第二章 平面立體

1、一、判斷平面與直線的相對(duì)位置知識(shí)點(diǎn)：平面與直線的位置關(guān)系：平行、相交（垂直）解答見(jiàn)下圖：   二、過(guò)點(diǎn)K作一平面，同時(shí)平行于直線AB及CD。知識(shí)點(diǎn)：平行線性質(zhì)平行、同向、成比例；線面平行定理。分析：根據(jù)兩相交直線確定一個(gè)平面的基本原理，只要過(guò)點(diǎn)K分別作直線平行于直線AB和CD即可。而兩直線平行，他們的同面投影也對(duì)應(yīng)平行。但此時(shí)CD是側(cè)垂線，所以就必須保證與CD平行的直線KL的投影與CD的投影對(duì)應(yīng)成比例，即kl：kl=cd：cd，如圖所示：解答見(jiàn)下圖： 三、過(guò)直線BC作平面平行于直線DE（用幾何元素表示），再過(guò)點(diǎn)A作鉛垂面平行于直線DE（用跡線表示）。&#

2、160; 知識(shí)點(diǎn)：直線與平面平行；跡線表示平面的方法。解答見(jiàn)下圖：   四、過(guò)點(diǎn)A作平面平行于已知平面。知識(shí)點(diǎn)：平行線性質(zhì)；兩平面平行定理。1) 過(guò)A點(diǎn)作ABC、ADE，A構(gòu)成的平面即為所求；2）由于平面DBC為鉛垂面，平面A的跡線PHDBC即可，1a、a2可隨意。 五、已知平行兩直線AB和CD給定一平面，直線MN和平面EFG均與它們平行，試畫(huà)出它們的另一投影。 知識(shí)點(diǎn)：平行線性質(zhì)；線面平行定理；兩平面平行定理geab和 e已知，如圖作egba求得g；作CEF,求得f；作BMN,求得n解答見(jiàn)下圖： 六、判斷給出的兩平面是否平

3、行。知識(shí)點(diǎn)：平行線性質(zhì)；兩平面平行定理。1分析：如果兩平面平行，那么一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線對(duì)應(yīng)平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線。由投影圖可知，ABEF，如若能在ABCD所確定的平面內(nèi)再作出一條直線A EG則兩平面平行，否則不平行。2作圖步驟：1）作a1eg；2）求出a1并檢驗(yàn)a1是否平行于eg，此時(shí)a1eg。綜上所述，給出的兩平面相互平行。解答如下圖：七、過(guò)點(diǎn)K作一側(cè)平線與ABC平行。知識(shí)點(diǎn)：平行線性質(zhì)平行、同向、成比例。分析：要作一條側(cè)平線平行于已知平面，則該直線必平行于已知平面內(nèi)的一條側(cè)平線。作圖步驟：1）確定BN（bn，bn）為ABC面內(nèi)的一側(cè)平線，用直線連接bk、bk；2）分別過(guò)點(diǎn)n和n

4、作nlbk和nlbk，所作二直線分別交kk連線于點(diǎn)l和l。則KL（kl，kl）為所求。 八、已知ABC與兩直線DE、FG平行，求ABC的正面投影。知識(shí)點(diǎn)：直線與平面平行既直線平行于平面內(nèi)一直線。分析：由已知條件只要作出正面投影中面內(nèi)DE、FG的平行線即可求ABC的正面投影。但只有B點(diǎn)已知，所以上述所作線必須與b聯(lián)系既水平投影與b聯(lián)系同時(shí)與a、b、c聯(lián)系。做圖步驟：1、觀察直線的方向，過(guò)b作b2de交ac于2點(diǎn)（聯(lián)系A(chǔ)C）；2、過(guò)a作a1fg交b2于1點(diǎn)（聯(lián)系A(chǔ)）；3、作B、A的正面投影b2、a1，配合長(zhǎng)對(duì)正求得答案。 九、求直線與平面的交點(diǎn)K，并判別1）、2）、4）的可見(jiàn)性

