現(xiàn)代控制理論大作業(yè)倒立擺

1、摘要倒立擺系統(tǒng)是一個復(fù)雜的、高度非線性的、不穩(wěn)定的高階系統(tǒng)，是學(xué)習(xí)和研究現(xiàn)代控制理論最合適的實(shí)驗(yàn)裝置。倒立擺的控制是控制理論應(yīng)用的一個典型范例，一個穩(wěn)定的倒立擺系統(tǒng)對于證實(shí)狀態(tài)空間理論的實(shí)用性是非常有用的。本文主要研究的是二級倒立擺的極點(diǎn)配置方法，首先用Lagrange方程建立了二級倒立擺的數(shù)學(xué)模型，然后對二級倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析和研究，并給出了系統(tǒng)能控能觀性的判別。基于現(xiàn)代控制理論中的極點(diǎn)配置理論，根據(jù)超調(diào)量和調(diào)整時間來配置極點(diǎn)，求出反饋矩陣并利用Simulink對其進(jìn)行仿真，得到二級倒立擺的變化曲線，實(shí)現(xiàn)了對閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定控制。關(guān)鍵詞：二級倒立擺；極點(diǎn)配置；Simulink目錄1.

2、緒論12 數(shù)學(xué)模型的建立和分析12.1 數(shù)學(xué)建模的方法12.2 二級倒立擺的結(jié)構(gòu)和工作原理22.3 拉格朗日運(yùn)動方程32.4推導(dǎo)建立數(shù)學(xué)模型43 二級倒立擺系統(tǒng)性能分析103.1 穩(wěn)定性分析103.2 能控性能觀性分析114 狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置124.1 二級倒立擺的最優(yōu)極點(diǎn)配置1124.2 二級倒立擺最優(yōu)極點(diǎn)配置2135. 二級倒立擺matlab仿真155.1 Simulink搭建開環(huán)系統(tǒng)155.2 開環(huán)系統(tǒng)Simulink仿真結(jié)果155.3 Simulink搭建極點(diǎn)配置后的閉環(huán)系統(tǒng)165.4極點(diǎn)配置Simulink仿真結(jié)果175.4.1 第一組極點(diǎn)配置仿真結(jié)果175.4.2 第二組極點(diǎn)配置仿

3、真結(jié)果196.結(jié)論207.參考文獻(xiàn)21附錄一221. 緒論倒立擺最初誕生于麻省理工學(xué)院，僅有一級擺桿，另一端鉸接于可以在直線導(dǎo)軌上自由滑動的小車上。后來在此基礎(chǔ)上，人們又進(jìn)行拓展，設(shè)計出了直線二級倒立擺、環(huán)型倒立擺、平面倒立擺、柔性連接倒立擺、多級倒立擺等實(shí)驗(yàn)設(shè)備。在控制理論的發(fā)展過程中，為驗(yàn)證某一理論在實(shí)際應(yīng)用中的可行性需要按其理論設(shè)計的控制器去控制一個典型對象來驗(yàn)證。倒立擺系統(tǒng)作為一個實(shí)驗(yàn)裝置，形象直觀，結(jié)構(gòu)簡單，成本低廉；作為一個控制對象，他又相當(dāng)復(fù)雜，同時就其本身而言，是一個高階次、不穩(wěn)定、多變量、非線性、強(qiáng)耦合系統(tǒng)，只有采取行之有效的控制方法才能使之穩(wěn)定，因此倒立擺裝置被公認(rèn)為是自動

4、控制理論中的典型實(shí)驗(yàn)設(shè)備。綜合文獻(xiàn)資料，倒立擺控制的方法主要有：PID控制，狀態(tài)反饋，利用云模型，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制，遺傳算法，自適應(yīng)控制，模糊控制，變論域自適應(yīng)模糊控制理論，智能控制等多種算法來實(shí)現(xiàn)倒立擺的控制。本文主要構(gòu)建二級倒立擺的數(shù)學(xué)模型的建立與分析，對倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行控制方法的研究。本文就以下幾個問題進(jìn)行了論述。1.二級倒立擺的數(shù)學(xué)模型的建立與分析。在建模部分，首先采用拉格朗日方程推導(dǎo)數(shù)學(xué)模型，并對系統(tǒng)的可控性可觀性進(jìn)行分析，并分析倒立擺系統(tǒng)控制的難易程度。2.二級倒立擺的控制原理及方法的研究。本文主要采用狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置的方法對二級倒立擺進(jìn)行研究。3.采用Matlab語言進(jìn)行數(shù)字仿真，分析

