立體幾何空間幾何體的表面積與體積

1、第2講空間幾何體的表面積與體積考點(diǎn)考查柱、錐、臺(tái)、球的體積和表面積，由原來(lái)的簡(jiǎn)單公式套用漸漸變?yōu)榕c三視圖及柱、錐與球的接切問(wèn)題相結(jié)合，難度有所增大【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】本講復(fù)習(xí)時(shí)，熟記棱柱、棱錐、圓柱、圓錐的表面積和體積公式，運(yùn)用這些公式解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題基礎(chǔ)梳理1柱、錐、臺(tái)和球的側(cè)面積和體積面積體積圓柱S側(cè)2rhVShr2h圓錐S側(cè)rlVShr2hr2圓臺(tái)S側(cè)(r1r2)lV(S上S下)h(rrr1r2)h直棱柱S側(cè)ChVSh正棱錐S側(cè)ChVSh正棱臺(tái)S側(cè)(CC)hV(S上S下)h球S球面4R2VR32.幾何體的表面積(1)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積就是各面面積之和(2)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖分別

2、是矩形、扇形、扇環(huán)形；它們的表面積等于側(cè)面積與底面面積之和兩種方法(1)解與球有關(guān)的組合體問(wèn)題的方法，一種是內(nèi)切，一種是外接解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑球與旋轉(zhuǎn)體的組合，通常作它們的軸截面進(jìn)行解題，球與多面體的組合，通過(guò)多面體的一條側(cè)棱和球心或“切點(diǎn)”、“接點(diǎn)”作出截面圖(2)等積法：等積法包括等面積法和等體積法等積法的前提是幾何圖形(或幾何體)的面積(或體積)通過(guò)已知條件可以得到，利用等積法可

3、以用來(lái)求解幾何圖形的高或幾何體的高，特別是在求三角形的高和三棱錐的高這一方法回避了具體通過(guò)作圖得到三角形(或三棱錐)的高，而通過(guò)直接計(jì)算得到高的數(shù)值雙基自測(cè)1(人教A版教材習(xí)題改編)圓柱的一個(gè)底面積為S，側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，那么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是()A4S B2SCS D.S解析設(shè)圓柱底面圓的半徑為r，高為h，則r ，又h2r2，S圓柱側(cè)(2)24S.答案A2(2012·東北三校聯(lián)考)設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2a、a、a，其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為()A3a2 B6a2 C12a2 D24a2解析由于長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2a、a、a，則長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為a.又

4、長(zhǎng)方體外接球的直徑2R等于長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，2Ra.S球4R26a2.答案B3(2011·北京)某四面體的三視圖如圖所示，該四面體四個(gè)面的面積中最大的是()A8 B6C10 D8解析由三視圖可知，該幾何體的四個(gè)面都是直角三角形，面積分別為6,6，8,10，所以面積最大的是10，故選擇C.答案C4(2011·湖南)設(shè)右圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為()A.12 B.18C942 D3618解析該幾何體是由一個(gè)球與一個(gè)長(zhǎng)方體組成的組合體，球的直徑為3，長(zhǎng)方體的底面是邊長(zhǎng)為3的正方形，高為2，故所求體積為2×32318.答案B5若一個(gè)球的體積為4，則它的表面積

5、為_解析VR34，R，S4R24·312.答案12考向一幾何體的表面積【例1】(2011·安徽)一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A48 B328C488 D80審題視點(diǎn) 由三視圖還原幾何體，把圖中的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為幾何體的尺寸計(jì)算表面積解析換個(gè)視角看問(wèn)題，該幾何體可以看成是底面為等腰梯形，高為4的直棱柱，且等腰梯形的兩底分別為2,4，高為4，故腰長(zhǎng)為，所以該幾何體的表面積為488.答案C 以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆治?，從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系【訓(xùn)練1】 若一個(gè)底面是正三角形的三棱柱的正視

