距離空間的概率列緊性

1、距離空間的概率列緊性 作者：張志旭 汪宏遠 曹萬昌 崔成賢 溫紹泉【摘要】 討論了距離空間中集合的概率列緊性，在一定的條件下證明了距離空間中的概率列緊性是可分的。 【關鍵詞】 距離空間； 三角范數(shù)； 列緊性 1 基本概念定義1.11 （X，F(xiàn)）稱為距離空間，X為抽象集，映射F ：XXX0 （簡記 F(a,b,c)=Fabc, Fabc(t)表示Fabc 在實數(shù)t 的值）滿足下列條件： Fabc(0)=0； a,bX, ab cX,t00，使得Fabc(t0)0,當a,b,c 中至少有二元相等； Fabc=Facb=Fbca； Fabc(t1)=Facb(t2)=Fbca(t3)=1Fabc(t

2、1+t2+t3)=1 。定義1.2 T 稱為三角范數(shù)，且T 滿足0,10,10,10,1 映射，T 還滿足下列條件： T(a,1,1)=a, T(0,0,0)=0； T(a1，b1,c1)T(a2,b2,c2), 當a1a2,b1b2,c1c2 ； T(a,b,c)=T(a,c,b)=T(b,c,a)； TT(a,b,c),d,e=Ta,T(b,c,d),e=Ta,b,T(c,d,e)。定義1.3 (X,F,T)稱為Menger空間，滿足下列條件： (X,F)為距離空間； T為三角范數(shù)；不等式Fabc(t1+t2+t3)T(Fabc(t1),Facb(t2),Fbca(t3) 成立。 定義1.

3、4 設(X,F) 為距離空間，若 x1,x2,xnX,xn 收斂于X 充要條件為0,0,aX,N(,) 使得當nN(,) 時，有Fxxna()1-； AX，a 為A 的聚點充要條件為：對X 中的任意有限個點b1,b2,bn ，A中存在不同于a 的點列 an，使得limnFaanbj(t)=H(t)(j=1,2,n) ； 稱=AA的聚點 為A 的閉包。 定義1.5 設(X,F) 為距離空間， X中的無窮集A 稱為概率列緊集充要條件為A 的任一無窮子集A1 必然含有一個收斂的點列，即存在anA1,aX ,使得ana ,若X 是概率列緊集,則稱(X,F) 為概率列緊空間。 定義1.6 設(X,F)

4、為距離空間，0,0,AX,BX ，若存在A 的有限子集A=a1,a2,an ，使得對任意的aiA ，有Faaib()1-(bB) ，則稱 A是關于B 的一個(,) 網(wǎng)。 定義1.7 距離空間（X，F(xiàn)） 具有性質(zhì)K 充要條件為對任意的使F(abc(t)H(t) ，而 limnFaban(t)=H(t)，limnFacan(t)=H(t) 成立的X 中的點列an 的limnFaann(t)=H(t),aX 定義1.8 (X,F)為距離空間，AX 稱為概率可分的充要條件為存在X 的可數(shù)子集B ，使得A 若X 為概率可分的抽象集，稱(X,F) 為概率可分距離空間。2 主要結(jié)論 定理2.1 設（X，F(xiàn)，

5、T） 為Menger空間，T 連續(xù)函數(shù)，AX 是概率列緊的充分條件為0,0 及X 的任意有限子集B ，存在A 關于B 的(,) 網(wǎng)。 證明：設B=bb1,b2,bn 是X 中的任一有限子集，0,0 ，取a1A ，若a1 不是A 關于B 的 （,)網(wǎng)，則必存在一點a2A,b12B ，使得Fa1a2b12 ()1-，若a1,a2 仍不構(gòu)成A 點關于B 的(，) 網(wǎng)，則必存在a3A,b13,b23B ，使得Fa1a3b13()1- ，F(xiàn)a2a3b23()1-。如此繼續(xù)下去，我們便得到A 的有限子集 A=a1,a2,an為A關于B 的(,) 網(wǎng)。 若不然，依上法便得到A 中的點列an 及B 中的點列b

6、12，b13,b23,b1m,bb-1m, 使得： Faiajbij()1- ij(1) 因AX 是概率列緊集，且anA ，aiaj(ij) ，故存在an 的子列ank 及aX ，使得ank a 。 因為T 連續(xù)函數(shù)，則對上述的0 ，存在0 ，使得T(1-,1-,1-)1- 。 又因B 為有限集及anka ，故對上述0,0 存在自然數(shù)1，當k1 時，對bB ，有：Faankb(3)1-(2) 特別的，有 Faan1b(3)1- 又對0 ，0 及an1 ，存在自然數(shù)S ，當ks 時，有 Faanka(3)1-(3) 取k=max1,s ，當kK 時，、式都成立，故對bB ，有： Fan1ankb

7、()T(Faankb(3),Faan1b(3),Faan1ank(3)T(1-,1-,1-)1-這與式矛盾，故A 為A 關于B 的(,) 網(wǎng)。 定理2.2 （X，F(xiàn)） 為距離空間，AX,aX ，a 為A 的聚點充要條件為存在Fabc(t)H(t),a,b,cX 及點列anX,ana,i1,2,n，使limnFaba(t)=H(t),limnFcan(t)=H(t) 。 定理2.3 設(X,F,T) 為2Menger空間且具有性質(zhì)K ，T連續(xù),AX 為概率列緊的充分條件是 A為概率可分的。 證明：取c,dX,cd ，則有eX,t00 ，使得Fcde(t0)1-1n;Fabnd(1n)1-1n;F

8、abne(1n)1-1n 。于是對B 中的點列bn ，有： limnFabnc(t)=H(t) (4) limnFabnd(t)=H(t) (5) limnFabne(t)=H(t) (6) 因為Fade(t0)1 ，而有Fabe(t)H(t) ，F(xiàn)ace(t)H(t) ，F(xiàn)ade(t)H(t) 至少有一個成立。 若不然，由 Fabe(t03)=1，F(xiàn)ace(t03)=1 ，F(xiàn)ade(t03)=1 及定義1.5得到Fcde(t0)=1 。 不妨設Face(t)H(t) ,因(S,F,T) 所具有的性質(zhì)及、式成立，由定理2.2，已知 a是B 的聚點，而有a ，進而A ，A 是概率可分的。 推論 設（X,FT) 為