5、仿真結(jié)果。2 數(shù)學(xué)模型的建立和分析2.1 數(shù)學(xué)建模的方法所謂系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型就是利用數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)來反映系統(tǒng)內(nèi)部之間、內(nèi)部與外部某些因素之間的精確的定量的表示。它是分析、設(shè)計、預(yù)報和控制一個系統(tǒng)的基礎(chǔ)，所以要對一個系統(tǒng)進(jìn)行研究，首先要建立它的數(shù)學(xué)模型。建立倒立擺系統(tǒng)的模型時，一般采用牛頓運(yùn)動規(guī)律，結(jié)果要解算大量的微分方程組，而且考慮到質(zhì)點(diǎn)組受到的約束條件，建模問題將更加復(fù)雜，為此本文采用分析力學(xué)方法中的Lagrange方程推導(dǎo)倒立擺的系統(tǒng)模型。Lagrange方程有如下特點(diǎn)：1.它是以廣義坐標(biāo)表達(dá)的任意完整系統(tǒng)的運(yùn)動方程式，方程式的數(shù)目和系統(tǒng)的自由度是一致的。2.理想約束反力不出現(xiàn)在方程組中，因此在建

6、立運(yùn)動方程式時，只需分析已知的主動力，而不必分析未知的約束反力。3.Lagrange方程是以能量觀點(diǎn)建立起來的運(yùn)動方程，為了列出系統(tǒng)的運(yùn)動方程，只需要從兩個方面去分析，一個是表征系統(tǒng)運(yùn)動的動力學(xué)量系統(tǒng)的動能，另一個是表征主動力作用的動力學(xué)量廣義力。因此用Lagrange方程來求解系統(tǒng)的動力學(xué)方程可以大大簡化建模過程。2.2 二級倒立擺的結(jié)構(gòu)和工作原理如圖2.1，系統(tǒng)包括計算機(jī)、運(yùn)動控制卡、伺服機(jī)構(gòu)、倒立擺本體（小車，上擺，下擺，皮帶輪等）和光電碼盤幾大部分，組成了一個閉環(huán)系統(tǒng)。光電碼盤1將小車的位移、速度信號反饋給伺服驅(qū)動器和運(yùn)動控制卡，下面一節(jié)擺桿（和小車相連）的角度、角速度信號由光電碼盤2

7、反饋回控制卡和伺服驅(qū)動器，上面一節(jié)擺桿的角度和角速度信號則由光電碼盤3反饋。計算機(jī)從運(yùn)動控制卡中讀取實(shí)時數(shù)據(jù)，確定控制決策（小車向哪個方向移動、移動速度、加速度等），并由運(yùn)動控制卡來實(shí)現(xiàn)該控制決策，產(chǎn)生相應(yīng)的控制量，使電機(jī)轉(zhuǎn)動，帶動小車運(yùn)動，保持兩節(jié)擺桿的平衡。圖2.1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和工作原理圖2.3 拉格朗日運(yùn)動方程拉格朗日提出了用能量的方法推導(dǎo)物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，首先我們引入廣義坐標(biāo)，拉格朗日方程。廣義坐標(biāo)：系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)是描述系統(tǒng)運(yùn)動必需的一組獨(dú)立坐標(biāo)，廣義坐標(biāo)數(shù)等同于系統(tǒng)自由度數(shù)。如果系統(tǒng)的運(yùn)動用n維廣義坐標(biāo)q1,q2,qn來表示，我們可以把這n維廣義坐標(biāo)看成是n維空間的n位坐標(biāo)系中的坐標(biāo)

8、。對于任一系統(tǒng)可由n維空間中的一點(diǎn)來表征。系統(tǒng)在n維空間中運(yùn)動形成的若干系統(tǒng)點(diǎn)連成一條曲線，此曲線表示系統(tǒng)點(diǎn)的軌跡。拉格朗日方程：Lq,q=Tq,q-Vq,q(2.1)式中，拉格朗日算子，系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，系統(tǒng)的動能，系統(tǒng)的勢能。拉格朗日方程由廣義坐標(biāo)和表示為:ddtLqi-Lqi=fi(2.2)式中，系統(tǒng)沿該廣義坐標(biāo)方向上的外力，在本系統(tǒng)中，設(shè)系統(tǒng)的三個廣義坐標(biāo)分別是。 2.4推導(dǎo)建立數(shù)學(xué)模型在推導(dǎo)數(shù)學(xué)模型之前，我們需要幾點(diǎn)必要的假設(shè)：1.上擺、下擺及小車均是剛體；2.皮帶輪與傳動帶之間無相對滑動；傳動皮帶無伸長現(xiàn)象；3.小車運(yùn)動時所受的摩擦力正比于小車的速度；4.小車的驅(qū)動力與直流放大器的輸

