相似基本模型之三等角答案

1、相似基本模型-三等角型相似三角形三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等邊三角形為背景，一個(gè)與等腰三角形的底角相等的頂點(diǎn)在底邊所在的直線(xiàn)上，角的兩邊分別與等腰三角形的兩邊相交如圖所示：CADBEF典型例題【例1】如圖，等邊ABC中，邊長(zhǎng)為6，D是BC上動(dòng)點(diǎn)，EDF=60°（1）求證：BDECFD（2）當(dāng)BD=1，F(xiàn)C=3時(shí)，求BE 。（）ABCPQ【例2】嘉定區(qū)2009年一模（1）在中，點(diǎn)、分別在射線(xiàn)、上（點(diǎn)不與點(diǎn)、點(diǎn)重合），且保持.若點(diǎn)在線(xiàn)段上（如圖10），且，求線(xiàn)段的長(zhǎng)；若，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域；ABC備用圖ABCD圖12（2）正方形的邊長(zhǎng)為（如圖1

2、2），點(diǎn)、分別在直線(xiàn)、上（點(diǎn)不與點(diǎn)、點(diǎn)重合），且保持.當(dāng)時(shí)，寫(xiě)出線(xiàn)段的長(zhǎng)（不需要計(jì)算過(guò)程，請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果）.【例3】如圖，已知邊長(zhǎng)為的等邊，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)是射線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，以線(xiàn)段為邊向右側(cè)作等邊，直線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)，（1）寫(xiě)出圖八中與相似的三角形；（2）證明其中一對(duì)三角形相似；（3）設(shè)，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量的取值范圍；（4）若，試求的面積答：（1）BEFAMECFNGMN；3分證：（2）在BEF與AME中， BA60°,AEM+AME=120°1分GEF60°, AEM+BEF =120° BEFAME 1分(圖八)BEFAME1分解：（3）(i)

3、當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段AB上，點(diǎn)M、N在線(xiàn)段AC上時(shí)，如圖八，BEFAME，BEAMBFAE， 即：xAM2(3-x) ，AM，同理可證BEFCFN；BECFBFCN， 即：x12CN ，CN備用圖一A AC=AM+MN+CN，3=y ()1分+1分(ii) 當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段AB上，點(diǎn)G在ABC內(nèi)時(shí)，如備用圖一，A 同上可得：AM，CN AC=AM CNMN，3=y備用圖二A ()1分+1分 (iii) 當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如備用圖二， AM，CN AC= MN CNAM，3= y (x>3) 1分+1分綜上所述：()或 (x1)； （4）(i)當(dāng)AE1時(shí)，是邊長(zhǎng)為1等邊三角形，；1分 (i

4、i) 當(dāng)AE1時(shí)，是有一個(gè)角為30°的Rt，x=4, y=,NG=,分【例4】（2011年徐匯區(qū)一模25）如圖，在梯形中，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，以為頂點(diǎn)作，射線(xiàn)交腰于點(diǎn)，射線(xiàn)交腰于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)（1）求證：；（2）若是以為腰的等腰三角形，求的長(zhǎng)；（BM=EM時(shí)，EF=6;BM=BE時(shí)，EF=4.5）（3）若，求的長(zhǎng)（）強(qiáng)化訓(xùn)練：1. 如圖，在ABC中，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且(1) 求證：ABDDCE；(2) 如果，求與的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量的定義域；ABCDE(3) 當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，試說(shuō)明ADE是什么三角形，并說(shuō)明理由ABCDEF2. 已知：如圖，在ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E在邊B

5、C上又點(diǎn)F在邊AC上，且(1) 求證：FCEEBD；(2) 當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否有可能使如果有可能，那么求出BD的長(zhǎng)如果不可能請(qǐng)說(shuō)明理由CPEABF3. 如圖，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與B、C不重合)，PEAB與E，PFBC交AC與F，設(shè)PC=x，記PE=，PF=,PEF的面積為y（1）分別求、y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍；（2）PEF能為直角三角形嗎?若能，求出CP的長(zhǎng)，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。（3）若PEF為等腰三角形，求PC的長(zhǎng)。4、已知在等腰三角形中，是的中點(diǎn)， 是上的動(dòng)點(diǎn)（不與、重合），連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作射線(xiàn)，使，射線(xiàn)交射線(xiàn)于點(diǎn)，交射線(xiàn)于

6、點(diǎn).（1）求證：；（2）設(shè).用含的代數(shù)式表示；求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出的定義域.解：,1分1分又,1分 1分（2），2分是的中點(diǎn)，又 當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，1分當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上時(shí)，1分過(guò)點(diǎn)作,交于點(diǎn)1分，1分當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，1分1分當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上時(shí)，1分1分2001年上海中考CDABP4. 已知在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且AD5，ABDC2（1）如圖8，P為AD上的一點(diǎn)，滿(mǎn)足BPCA求證；ABPDPC求AP的長(zhǎng)（2）如果點(diǎn)P在AD邊上移動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、D不重合），且滿(mǎn)足BPEA，PE交直線(xiàn)BC于點(diǎn)E，同時(shí)交直線(xiàn)DC于點(diǎn)Q，那么當(dāng)點(diǎn)Q在線(xiàn)段DC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，設(shè)APx，CQy，求

7、y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域；當(dāng)CE1時(shí)，寫(xiě)出AP的長(zhǎng)（不必寫(xiě)出解題過(guò)程）5. 已知在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且BC =6，AB=DC=4，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn) （1）如圖，P為BC上的一點(diǎn)，且BP=2求證：BEPCPD； （2）如果點(diǎn)P在BC邊上移動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)B、C不重合），且滿(mǎn)足EPF=C，PF交直線(xiàn)CD于點(diǎn)F，同時(shí)交直線(xiàn)AD于點(diǎn)M，那么 當(dāng)點(diǎn)F在線(xiàn)段CD的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，設(shè)BP=，DF=，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域； 當(dāng)時(shí)，求BP的長(zhǎng)EDCBA（備用圖）EDCBAP（第25題圖）6、（2008年崇明一模）如圖，已知在ABC中， AB=AC=6，BC=5，D是AB 上一點(diǎn)，BD=2，E是BC 上一動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE，并作，射線(xiàn)EF交線(xiàn)段AC于F（1）求證：DBEECF；（2）當(dāng)F是線(xiàn)段AC中點(diǎn)時(shí)，求線(xiàn)段BE的長(zhǎng)；（2或3）（3）聯(lián)結(jié)DF，如果DEF與DBE相似，求FC的長(zhǎng)（2或）7、等腰ABC，AB=AC=，BAC=120°，P為BC的中點(diǎn)，小慧拿著含30°角的透明三角板，使30°角的頂點(diǎn)落在點(diǎn)P，三角板繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（1）如圖a，當(dāng)三角板的兩邊分別交AB、AC于點(diǎn)E、F時(shí)求證：BPECFP；（