知識講解 奇偶性基礎

1、函數(shù)的奇偶性編稿：丁會敏審稿：王靜偉 【學習目標】1.理解函數(shù)的奇偶性定義；2.會利用圖象和定義判斷函數(shù)的奇偶性；3.掌握利用函數(shù)性質在解決有關綜合問題方面的應用.【要點梳理】要點一、函數(shù)的奇偶性概念及判斷步驟1函數(shù)奇偶性的概念偶函數(shù)：若對于定義域內的任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)稱為偶函數(shù).奇函數(shù)：若對于定義域內的任意一個x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)稱為奇函數(shù).要點詮釋：（1）奇偶性是整體性質；（2）x在定義域中，那么-x在定義域中嗎？-具有奇偶性的函數(shù)，其定義域必定是關于原點對稱的；（3）f(-x)=f(x)的等價形式為：， f(-x)=-f(x)的等價

2、形式為：；（4）由定義不難得出若一個函數(shù)是奇函數(shù)且在原點有定義，則必有f(0)=0；（5）若f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則必有f(x)=0.2.奇偶函數(shù)的圖象與性質（1）如果一個函數(shù)是奇函數(shù)，則這個函數(shù)的圖象是以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形；反之，如果一個函數(shù)的圖象是以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形，則這個函數(shù)是奇函數(shù).（2）如果一個函數(shù)為偶函數(shù)，則它的圖象關于軸對稱；反之，如果一個函數(shù)的圖像關于軸對稱，則這個函數(shù)是偶函數(shù).3.用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟（1）求函數(shù)的定義域，判斷函數(shù)的定義域是否關于原點對稱，若不關于原點對稱，則該函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，若關于原點對稱，則進行下

3、一步；（2）結合函數(shù)的定義域，化簡函數(shù)的解析式；（3）求，可根據(jù)與之間的關系，判斷函數(shù)的奇偶性.若=-，則是奇函數(shù)；若=，則是偶函數(shù)；若，則既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；若且=-，則既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)要點二、判斷函數(shù)奇偶性的常用方法（1）定義法：若函數(shù)的定義域不是關于原點對稱，則立即可判斷該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；若函數(shù)的定義域是關于原點對稱的，再判斷與之一是否相等.（2）驗證法：在判斷與的關系時，只需驗證=0及是否成立即可.（3）圖象法：奇（偶）函數(shù)等價于它的圖象關于原點（軸）對稱.（4）性質法：兩個奇函數(shù)的和仍為奇函數(shù)；兩個偶函數(shù)的和仍為偶函數(shù)；兩個奇函數(shù)的積是偶函數(shù)；兩個偶函數(shù)的

4、積是偶函數(shù)；一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積是奇函數(shù).（5）分段函數(shù)奇偶性的判斷判斷分段函數(shù)的奇偶性時，通常利用定義法判斷.在函數(shù)定義域內，對自變量的不同取值范圍，有著不同的對應關系，這樣的函數(shù)叫做分段函數(shù).分段函數(shù)不是幾個函數(shù)，而是一個函數(shù).因此其判斷方法也是先考查函數(shù)的定義域是否關于原點對稱，然后判斷與的關系.首先要特別注意與的范圍，然后將它代入相應段的函數(shù)表達式中，與對應不同的表達式，而它們的結果按奇偶函數(shù)的定義進行比較.要點三、關于函數(shù)奇偶性的常見結論奇函數(shù)在其對稱區(qū)間a,b和-b，-a上具有相同的單調性，即已知是奇函數(shù)，它在區(qū)間a,b上是增函數(shù)（減函數(shù)），則在區(qū)間-b，-a上也是增函數(shù)（減

5、函數(shù)）；偶函數(shù)在其對稱區(qū)間a,b和-b，-a上具有相反的單調性，即已知是偶函數(shù)且在區(qū)間a,b上是增函數(shù)（減函數(shù)），則在區(qū)間-b，-a上也是減函數(shù)（增函數(shù)）.【典型例題】類型一、判斷函數(shù)的奇偶性例1. 判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)； (2)f(x)=x2-4|x|+3 ；(3)f(x)=|x+3|-|x-3|； (4)； (5)； (6)【思路點撥】利用函數(shù)奇偶性的定義進行判斷.【答案】（1）非奇非偶函數(shù)；（2）偶函數(shù)；（3）奇函數(shù)；（4）奇函數(shù)；（5）奇函數(shù)；（6）奇函數(shù)【解析】(1)f(x)的定義域為，不關于原點對稱，因此f(x)為非奇非偶函數(shù)；(2)對任意xR，都有-xR，且f(-x)=x

6、2-4|x|+3=f(x)，則f(x)=x2-4|x|+3為偶函數(shù) ；(3)xR，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，f(x)為奇函數(shù)；(4)，f(x)為奇函數(shù)；(5)xR，f(x)=-x|x|+x f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，f(x)為奇函數(shù)；(6)，f(x)為奇函數(shù).【總結升華】判定函數(shù)奇偶性容易失誤是由于沒有考慮到函數(shù)的定義域.函數(shù)的定義域關于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的前提條件，因此研究函數(shù)的奇偶性必須“堅持定義域優(yōu)先”的原則，即優(yōu)先研究函數(shù)的定義域，否則就會做無用功.如在本例（4）中若不研究定義域，在去掉的

