(gè)以全平面為其定義域，以事件(1,2)lx(1)x,y(2)y白(1) 0F(x,y)1;(2) F(x,y)分別對(duì)x和y是非減的，即當(dāng)x2>x1時(shí)，有F

16、(x2,y)>F(x1,y);當(dāng)y2>y1時(shí)，有F(x,y2)>F(x,y1);(3) F(x,y)分別對(duì)x和y是右連續(xù)的，即(4) F(,)F(,y)F(x,)0,F(,)1.(5)對(duì)于x1x2,y1y2,F(x2,y)F(x2,y1)F(x1,y)F(x1,y1)0.(4)離散型與連續(xù)型的關(guān)系(5)邊緣分布離散型X的邊緣分布為P?P(Xx。pj(i,j1,2,);Y的邊緣分布為P?jP(Yyj)Pj(i,j1,2,)。連續(xù)型X的邊緣分布密度為Y的邊緣分布密度為(6)條件分布離散型在已知X=x的條件下，Y取值的條件分布為在已知Y=y的條件下，X取值的條件分布為連續(xù)型在已知Y

17、=y的條件下，X的條件分布密度為f(x|y)(,y)；fY(y)在已知X=x的條件下，Y的條件分布密度為獨(dú)立性一般型F(X,Y)=Fx(x)FY(y)離散型有零不獨(dú)立連續(xù)型f(x,y)=fx(x)fY(y)直接判斷，充要條件：可分離變量正概率密度區(qū)間為矩形二維正態(tài)分布=0隨機(jī)變量的函數(shù)若Xl,X2，Xm,Xm+,入相互獨(dú)立，h,g為連續(xù)函數(shù)，則:h(Xi,X2,X)和g(Xm+1,Xn)相互獨(dú)立。特例：若X與丫獨(dú)立，則：h(X)和g(Y)獨(dú)立。例如：若X與丫獨(dú)立，則：3X+1和5Y-2獨(dú)立。(8)二設(shè)隨機(jī)向量(X,Y)的分布密度函數(shù)為維均勻其中Sd為區(qū)域D的面積，則稱(X,Y)服從D上的均勻分

18、布，記為(X,丫)U(D)分布例如圖3.1、圖3.2和圖3.3。(9)二維正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)向量(X,Y)的分布密度函數(shù)為其中1，2,10,20,|1是5個(gè)參數(shù)，則稱X,丫)服從二維正態(tài)分布,記為(X,Y)-N(1,2,2,；,).由邊緣密度的計(jì)算公式，可以推出二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布仍為正態(tài)分布,即XN(1，12),丫N(2,；).但是若XN(1,2),YN(2,2),(X,Y)未必是二維正態(tài)分布(10)Z=X+Y函數(shù)分布根據(jù)定義計(jì)算：FZ(z)P(Zz)P(XYz)對(duì)于連2型，fz(z)=f(x,zx)dx兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布(12,22)n個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)分布的線性組合，仍服

19、從正態(tài)分布。_2_22C2C2Jii,JiiZ=max,min(X1,X2，Xn)若X1,X2Xn相互獨(dú)立，其分布函數(shù)分別為Fx1(x),Fx2(x)2分布設(shè)n個(gè)隨機(jī)變量Xi,X2,Xn相互獨(dú)立，且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，的分布密度為.22一一我們稱隨機(jī)變量Wi艮從自由度為n的分布，記為w(n),金所謂自由度是指獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)，它是隨機(jī)變量分布中2,一一,一分布滿足可加性：設(shè)則t分布設(shè)X,丫是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且可以證明函數(shù)的概率密度為我們稱隨機(jī)變量T服從自由度為n的t分布，記為Tt(n)。F分布、一、“2/、“2/一X/設(shè)X伯1),丫(門2),且X與丫獨(dú)立，可以證明FY/r我們稱隨機(jī)

