第8章定積分的應(yīng)用

1、第八章 定積分的應(yīng)用定積分理論本身就產(chǎn)生于人類實(shí)踐活動(dòng)中的一些具體的幾何和物理問題的求解，本章，我們就從定積分的幾何意義出發(fā)，首先導(dǎo)出平面幾何圖形的面積公式，進(jìn)一步從中抽取出定積分的微元法思想，用于求解更多的幾何量。§1 平面圖形的面積我們知道定積分的幾何意義就是曲邊梯形的面積，即設(shè)，由曲線和直線xa、xb及x軸所圍曲邊梯形的面積為 分析上述公式，它首先給出了用定積分計(jì)算特殊的平面圖形的面積公式，進(jìn)一步分析公式中各個(gè)構(gòu)成元素的意義可以發(fā)現(xiàn)：定積分中的組成元素正對(duì)應(yīng)于曲邊梯形的組成元素，即被積函數(shù)正是曲邊梯形上下邊界的差，定積分下限a正是曲邊梯形的左邊界，上限正是曲邊梯形的右邊界，因此

2、，對(duì)曲邊梯形而言，一旦確定了各個(gè)邊界，就可以給出其面積的計(jì)算公式。進(jìn)一步利用可以證明，若圖形的左邊界為直線xa，右邊界為直線xb，（b>a）, 下邊界為曲線，上邊界為曲線 ，則圖形面積為。 進(jìn)一步將上述公式推廣可以得到更一般的面積計(jì)算公式。1、設(shè)為定義在上的函數(shù)，則由曲線和直線xa、xb及x軸所圍曲邊梯形的面積為。2、設(shè)和都是定義在上的函數(shù)，則由曲線、和直線xa、xb所圍圖形的面積為 。注、能用上述公式計(jì)算面積的平面圖形的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是：圖形具有兩條左右直線邊界，有兩條上下的曲線邊界。有時(shí)，直線邊界可能退化為一點(diǎn)。這樣，通過確定圖形的邊界來確定積分公式中各個(gè)元素。注、確定圖形的左右邊界和上下

3、邊界也可以用穿線方法，用平行于x軸的直線沿x軸方向穿過圖形區(qū)域，先交的邊界并由此進(jìn)入?yún)^(qū)域的為左邊界，后交的并由此穿出區(qū)域的邊界為右邊界；用平行于y軸的直線沿y軸方向穿過區(qū)域，先交的邊界并由此進(jìn)入?yún)^(qū)域的為下邊界，后交的并由此穿出區(qū)域的邊界為上邊界。注、這里的函數(shù)指的是單值函數(shù)，即對(duì)定義域中的任意一點(diǎn)x，存在唯一的Yf（x）與之對(duì)應(yīng)，因此，對(duì)應(yīng)的曲線也稱為簡(jiǎn)單曲線，即對(duì)定義域中任一點(diǎn)c，直線xc與曲線yf（x）只有一個(gè)交點(diǎn)。注、在利用上述公式計(jì)算一般平面圖形的面積時(shí)，一般是通過交點(diǎn)確定圖形邊界，或直接利用公式，或通過分割轉(zhuǎn)化為能用公式的圖形后再代入公式計(jì)算。注、盡可能畫出圖形，有助于確定圖形的邊界

4、。因此，利用上述公式計(jì)算平面圖形的面積的主要步驟為：1、畫圖；2、確定邊界 一般是利用曲線的交點(diǎn)，將圖形分割，使得每一小塊都有左右的直線邊界，上下的曲線邊界；3、代入公式計(jì)算。注、當(dāng)圖形具有上下直線邊界和左右曲線邊界時(shí)，也可以以y為積分變量計(jì)算圖形的面積，即若圖形的下直線邊界為yc、上直線邊界為yd，左曲線邊界為，右曲線邊界為，則圖形的面積為 。因此，可以根據(jù)圖形的特點(diǎn)，靈活選用公式。例1 計(jì)算由曲線和所圍圖形的面積。解、如圖，兩條曲線的交點(diǎn)為（0，0）、（1，1），因此，所圍圖形的左右直線邊界為x0和x1，上下曲線邊界分別為、，故面積為：。例2 計(jì)算由直線yx和曲線所圍圖形的面積。解、法一、