7、絕對值符號時就十分麻煩.舉一反三：【變式1】判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】（1）奇函數(shù)；（2）偶函數(shù)；（3）非奇非偶函數(shù)；（4）奇函數(shù)【解析】(1)的定義域是，又，是奇函數(shù)（2）的定義域是，又，是偶函數(shù)（3）函數(shù)定義域為，定義域不關于原點對稱，為非奇非偶函數(shù)（4）任取x>0則-x<0，f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x)任取x<0，則-x>0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x)x=0時，f(0)=-f(0) xR時，f(-x)=

8、-f(x) f(x)為奇函數(shù).【高清課堂：函數(shù)的奇偶性356732例2（1）】【變式2】已知f(x)，g(x)均為奇函數(shù)，且定義域相同，求證：f(x)+g(x)為奇函數(shù)，f(x)·g(x)為偶函數(shù).證明：設F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)則F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-f(x)+g(x)=-F(x)G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·-g(x)=f(x)·g(x)=G(x)f(x)+g(x)為奇函數(shù)，f(x)·g(x)為偶函數(shù).【高清課堂：函數(shù)的奇偶性 356732

9、例2（2）】【變式3】設函數(shù)和g(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結論恒成立的是 （ ）.A+|g(x)|是偶函數(shù) B-|g(x)|是奇函數(shù)C| +g(x)是偶函數(shù) D|- g(x)是奇函數(shù)【答案】A類型二、函數(shù)奇偶性的應用(求值，求解析式，與單調性結合)例2.已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).【答案】-26【解析】法一：f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=108a-2b=-50 f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26法二：令g(x)=f(x)+8易證g(x

10、)為奇函數(shù)g(-2)=-g(2) f(-2)+8=-f(2)-8f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.【總結升華】本題要會對已知式進行變形，得出f(x)+8= x5+ax3-bx為奇函數(shù)，這是本題的關鍵之處，從而問題便能迎刃而解.舉一反三：【變式1】已知為奇函數(shù)，則為（ ）【答案】6【解析】，又為奇函數(shù)，所以例3.已知是定義在R上的奇函數(shù)，當時，求的解析式【答案】【解析】是定義在R上的奇函數(shù)，當時，又奇函數(shù)在原點有定義，【總結升華】若奇函數(shù)在處有意義，則必有，即它的圖象必過原點（0，0）舉一反三：【高清課堂：函數(shù)的奇偶性356732 例3】【變式1】（1）已知偶函數(shù)的定義域是R，

11、當時，求的解析式.（2）已知奇函數(shù)的定義域是R，當時，求的解析式.【答案】（1）；（2）例4.設定義在-2，2上的偶函數(shù)f(x)在0，2上是單調遞增，當時，求的取值范圍.【答案】【解析】f(a-1)<f(a) f(|a-1|)<f(|a|)而|a+1|，|a|0，2【總結升華】若一個函數(shù)是偶函數(shù)，則一定有，這樣就減少了討論的麻煩類型三、函數(shù)奇偶性的綜合問題例5設a為實數(shù)，函數(shù)f(x)=x2+|x-a|+1，xR，試討論f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值.【思路點撥】對a進行討論，把絕對值去掉，然后把f(x)轉化成二次函數(shù)求最值問題?！敬鸢浮慨攁=0時，函數(shù)為偶函數(shù)；當a0時，函

12、數(shù)為非奇非偶函數(shù). 當當.【解析】當a=0時，f(x)=x2+|x|+1，此時函數(shù)為偶函數(shù)；當a0時，f(x)=x2+|x-a|+1，為非奇非偶函數(shù).(1)當時， 且上單調遞增，上的最小值為f(a)=a2+1.(2)當時，上單調遞減，上的最小值為上的最小值為綜上：舉一反三：【變式1】 判斷的奇偶性【答案】當時，函數(shù)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)；當時，函數(shù)是奇函數(shù)【解析】對進行分類討論若，則，定義域關于原點對稱，函數(shù)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)當時，是奇函數(shù)綜上，當時，函數(shù)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)；當時，函數(shù)是奇函數(shù)例6. 已知是偶函數(shù)，且在0，+）上是減函數(shù)，求函數(shù)的單調遞增區(qū)間【思路點撥】本題考查復合函數(shù)單調性的求法。復合函數(shù)的單調性由內層函數(shù)和外層函數(shù)的單調性共同決定，即“同增異減”。【答案】0，1和（，1【解析】 是偶函數(shù)，且在0，+）上是減函數(shù)，在（，0上是增函數(shù)設u=1x2，則函數(shù)是函數(shù)與函數(shù)u=1x2的復合函數(shù)當0x1時，u是減函數(shù)，且u0，而u0時，是減函數(shù)，根據(jù)復合函數(shù)的性質，可得是增函數(shù)當x1時，u是增函數(shù)，且u0，而u0時，是增函數(shù)，根據(jù)復合函數(shù)的性質，可得是增函數(shù)同理可得當1x0或x1時，是減函數(shù)所求的遞增區(qū)間為0，1和（，1【總結升華】