橢圓焦半徑公式及應(yīng)用

1、橢圓焦半徑公式及應(yīng)用橢圓上的任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的長稱為此曲線上該點(diǎn)的焦半徑，根據(jù)橢圓的定義，很容易推導(dǎo)出橢圓的焦半徑公式。在涉及到焦半徑或焦點(diǎn)弦的一些問題時(shí)，用焦半徑公式解題可以簡化運(yùn)算過程。一、公式的推導(dǎo)設(shè)P"。，力）是橢圓上的任意一點(diǎn)，6（-。#）、FJcM分別是橢圓的左、Yyat+與=1（a）b）口）I口匚,II口口I右焦點(diǎn)，橢圓不M,求證肝卜a+比口，IP%|="徐。0證法1：|PFi卜+4+y?=J（皿+c）W-,°=卷/+2二十八一 口 T |30又因?yàn)镮PFi|+1P%卜重，所以|PF?卜"/.PF卜a+蚓，IPF?卜"叫證法2：設(shè)

2、p到左、右準(zhǔn)線的距離分別為dr%,由橢圓的第二定義知|PH|生于=©%=|孫-卜J）卜島+上|力，又cc呼2卜2"危+墨，="%。岳/理卜ije=：（x0+?=a+醒,所以cc.PF卜a+叫，|PF#”m。、公式的應(yīng)用土+Z1=14f-例1橢圓行了一上三個(gè)不同的點(diǎn)A(y)、B('5)、C(Xp%)到焦點(diǎn)F(4,0)的距離成等差數(shù)列，求X1+X的值。=25解：在已知橢圓中，右準(zhǔn)線方程為*=彳，設(shè)A、B、C到右準(zhǔn)線的距離25255125jjjdi=Xi%=4d5=町為赤%則i4，口4、§4L.|AF卜二c,|即|“/，|CF卜%c,而|AF|、|BF

3、|、|CF|成等差數(shù).2%叫+%,即2/4)=2x+(Xi+X2)即+町=8。評析：涉及橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離問題，一般采用焦半徑公式求解，即利用焦半徑公式可求出A、BC三點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)即可求出Sl+叼的值。二十匕例2設(shè)45為橢圓W彳一的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)p在橢圓上。已知p、IPFJ解：由橢圓方程可知a=3,由橢圓的對稱性，不妨設(shè)P 點(diǎn)，則由題意知FJ應(yīng)為左焦半徑,|PE|-3 +由焦半徑公式，得(1)若/ PFJi為直角，則(3 +與孫尸=。一條/ lPFil+ (2同，解得題=后,故|P引b=2,并求得C=V5 ,離心率 3 。)(%,%)(xo>Of ypO)是橢圓上

4、的一IFF/應(yīng)為右焦半徑。f町|P馬卜-/區(qū)。J9J0四|'=|叫叼強(qiáng)|即720_ 一后6、內(nèi)是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且叫冊力,求|PF?|的值。(2)若/即再為直角,則四|，|明|組強(qiáng)|即(3+?孫+(3-兩)1-3J5(2后y,解得。一歹，故|PF?I3-10評析：當(dāng)題目中出現(xiàn)橢圓上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離時(shí)，常利用焦半徑公式把問題轉(zhuǎn)化，此例就利用焦半徑公式成功地求出期值。工十二1例3已知橢圓C:丁,3片為其兩個(gè)焦點(diǎn)，問能否在橢圓C上找一點(diǎn)M使點(diǎn)M到左準(zhǔn)線的距離|MN|是1研與1恥/的等比中項(xiàng)。若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。解：設(shè)存在點(diǎn)M(而加，使|MN=|MF小|MFJ,由已知得a=2,b=田,c=1,|xD+4P-(a+ex0)(a-ezn)-aa-eaZn-4-zJEc兀左準(zhǔn)線為x=4,則5°,°4°,即以+32旬+48=0,解得許-4星-2,2,或“-彳乳&