5、如圖，記A（3，3）、B（0，2）、C（1，1），則通過y軸將圖形分為AOB和BOC兩部分，對(duì)AOB部分，左右直線邊界分別為x3、x0，上邊界為曲線，下邊界為直線yx，對(duì)BOC部分，左右直線邊界為x0、x1，上邊界為曲線，下邊界為曲線，因此，所求圖形的面積S為： 。 法二、也可以以y為積分變量計(jì)算面積，此時(shí)，需要確定圖形的上下直線邊界和左右曲線邊界，本題，下直線邊界為y0，上直線邊界為y3，左曲線邊界為直線xy，右邊界為曲線，故 。若曲線由參數(shù)方程給出，我們可以利用變量代換得到相應(yīng)的計(jì)算公式。設(shè)簡(jiǎn)單曲線為 其中為連續(xù)可導(dǎo)的遞增函數(shù)（保證了曲線是簡(jiǎn)單的），為連續(xù)函數(shù)且 ，則由直線xa、xb、曲線

6、和x軸所圍圖形的面積為 。當(dāng)遞減時(shí)可以得到類似的公式為： 因而，當(dāng)單調(diào)時(shí)，可以統(tǒng)一公式為 而當(dāng)變號(hào)時(shí)就需要分段處理了，因?yàn)榇藭r(shí)曲線不再是簡(jiǎn)單曲線了。例3 計(jì)算橢圓曲線 所圍的橢圓面積。解、由對(duì)稱性，只需計(jì)算第一象限的面積，此時(shí)，而遞減，故所求面積為 。下面討論曲線由極坐標(biāo)方程給出時(shí)所圍圖形的面積，注意，此時(shí)所求面積的圖形一般不是直角坐標(biāo)系由曲線和平行于坐標(biāo)軸的直線所圍的圖形，因此，不能用參數(shù)方程條件下的代入方法來計(jì)算，我們直接推導(dǎo)出公式。給定曲線l：。設(shè)，計(jì)算由曲線l和射線所圍圖形的面積S。我們利用定積分的思想推導(dǎo)出計(jì)算公式。n分割： 記。先計(jì)算第i個(gè)小曲邊扇形的面積，即曲線l和射線所圍的面積

7、。任取，以為半徑作圓扇形，用圓扇形的面積近似代替小曲邊扇形的面積，則小曲邊扇形的面積近似為 因而， 利用積分思想，則 。進(jìn)一步的推廣。若圖形由曲線，和射線所圍，且，則面積為： 。注、和前面情形類似，當(dāng)圖形較為復(fù)雜時(shí)，需作分割處理。注、通常要求計(jì)算封閉的曲線所圍圖形的面積，此時(shí)要注意分析圖形的幾何特性，如對(duì)稱性，同時(shí)要確定和。例4 計(jì)算心形線所圍圖形的面積。解、如圖，由對(duì)稱性，只需計(jì)算上半部分，故 。習(xí)題 1、計(jì)算下列曲線所圍的圖形的面積。 1）、； 2）、； 3）、； 4）、； 5）、； 6）、； §2 平面曲線段的弧長(zhǎng)我們已經(jīng)掌握了直線段長(zhǎng)度的計(jì)算，本節(jié)討論曲線段長(zhǎng)度的計(jì)算。給定以

8、A、B為端點(diǎn)的曲線段： ，其中，計(jì)算弧的長(zhǎng)度l。分析 由于我們掌握了與此相關(guān)的直線段長(zhǎng)度的計(jì)算，因此，曲線段的計(jì)算就必須借助其它工具轉(zhuǎn)化為直線段來計(jì)算，我們知道，當(dāng)曲線段越來越短時(shí)，用直線段的長(zhǎng)度公式近似計(jì)算相應(yīng)的曲線段的長(zhǎng)度時(shí)近似度越高，由此，我們想到定積分，因?yàn)槎ǚe分的思想正是將一個(gè)整體量分割為若干個(gè)微小的量，在每一個(gè)微小的量上用近似處理，這正是我們計(jì)算曲線段長(zhǎng)度的思想。下面，將上述思想轉(zhuǎn)化為具體的求解過程。N分割曲線段，即在曲線段上插入n1個(gè)分點(diǎn)，形成曲線段的分割： 注、這里的“<”不表示大小關(guān)系，僅表示順序。對(duì)應(yīng)上述分割，形成對(duì)的分割： 因此，。任取第i段弧，相應(yīng)的弧長(zhǎng)記為，當(dāng)分