20、變量F服從第一個(gè)自由度為ni,第二個(gè)自由度為n2的F第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征(1)一維隨機(jī)變量的數(shù)字特征離散型連續(xù)型期望期望就是平均值設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，其分布律為P(XXk)=pk,k=1,2,n,(要求絕對(duì)收斂)設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密(要求絕對(duì)收斂)函數(shù)的期望Y=g(X)Y=g(X)方差D(X)=EX-E(X)2,標(biāo)準(zhǔn)差(X)%；D(X),矩對(duì)于正整數(shù)k,稱隨機(jī)變量X的k次募的數(shù)學(xué)期望為X的k階原點(diǎn)矩，記為Vk,即vk=E(Xk)=xkpi,k=1,2,對(duì)于正整數(shù)k,稱隨機(jī)變量X與E(X)差的k次募的數(shù)學(xué)期望為X的k階中心矩，記為k,即k=(XiE(X)pi,k=1,2,對(duì)于正整

21、數(shù)k,稱隨機(jī)變量X的Vk=E(Xk尸xkf(x)dx,k=1,2,對(duì)于正整數(shù)k,稱隨機(jī)變量X與k=(xE(X)f(x)dx,k=1,2,切比雪夫不等式設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望E(X)“方差D(X)=b,則對(duì)于任切比雪夫不等式給出了在未知X的分布的情況下，對(duì)概率的一種估計(jì)，它在理論上有重要意義。(2)期望的性質(zhì)(1) E(C尸C(2) E(CX尸CE(X)nn(3) E(X+Y尸E(X)+E(Y),E(CiXi)CiE(Xi)i1i1(4) E(XY)=E(X)E(Y)，充分條件：X和Y獨(dú)立；充要條件：X和Y不相關(guān)。(3)方差的性質(zhì)(1) D(C)=0;E(C)=C(2) D(aX尸a2D(X)

22、；E(aX)=aE(X)(3) D(aX+b)=a2D(X)；E(aX+b)=aE(X)+b(4) D(X)=E(X2)-E2(X)(5) D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分條件：X和Y獨(dú)立；充要條件：X和Y不相關(guān)。D(X士Y)=D(X)+D(Y)±2E(X-E(X)(Y-E(Y),無條件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y),無條件成立。(4)常見分布的期望和方差期望0-1分布B(1,p)p二項(xiàng)分布B(n,p)np泊松分布P()幾何分布G(p)超幾何分布H(n,M,N)均勻分布U(a,b)指數(shù)分布e()正態(tài)分布N(,2)nt分布0(5)J好望二維區(qū)數(shù)的期望隨機(jī)EG(

23、X,Y)=EG(X,Y)=變量：斤差的數(shù)1辦方差字特對(duì)于隨力幾變量X與丫，稱它們的二階混合中心矩11為X與丫的協(xié)方滂征與記號(hào)XY相對(duì)應(yīng)，X與丫的方差D(X)與D(Y)也可分別記為目關(guān)系數(shù)對(duì)于隨才幾變量X與丫，如果D(X)>0,D(Y)>0,則稱為X與丫的相關(guān)系數(shù)，記作xy(有時(shí)可簡(jiǎn)記為)。I|<1,當(dāng)I1=1時(shí)，稱X與丫完全相關(guān)：P(XaYb)1完全相關(guān)而當(dāng)0時(shí)，稱X與丫不相關(guān)。以下五，卜命題是等價(jià)的：x10.cov(X,丫)=0;E(XY)=E(X)E(Y);D(X+Y)=D(X)+D(Y);D(X-Y)=D(X)+D(Y).辦方差矩陣-昆合矩.,I.對(duì)于隨彳幾變量X與丫，