5、。知識(shí)點(diǎn)：直線與特殊平面相交交點(diǎn)同時(shí)屬于二者。1）、3）、4）中的平面為鉛垂面，2）中的為正垂面。其中在平面的投影為非積聚性時(shí)，直線在與平面的公共部分存在可見(jiàn)性直線被平面遮蓋部分畫(huà)為虛線，見(jiàn)1）、2）、4）；3）中平面為跡線表示，沒(méi)有實(shí)際大小，所以不需要判斷直線正面投影中的可見(jiàn)性（如果平面無(wú)限大，所畫(huà)出的整個(gè)直線段均位于平面后方為不可見(jiàn)）。解答見(jiàn)下圖： 十、求作直線與平面的交點(diǎn)，并判斷1）、2）、3）、5）的可見(jiàn)性。知識(shí)點(diǎn)：直線與平面的交點(diǎn)問(wèn)題。1）為鉛垂線與一般面相交：交點(diǎn)同屬平面和直線；其水平投影位于面內(nèi)的直線積聚點(diǎn)處。2）、3）、4）情況類(lèi)似，求解方法是假設(shè)該直線位于一投影面的

6、垂直平面內(nèi)，求得二面交線，該交線與直線的交點(diǎn)即為所求；2）3）4）都是假設(shè)直線位于一鉛垂面內(nèi)，2）中交線易求；但3）中鉛垂面與CD交點(diǎn)的正面投影要成比例求得；4）延長(zhǎng)ba后與2）相同求得。5）交點(diǎn)正面投影已明顯直線與正垂面積聚線的交點(diǎn)，但其水平投影應(yīng)采用點(diǎn)分直線的比例固定的性質(zhì)比例三角形法求得。6）與1）類(lèi)似，不同處是正垂線積聚點(diǎn)位于有限平面CDE外，但交點(diǎn)在三點(diǎn)所決定的平面內(nèi)。十一、求兩平面的交線，并判斷可見(jiàn)性。 分析：因?yàn)锳BC是鉛垂面，所以，DEF中的DF和EF邊與ABC的交點(diǎn)（1，1）、（2，2）能夠直接找到，即：dfabc1，efabc2，由此求得1，2?？梢?jiàn)性問(wèn)題：由于點(diǎn)

7、F在ABC的后面，所以，在正面投影中1f，2f線段被abc所包含的部分不可見(jiàn)。 解答見(jiàn)下圖：十二、求兩平面的交線，并判斷可見(jiàn)性。知識(shí)點(diǎn)：兩一般面的交線。分析：求兩平面的交點(diǎn)，只要求出兩平面的兩個(gè)公有點(diǎn)再連線即可。作圖步驟：1）包含直線DF和EF分別作鉛垂面P（PH）和Q（QH），2）利用2-11中的方法求得DF和EF與ABC的交點(diǎn)，再用線段連接交點(diǎn)的同名投影。解答見(jiàn)下圖： 十三、求兩平面的交線，并判斷可見(jiàn)性。 知識(shí)點(diǎn)：垂直面與一般面交線問(wèn)題。注意可見(jiàn)性。 十四、求兩平面的交線，并判斷可見(jiàn)性。知識(shí)點(diǎn)：兩一般面的交線十五、求兩平面的交線。 知識(shí)點(diǎn)：

8、三面共點(diǎn)法求兩面交線。解答見(jiàn)下圖： 十六、過(guò)點(diǎn)K作直線與交叉兩直線AB和CD相交。知識(shí)點(diǎn)：兩相交線構(gòu)成一平面；線、面交點(diǎn)?；仨敳? 分析：既然所作直線（設(shè)為K）與交叉二直線都相交，則該直線與已知的任意一條直線就確定一個(gè)平面。如若作出這個(gè)平面，并求此平面與另一直線的交點(diǎn)，則問(wèn)題得解。作圖步驟：1）由已知直線AB和點(diǎn)K構(gòu)成ABK（abk，abk），2）求CDABK=（2，2），3）過(guò)點(diǎn)K和點(diǎn)作直線K，KAB=（1，1）。則直線K即為所求。 十七、作一直線與直線AB和CD都相交，且平行于直線EF。知識(shí)點(diǎn)：線、面平行；線、面交點(diǎn)；線、線平行。分析：1）設(shè)所作直線為MN。依題意，由MN和AB或CD所確定的平面與直線EF平行（即MN被過(guò)AB或CD之一所作的與EF平行的平面所包含）。作圖步驟：1)過(guò)直線CD作平面CD×C（注：×為相交）； 2)求ABCD×C=M； 3）過(guò)點(diǎn)M作直線MN（mn，mn），MNCD=N（n，n）；直線MN即為所求。十八、過(guò)點(diǎn)A作一直線與直線BC相交，并平行于DEF。知識(shí)點(diǎn)：相交線問(wèn)題；線面平行的衍生問(wèn)題。分析：根據(jù)已知條件，所求直線必然被過(guò)點(diǎn)A且平行