9、入成正比，且無滯后，忽略電機(jī)電樞繞組中的電感；5.下擺轉(zhuǎn)動時所受到的摩擦力矩正比于下擺的轉(zhuǎn)動速度；6.上擺運(yùn)動時所受到的摩擦力矩正比于上擺對下擺的相對角速度；二級倒立擺的運(yùn)動分析示意圖如圖2.2yxxFm1m32m2M圖2.2 二級倒立擺運(yùn)動分析示意圖倒立擺系統(tǒng)參數(shù)如下：小車系統(tǒng)的等效質(zhì)量M=1.32Kg擺桿1 質(zhì)量=0.04Kg 擺桿1 轉(zhuǎn)動中心到桿質(zhì)心距離=0.09m擺桿2 質(zhì)量m2=0.132Kg 擺桿2 轉(zhuǎn)動中心到桿質(zhì)心距離l2=0.27m質(zhì)量塊質(zhì)量=0.208Kg作用在系統(tǒng)上的外力F擺桿1 與垂直向上方向的夾角擺桿2 與垂直向上方向的夾角首先，計算系統(tǒng)的動能： (2.3)小車動能：T

10、M=12Mx2 (2.4)擺桿1動能： (2.5)式中，Tm1'-擺桿1質(zhì)心平東動能Tm1''-擺桿1繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動動能 (2.6) (2.7)則 (2.8)擺桿2動能： (2.9)式中，Tm2'-擺桿1質(zhì)心平東動能Tm2''-擺桿1繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動動能 (2.10) (2.11) (2.12)質(zhì)量塊動能： (2.13)因此，可以得到系統(tǒng)總動能： (2.14)系統(tǒng)的勢能為：(2.15)至此得到拉格朗日算子： (2.16)由于因?yàn)樵趶V義坐標(biāo)上均無外力作用，有以下等式成立： (2.17) (2.18)展開(2.17)、(2.18)式，分別得到(2.19)、(2

11、.20)式 (2.19) (2.20)將(2.19)、(2.20)式對求解代數(shù)方程，得到以下兩式 (2.21) (2.22)表示成以下形式： (2.23) (2.24)取平衡位置時各變量的初值為零， (2.25)將(2.23)式在平衡位置進(jìn)行泰勒級數(shù)展開，并線性化，令 (2.26) (2.27) (2.28) (2.29) (2.30) (2.31) (2.32)得到線性化之后的公式 (2.33)將在平衡位置進(jìn)行泰勒級數(shù)展開，并線性化，令 (2.34) (2.35) (2.36) (2.37) (2.38) (2.39) (2.40)得到 (2.41)即: (2.42) (2.43)現(xiàn)在得到了

12、兩個線性微分方程，由于我們采用加速度作為輸入，因此還需加上一個方程: (2.44)取狀態(tài)變量如下： (2.45)則狀態(tài)空間方程如下： (2.46)將以下參數(shù)代入 求出各個值： 得到狀態(tài)方程各個參數(shù)矩陣： 3 二級倒立擺系統(tǒng)性能分析3.1 穩(wěn)定性分析二級倒立擺的特征方程為: (3.1)Matlab中，用函數(shù)eig(A)來計算系統(tǒng)矩陣的特征值，經(jīng)過計算，系統(tǒng)的特征值為： (3.2)開環(huán)系統(tǒng)有兩個開環(huán)極點(diǎn)位于平面右半平面上，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。同時，根據(jù)前面的狀態(tài)空間表達(dá)式，在matlab中，用step(A,B,C,D)函數(shù)對系統(tǒng)的階躍響應(yīng)進(jìn)行分析：圖1 開環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)從上圖可以看出，在階躍響