9、割很細(xì)時(shí)，可以將其近似為直線段，故 ，因而，所求的弧長(zhǎng) ， 為了將上述的近似和轉(zhuǎn)化為Riemann和，我們繼續(xù)對(duì)和式進(jìn)行技術(shù)處理。進(jìn)一步假設(shè)，則，利用微分中值定理得， 其中，。為了利用定積分技術(shù)上述近似和的極限，需要將兩個(gè)中值點(diǎn)統(tǒng)一，因此，利用插項(xiàng)技術(shù)，則 顯然， ，進(jìn)一步分析，記 ，則 由于，因此，一致連續(xù)，故對(duì)任意的，存在，當(dāng)時(shí)， ，故，因而，。 由此，我們得到結(jié)論：定理2.1 設(shè)曲線段，滿足，則曲線段的長(zhǎng)度為 。 上述公式是計(jì)算曲線段長(zhǎng)度的基本公式，利用此公式可以得到其它形式下的計(jì)算公式。 1、若曲線，可將其視為以x為參變量的參數(shù)方程形式，代入可得此時(shí)的公式為： 。2、若以極坐標(biāo)形式給出

10、曲線，則 。3、對(duì)空間曲線段，則 。例1 計(jì)算星形線的長(zhǎng)度。解、星形線是關(guān)于原點(diǎn)和坐標(biāo)軸對(duì)稱的封閉曲線，因而，只需計(jì)算第一象限中的部分，故。例2 計(jì)算曲線上從點(diǎn)（0，1）到點(diǎn)（4，3）段的長(zhǎng)度。解、以y為參數(shù)，則此段曲線的參數(shù)方程為 故， 。注、由此可以看出，在計(jì)算時(shí)，要充分 利用曲線的幾何性質(zhì)，同時(shí)，也要掌握靈活應(yīng)用。至此，我們已經(jīng)利用定積分思想和方法給出了平面圖形的面積和曲線弧長(zhǎng)的計(jì)算公式，我們把定積分思想方法的本質(zhì)抽取出來，得到處理這類問題更簡(jiǎn)潔的方法微元法。我們知道，定積分處理的這類量是一個(gè)整體量，滿足分割后的可加性，處理的過程為分割、對(duì)每一個(gè)小塊近似計(jì)算、求和、取極限。分割是為了將整

11、體量轉(zhuǎn)化為局部的微元處理，關(guān)鍵是對(duì)微元的近似計(jì)算，因此，我們將關(guān)鍵的步驟抽取出來，就形成了微元法。設(shè)所求的量A是一個(gè)滿足可加性的整體量，分布在某個(gè)變量如x的區(qū)間上，由可加性，若記為分布在上的量，則所求的量就是。取自變量區(qū)間中的一個(gè)微元，根據(jù)可加性，則所求量分布在上的微元為 近似計(jì)算，若存在，使得 且，則 。注、微元法和定積分的思想是一致的，關(guān)鍵的步驟仍然是近似計(jì)算，近似計(jì)算的原則是在滿足要求的條件下盡量簡(jiǎn)單。因此，在計(jì)算微元的面積時(shí)，我們用矩形面積作為曲邊梯形的近似，我們知道，用連接曲邊兩個(gè)頂點(diǎn)的梯形作為曲邊梯形的近似比矩形近似更精確，但是，計(jì)算較為復(fù)雜，矩形近似計(jì)算簡(jiǎn)單又滿足要求，因此，我們

12、選擇了矩形近似。為了說明這一點(diǎn)我們?cè)倏匆粋€(gè)例子。例3 計(jì)算曲線對(duì)應(yīng)于段的長(zhǎng)度。解、任取自變量的微元，記，我們用連接點(diǎn)和的直線段作為對(duì)應(yīng)弧長(zhǎng)的近似，則 故， 。注、上述的近似是用直角三角形的斜邊作為弧長(zhǎng)的近似，那么，能否用dx直角邊作為其近似呢？答案是否定的，我們以簡(jiǎn)單的斜直線為例進(jìn)行說明，當(dāng)曲線為斜直線時(shí)，用直角邊近似斜邊的誤差為，由于 因而，是dx的同階的量，而不是其高階無窮小量，因而，這樣的近似不合適。習(xí)題 1、計(jì)算下列曲線的弧長(zhǎng)。 1）、； 2）、； 3）、； 4）、； 5）、； §3 體積的計(jì)算本節(jié)，我們解決兩類問題，一類是已知幾何體的截面積，求幾何體的體積；另一類是旋轉(zhuǎn)體的