24、如果有E(XY)存在，則稱之為X與丫的kT(6)i)cov(X,Y)=cov(Y,X);協(xié)方ii)cov(aX,bY)=abcov(X,Y);差的iii)cov(Xi+X2,Y)=cov(Xi,Y)+cov(X2,Y)；性質(zhì)iv)cov(X,丫尸E(XY)-E(X)E(Y).獨(dú)立0；反之不真和不相關(guān)(ii)若(X,Y)-N(1，2，12,；，)，則X與Y相互獨(dú)立的充要條件是X和Y不相關(guān)。(i)若隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，則XY第五章大數(shù)定律和中心極限定理(1)大數(shù)定律切比雪夫大數(shù)士律設(shè)隨機(jī)變量Xi,X2,相互獨(dú)立，均具有有限方差，且被同一常數(shù)C所界：D(X)<C(i=1,2,)，則對(duì)于任意

25、的正數(shù)有特殊情形：若Xi,X,具有相同的數(shù)學(xué)期望E(X)=心，則上式成為伯努利大數(shù)士律設(shè)心是n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對(duì)于任意的正數(shù)£,有伯努利大數(shù)定律說明，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率與概率有較大判別的可能性很小，即這就以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式描述了頻率的穩(wěn)定性。辛欽大數(shù)士律設(shè)Xi,X2,，Xn,是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且E(Xn)二心，則對(duì)于任意的正數(shù)£有(2)中心極限定理列維一林德伯格士理設(shè)隨機(jī)變量Xi,X2,相互獨(dú)立，服從同一分布，且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差：E(XQ,D(XQ20(k1,2,),則隨機(jī)變量的分布函數(shù)

26、R(x)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,有此定理也稱為獨(dú)立同分布的中心極限定理。棣莫弗一拉普拉斯士理設(shè)隨機(jī)變里Xn為具有參數(shù)n,p（0<p<1）的一項(xiàng)分布，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,有（3）二項(xiàng)定理若當(dāng)N時(shí),p（n,k/、父），則N超幾何分布的極限分布為二項(xiàng)分布。（4）泊松定理9n時(shí)，np0,則其中k=0,1,2,，n,。二項(xiàng)分布的極限分布為泊松分布。第六章樣本及抽樣分布(1)總體在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，常把被考察對(duì)象的某一個(gè)（或多個(gè)）指標(biāo)的全體稱為總體（或數(shù)理母體）。我們總是把總體看成一個(gè)具有分布的隨機(jī)變量（或隨機(jī)向量）。統(tǒng)計(jì)個(gè)體總體中的每一個(gè)單元稱為樣品（或個(gè)體）。的基樣本我們把從總體中抽取的部分樣品x1,x2

27、,xn稱為樣本。樣本中所含的樣品數(shù)本概念稱為樣本容量，一般用n表示。在一般情況下，總是把樣本看成是n個(gè)相互獨(dú)立的且與總體有相同分布的隨機(jī)變量，這樣的樣本稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。在泛指次抽取的結(jié)果時(shí)，xi,x2,xn表示n個(gè)隨機(jī)變量（樣本）；在具體的一次抽取之后，x1,x2,xn表示n個(gè)具體的數(shù)值（樣本值）。我們稱之為樣本的兩重性。樣本設(shè)x1，x2,xn為總體的一個(gè)樣本，稱函數(shù)和統(tǒng)(x1，x2,xn)為樣本函數(shù)，其中廿-個(gè)連續(xù)函數(shù)。如果中不包含任何未知參數(shù)，則稱(x1，x2,xn)k個(gè)統(tǒng)常見統(tǒng)計(jì)量及其性質(zhì)、一1n樣本均值xxi.niinn一C21/2樣本方差S/(Xix).n1ii樣本標(biāo)準(zhǔn)差S-1-(

28、xix)2.nn1i1樣本k階原點(diǎn)矩樣本k階中心矩2E(X),D(X),n_22_2n12E(S2)2,E(S*2)2,n1n-其中S*2(XiX)2,為二階中心矩。ni1(2)正態(tài)總體下的四大分布正態(tài)分布設(shè)x1，x2,xn為來自正態(tài)總體N(,2)的一個(gè)樣本，則樣本函數(shù)t分布2設(shè)x1，x2,xn為來自正態(tài)總體N(,)的一個(gè)樣本，則樣本函數(shù)其中t(n-1)表示自由度為n-1的t分布。2設(shè)x1,x2,xn為來自正態(tài)總體N(,)的一個(gè)樣本，則樣本函數(shù)其中2(n1)表示自由度為n-1的2分布。F分布2設(shè)x1，x2,xn為來自正態(tài)總體N(,1)的一個(gè)樣本，而y1，y2,yn為來自正態(tài)總體N(,2)的一個(gè)