6、圖如圖所示，則其側(cè)面積等于()A. B2C2 D6解析由正視圖可知此三棱柱是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2的正三角形、側(cè)棱為1的直三棱柱，則此三棱柱的側(cè)面積為2×1×36.答案D考向二幾何體的體積【例2】(2011·廣東)如圖，某幾何體的正視圖(主視圖)是平行四邊形，側(cè)視圖(左視圖)和俯視圖都是矩形，則該幾何體的體積為()A18 B12 C9 D6審題視點(diǎn) 根據(jù)三視圖還原幾何體的形狀，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)和幾何體的體積公式求解解析該幾何體為一個(gè)斜棱柱，其直觀圖如圖所示，由題知該幾何體的底面是邊長(zhǎng)為3的正方形，高為，故V3×3×9.答案C 以三視圖為載體考查幾何體的

7、體積，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三視圖想象原幾何體的形狀構(gòu)成，并從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系，然后在直觀圖中求解【訓(xùn)練2】 (2012·東莞模擬)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積等于()A. B. C.8 D12 解析由三視圖可知，該幾何體是底面半徑為2，高為2的圓柱和半徑為1的球的組合體，則該幾何體的體積為×22×2.答案A考向三幾何體的展開與折疊【例3】(2012·廣州模擬)如圖1，在直角梯形ABCD中，ADC90°，CDAB，AB4，ADCD2，將ADC沿AC折起，使平面ADC平面ABC，得到幾何體DABC，如圖2所

8、示(1)求證：BC平面ACD；(2)求幾何體DABC的體積審題視點(diǎn) (1)利用線面垂直的判定定理，證明BC垂直于平面ACD內(nèi)的兩條相交線即可；(2)利用體積公式及等體積法證明(1)證明在圖中，可得ACBC2，從而AC2BC2AB2，故ACBC，取AC的中點(diǎn)O，連接DO，則DOAC，又平面ADC平面ABC，平面ADC平面ABCAC，DO平面ADC，從而DO平面ABC，DOBC，又ACBC，ACDOO，BC平面ACD.(2)解由(1)可知，BC為三棱錐BACD的高，BC2，SACD2，VBACDSACD·BC×2×2，由等體積性可知，幾何體DABC的體積為. (1)有

9、關(guān)折疊問(wèn)題，一定要分清折疊前后兩圖形(折前的平面圖形和折疊后的空間圖形)各元素間的位置和數(shù)量關(guān)系，哪些變，哪些不變(2)研究幾何體表面上兩點(diǎn)的最短距離問(wèn)題，常選擇恰當(dāng)?shù)哪妇€或棱展開，轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間的最短距離問(wèn)題【訓(xùn)練3】 已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面為直角三角形，ACB90°，AC6，BCCC1，P是BC1上一動(dòng)點(diǎn)，如圖所示，則CPPA1的最小值為_解析PA1在平面A1BC1內(nèi)，PC在平面BCC1內(nèi)，將其鋪平后轉(zhuǎn)化為平面上的問(wèn)題解決計(jì)算A1BAB1，BC12，又A1C16，故A1BC1是A1C1B90°的直角三角形鋪平平面A1BC1、平面BCC1，如圖所示CPPA1A1C.在AC1C中，由余弦定理得A1C5，故(CPPA1)min5.答案5難點(diǎn)突破17空間幾何體的表面積和體積的求解空間幾何體的表面積和體積計(jì)算是高考的一個(gè)常見考點(diǎn)，解決這類問(wèn)題，首先要熟練掌握各類空間幾何體的表面積和體積計(jì)算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不規(guī)則幾何體分割成幾個(gè)規(guī)則幾何體的技巧、把一個(gè)空間幾何體納入一個(gè)更大的幾何體中的補(bǔ)形技巧、對(duì)旋轉(zhuǎn)體作其軸截面的技巧、通過(guò)方程或方程組求解的技巧等，這是化解空間幾何體面積和體積計(jì)算難點(diǎn)的關(guān)鍵【示例1】 (2