13、應(yīng)的作用下，系統(tǒng)是發(fā)散的。3.2 能控性能觀性分析對于線形狀態(tài)方程 (3.3)其能控性矩陣為： (3.4)求的秩 (3.5)所以系統(tǒng)是完全能控的。其能觀性矩陣為：C0=C,CA,CA2,CA3,CA4,CA5T (3.6)求的秩 (3.7)所以系統(tǒng)是完全能觀的。（代碼見附錄）由上述計算結(jié)果可知，二級倒立擺系統(tǒng)是開環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)，但它的狀態(tài)是完全能控且完全能觀測的。因此，可以對其實(shí)現(xiàn)閉環(huán)最優(yōu)控制。4 狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置4.1 二級倒立擺的最優(yōu)極點(diǎn)配置1在式3.3中，A為6*6陣；B為6*1陣；C為3*6陣。是一個單輸入系統(tǒng)，且完全能控、能觀測。因此，可按照最優(yōu)控制系統(tǒng)的極點(diǎn)配置方法進(jìn)行設(shè)計。對于一般

14、控制系統(tǒng)，閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的選取應(yīng)使0.40.8。但二級倒立擺是一個特殊的高階系統(tǒng)，穩(wěn)定性是主要矛盾，因此可適當(dāng)增加，即適當(dāng)降低響應(yīng)速度，來彌補(bǔ)系統(tǒng)穩(wěn)定性要求。相應(yīng)在選擇性能指標(biāo)時，應(yīng)適當(dāng)減小系統(tǒng)的超調(diào)量。對于二階倒立擺系統(tǒng)，主要針對如下兩個主要的性能指標(biāo)進(jìn)行設(shè)計：超調(diào)量：0.005調(diào)節(jié)時間：ts2.5s=e-1-2(4.1)ts=4-ln1-2n (4.2)這里，誤差范圍取為2%,將上述性能指標(biāo)代入式4.1和式4.2得到二級倒立擺系統(tǒng)的2個性能指標(biāo)滿足0.826，n2.17，取=0.826，n=2.17將得到的阻尼比與自然角頻率代入下式：s1,s2=-n±jn1-2(4.3)得到二級倒

15、立擺系統(tǒng)的2個主導(dǎo)極點(diǎn)為：s1=-1.87+1.11j, s2=-1.87-1.11j(4.4)對于其他四個非主導(dǎo)極點(diǎn)，不妨設(shè)為四重極點(diǎn)，且距主導(dǎo)極點(diǎn)10倍以上，即滿足下式：s3=s4=s5=s610*2.17=21.7(4.5)所以，另外四個非主導(dǎo)極點(diǎn)取為：s3=s4=s5=s6=-22到此，二級倒立擺的6個極點(diǎn)都已確定。P=-1.87+1.11j -1.87-1.11j -22 -22 -22 -22（4.6）在matlab中輸入K=acker(A,B,P)可求得:K = 1.0e+03 * 0.5281 0.4618 -2.6379 0.5136 -0.0797 -0.4476至此，完成

16、了二級倒立擺控制器的設(shè)計。接下來在matlab中仿真得到：圖2 極點(diǎn)配置后單位階躍響應(yīng)14.2 二級倒立擺最優(yōu)極點(diǎn)配置2在上述基礎(chǔ)上，繼續(xù)調(diào)整超調(diào)量和調(diào)整時間，使二級倒立擺達(dá)到穩(wěn)定。第二次?。撼{(diào)量：0.05調(diào)節(jié)時間：ts2.5s這里，誤差范圍仍取為2%,代入式4.1和式4.2得到二級倒立擺系統(tǒng)的2個性能指標(biāo)滿足0.69，n2.51，取=0.69，n=2.51將得到的阻尼比與自然角頻率式4.3得到第二組主導(dǎo)極點(diǎn)：s1=-1.73+1.81j, s2=-1.73-1.81j(4.4)對于其他四個非主導(dǎo)極點(diǎn)，不妨設(shè)為四重極點(diǎn)，且距主導(dǎo)極點(diǎn)10倍以上，即滿足下式：s3=s4=s5=s612*2.5=

