空間曲線曲率計算公式及推導(dǎo)

1、1.4 空間曲線的曲率定義及計算公式引理 設(shè)是單位圓周上的向量，即，設(shè)與之間的夾角記為，則有 。證明 因為，所以 。（用解等腰三角形或用余弦定理，得。）定理1.2 設(shè)曲線：（是弧長參數(shù)）上的每一點有一個單位向量，與之間的夾角記為，那么。設(shè)曲線：，這里參數(shù)是曲線自身的弧長，我們知道，是曲線的切向量，即是單位向量。記，與的夾角，度量了曲線的彎曲程度。，我們稱之為曲線的 曲率，用來表示，。（舉例解釋，需要曲率這個量來刻畫曲線；曲瓏拐彎，拐彎抹角的程度。）例1 直線可以用向量方程表示為，其中和為常向量，并且，這時切向量是常向量，從而，曲率。反之，如果，即，由此可知是常向量，進而解得，其中和為常向量。由

2、此可知：直線的特征是。例2 討論圓。（這是由于，而，故圓的方程可表示為。）這時，。于是，即圓的曲率等于其半徑的倒數(shù)?？臻g曲線曲率的計算公式：設(shè)曲線：，這里參數(shù)不必是弧長參數(shù)。我們有，將以上兩式的雙方作向量外積，得，由于，得，（即互相垂直）所以由于，所以，由此得出曲率公式。，把，代入曲率公式，可得簡便計算公式 。例3 求圓柱螺線 ，的曲率。解 直接計算，得，所以，又，代入公式，得出曲率。它是一個常數(shù)，這與幾何直覺是相符合的。平面曲線的曲率計算公式：設(shè)平面曲線L：。，所以，平面曲線L：的曲率。對曲線，此時，則曲率。若曲線由極坐標(biāo)方程給出，且二階可導(dǎo)。則可得由曲率公式，可計算：。代入，得曲率為。例6

3、求心形線在處的曲率。解，代入公式，它在 曲率為。空間曲線曲率公式的另一種證明方法：對光滑曲線：，嚴格遞增，反函數(shù)存在，記為，把它代入；所以，是的函數(shù)，這里參數(shù)是弧長參數(shù)。我們有，?？臻g曲線的曲率（描述曲線的彎曲程度）。 設(shè)曲線的參數(shù)方程為：，并假設(shè)是光滑曲線，且，連續(xù)，設(shè)，則曲率。設(shè)曲線：，這里參數(shù)不必是弧長參數(shù)。我們有，；，由，代入計算，得，由此而來，由，得 ，故得空間曲線：的曲率，即 。設(shè)平面曲線L：，所以，平面曲線L：的曲率。當(dāng)曲線由方程給出時，此時，利用上式，故曲率。曲率半徑：若光滑曲線在點處的曲率為，當(dāng)時，稱為曲線在處的曲率半徑。（平面曲線的情形，也有用幾何圖形給出的更方便直觀的證法

4、，見華東師大的書。）例1、 求曲線的曲率的最大值。解 由曲率的表達式，從而得的最大值為。例2、證明：若曲線的所有切線經(jīng)過同一點，則該曲線是一條直線.證明 證法一設(shè)曲線的切線經(jīng)過，則有,于是，假若，則，再由，得，矛盾，所以從而曲率，故曲線必為一條直線.證法二 設(shè)曲線為，為弧長參數(shù);所有切線經(jīng)過的點為，則有，從而,由，得與正交，于是因為必有，所以為一條直線.例3 、 求橢圓上曲率最大和最小點.解 由于.由公式，得 .不妨設(shè)，于是在（長軸端點）處曲率最大；而在、（短軸端點）處曲率最小；且.例4、 由下述方程確定一條球面曲線：給定曲線上的一點求曲線在處的曲率.解 曲線為;由條件得;再由,得;,， ，,代入曲率公式，計算,得 .例5、 設(shè)函數(shù)具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)，且，則等高