29、樣本，則樣本函數(shù)其中F(n11,n21)表示第自由度為11,第二自由度為n21的F分布。(3)正態(tài)總體下分布的性質(zhì)_2X與S獨(dú)立。第七章參數(shù)估計(jì)(1)點(diǎn)估計(jì)矩估計(jì)設(shè)總體X的分布中包含有未知數(shù)1,2,m，則其分布函數(shù)可以表成一，k、，.一F(x;1,2,m).它的k階原點(diǎn)矩vkE(X)(k1,2,m)中也包含了未知參數(shù)1,2,m，即VkVk(1,2,m)。又設(shè)X1,X2,Xn為總體X的n個(gè)樣本值，其樣本的k階原點(diǎn)矩為這樣，我們按照“當(dāng)參數(shù)等于其估計(jì)量時(shí)，總體矩等于相應(yīng)的樣本矩”的原則建立方程，即有由上面的m個(gè)方程中，解出的m個(gè)未知參數(shù)(1,2,m)即為參數(shù)(1,2,m)的矩估計(jì)量。若為的矩估計(jì)，

30、g(x)為連續(xù)函數(shù)，則g(?)為g()的矩估計(jì)。極大當(dāng)總體X為連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，設(shè)其分布密度為f(x1,2,m),其似然中1,2,m為未知參數(shù)。又設(shè)X1,X2,Xn為總體的一個(gè)樣本，稱估為樣本的似然函數(shù)，簡(jiǎn)記為L(zhǎng).計(jì)當(dāng)總體X為離型隨機(jī)變量時(shí)，設(shè)其分布律為PXXP(X；1,2,m),則稱為樣本的似然函數(shù)。若似然函數(shù)L(X1,X2,Xn；1,2,m)在1,2,m處取到最大值，則稱1,2,m分別為1,2,m的最大似然估計(jì)值，相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量稱為最大似然估計(jì)量。若為的極大似然估計(jì)，g(X)為單調(diào)函數(shù)，則g(3為g()的極大似然估計(jì)。(2)無估計(jì)偏設(shè)(X1,X2,Xn)為未知參數(shù)的估計(jì)量。若E()=，則稱為

31、量的性的無偏估計(jì)量。評(píng)選E(X)=E(X),E(S2)=D(X)標(biāo)準(zhǔn)有效設(shè)11(X1,X,2,Xn及D22(X1,X,2,Xn)是未知參數(shù)的兩個(gè)性無偏估計(jì)量。若D(1)D(2),則稱1比2有效。致性設(shè)n是的一串估計(jì)量，如果對(duì)于任意的正數(shù)，都有則稱n為的一致估計(jì)量(或相合估計(jì)量)。若為的無偏估計(jì)，且D(?)0(n，則為的一致估計(jì)。只要總體的E一致估計(jì)量。(X)和D(X)存在，一切樣本矩和樣本矩的連續(xù)函數(shù)都是相應(yīng)總體的(3)區(qū)間置信設(shè)總體X含有-Z個(gè)待估的未知參數(shù)。如果我們從樣本X1,X,2,Xn出發(fā),找估計(jì)區(qū)間出兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量11(x1，x，2，1門)與22(x1,X,2,Xn)(12),和置使得區(qū)間1,2以1(01)的概率包含這個(gè)待估參數(shù)，即信度那么稱區(qū)間1,2為的置信區(qū)間，1為該區(qū)間的置信度(或置信水平)O單正設(shè)X1,X,2,Xn為總體一一一一一2一.XN(,)的一個(gè)樣