17、30(4.5)所以，另外四個非主導(dǎo)極點(diǎn)取為：s3=s4=s5=s6=-30因此，第二組極點(diǎn)P2=-1.73+1.81j -1.73-1.81j -30 -30 -30 -30在matlab中輸入K2=acker(A,B,P2)可求得:K2 = 1.0e+03 * 2.4205 0.5209 -7.4977 1.6587 -0.2846 -1.2008接下來繪制極點(diǎn)配置后系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)圖：圖3極點(diǎn)配置后單位階躍響應(yīng)25. 二級倒立擺matlab仿真5.1 Simulink搭建開環(huán)系統(tǒng)圖4 開環(huán)系統(tǒng)仿真圖5.2 開環(huán)系統(tǒng)Simulink仿真結(jié)果圖5 開環(huán)系統(tǒng)matlab仿真結(jié)果圖由上圖可知，在

18、Simulink中搭建的開環(huán)系統(tǒng)是發(fā)散的，與理論計算的結(jié)果吻合。5.3 Simulink搭建極點(diǎn)配置后的閉環(huán)系統(tǒng)圖6 極點(diǎn)配置優(yōu)化后的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖5.4極點(diǎn)配置Simulink仿真結(jié)果5.4.1 第一組極點(diǎn)配置仿真結(jié)果圖7 極點(diǎn)配置優(yōu)化后的結(jié)果圖圖8 小車位移曲線圖9 一級倒立擺角度曲線圖10 二級倒立擺角度曲線從以上的圖片可以看出，系統(tǒng)在給定輸入的情況下，1秒左右恢復(fù)到平衡點(diǎn)的位置附近，系統(tǒng)較好的快速性、穩(wěn)定性和精確性都非常理想，且無超調(diào)量，符合要求。5.4.2 第二組極點(diǎn)配置仿真結(jié)果圖11 極點(diǎn)配置優(yōu)化后的結(jié)果圖圖12 小車位移曲線圖13 一級倒立擺角度曲線圖14 二級倒立擺角度曲線與第一組

19、極點(diǎn)相比，超調(diào)量略有增加，但調(diào)整時間有所下降，且都達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)符合要求。6.結(jié)論倒立擺系統(tǒng)就其本身而言，是一個多變量、快速、嚴(yán)重非線性和絕對不穩(wěn)定系統(tǒng)，必需采用有效的控制法使之穩(wěn)定，對倒立擺系統(tǒng)的研究在理論上和方法論上均有著深遠(yuǎn)的意義。本文借助拉格朗日方程，建立了二級倒立擺的數(shù)學(xué)模型，并通過線性化，得到了二級倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。應(yīng)用現(xiàn)代控制理論，分析了倒立擺的穩(wěn)定性、能控性、能觀性。隨后采用二次型最優(yōu)控制理論研究了倒立擺控制問題,并且運(yùn)用狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置的方法得到較好的控制效果。最后進(jìn)行了Matlab仿真，通過優(yōu)化前后優(yōu)化后的響應(yīng)曲線可以看出經(jīng)過極點(diǎn)配置算法優(yōu)化后的系統(tǒng)響應(yīng)的速度加快，超

20、調(diào)量明顯減少，穩(wěn)定時間和上升時間有所減少，系統(tǒng)的動態(tài)性能和靜態(tài)性能要比沒有優(yōu)化的控制效果好了很多。7.參考文獻(xiàn)1劉豹 唐萬生 現(xiàn)代控制理論（第三版） 機(jī)械工業(yè)出版社2夏德鈐 翁貽方 自動控制理論（第4版） 機(jī)械工業(yè)出版社3李國勇 程永強(qiáng) 計算機(jī)仿真技術(shù)與CAD基于matlab的控制系統(tǒng)（第三版） 電子工業(yè)出版社4 基于LQR的二級倒立擺控制系統(tǒng)研究 本科畢業(yè)論文5湯唯 基于直線二級倒立擺控制系統(tǒng)的研究 碩士學(xué)位論文6基于極點(diǎn)配置的倒立擺控制器設(shè)計 碩士學(xué)位論文附錄一%-階躍響應(yīng)下系統(tǒng)的穩(wěn)定性-A=0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 0 1;0 0 0 0 0 0; 0 77.0642 -21.1927 0 0 0;0 -38.5321 37.8186 0 0 0;B=0;0;0;1;5.7012;-0.0728;C=1 0 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0;0 0 1 0 0 0;D=0;0;0;step(A,B,C,D)%繪制階躍響應(yīng)%-能控能觀性判斷-A=0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 0 1;0 0 0 0 0 0; 0 77.0642 -21.1927 0 0 0;0 -38.5321 37.818