13、體積。一、已知截面積的幾何體的體積設(shè)幾何體夾在平面xa和xb之間，被垂直于x軸的截面所截的面積為A（x），計(jì)算幾何體的體積V。 我們用微元法給出計(jì)算公式。由于幾何體分布在上，任取微元，分布在上的體積，可以用以A（x）為底、dx為高的圓柱體近似，因而， 故， 。 例1 一平面經(jīng)過半徑為R的圓柱體的底面中心，并與底面交成角度，計(jì)算圓柱體被平面截下的部分的體積。解、如圖，以圓柱體底面的中心為原點(diǎn)、底面為坐標(biāo)面、平面與底面的交線為x軸作空間直角坐標(biāo)系，則體積可以視為分布在上，任取，過點(diǎn)作垂直于x軸的平面，該平面與截體的截面為直角三角形，因而，其面積為 ，故， 。 例2 計(jì)算兩圓柱面、相交所圍的體積。解

14、、如圖，利用對(duì)稱性，只需計(jì)算在第一象限中的部分。將截體視為分布x軸上的區(qū)間上，任取，過點(diǎn)作垂直于x軸的垂面，其與所求體積的幾何體的截面為矩形，利用圓柱面方程可以計(jì)算交點(diǎn)的坐標(biāo)，因而，截面的面積為： ，故，所求體積為 。二、旋轉(zhuǎn)體的體積一平面圖形繞平面上一直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體稱為旋轉(zhuǎn)體，相應(yīng)的直線稱為旋轉(zhuǎn)軸。下面，我們從最簡(jiǎn)單的旋轉(zhuǎn)體的體積計(jì)算出發(fā)，導(dǎo)出一般的旋轉(zhuǎn)體的體積。1、矩形繞其一邊旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積。如圖，假設(shè)矩形的長(zhǎng)為h，寬為R，繞邊長(zhǎng)為h的一邊旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)體為圓柱體，圓柱體的高為h，底面半徑為R，因而，旋轉(zhuǎn)體的體積為 。2、簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體的體積。給定簡(jiǎn)單曲線l：，計(jì)算由曲線l、直線x

15、a、xb和x軸所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體的體積。分析 將旋轉(zhuǎn)體的體積轉(zhuǎn)化為已知的幾何體的體積的計(jì)算，由于我們到目前為止，掌握的幾何體的體積的計(jì)算是已知截面積計(jì)算體積，因此，求解的思路就是利用上述已知的公式來求解。任取，過點(diǎn)作垂直于x軸的垂面，則垂面與旋轉(zhuǎn)體的截面為以為半徑的圓，因而，截面積為，因而，旋轉(zhuǎn)體的體積為 。注、總結(jié)上述求解思想，先計(jì)算垂直于旋轉(zhuǎn)軸的截面積，再代入公式計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的體積，利用這種思想，也可以計(jì)算旋轉(zhuǎn)軸為任一直線時(shí)的旋轉(zhuǎn)體的體積。例3 計(jì)算擺線l：與x軸所圍的圖形的下列旋轉(zhuǎn)體的體積。： 1、繞x軸的旋轉(zhuǎn)體體積； 2、繞y軸的旋轉(zhuǎn)體的體積； 3、繞直線y2a的旋轉(zhuǎn)體的體積

16、。解、1、以x軸為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，曲線l相對(duì)于變量x為簡(jiǎn)單曲線，代入公式，則 。2、以y軸為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，曲線l對(duì)變量y不是簡(jiǎn)單曲線，通過曲線的最高點(diǎn)將曲線分為兩段簡(jiǎn)單曲線： ， ，因此，所求的體積V等于段所圍的圖形繞y軸的旋轉(zhuǎn)體的體積減去段所圍的圖形繞y軸的旋轉(zhuǎn)體的體積，計(jì)算得 因而， 。3、以直線y2a為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，旋轉(zhuǎn)體分布在直線y2a的區(qū)間上，任取，作垂直于旋轉(zhuǎn)體的截面，則截面為同心圓，其面積為 ，因而，旋轉(zhuǎn)體的體積 。習(xí)題 1、計(jì)算下列曲面所圍的體積。 1）、； 2）、，； 2、計(jì)算下列旋轉(zhuǎn)體的體積。 1）、繞x軸旋轉(zhuǎn)； 2）、繞x軸旋轉(zhuǎn)； 3）、分布繞x軸和y軸旋轉(zhuǎn)； 4）、繞極軸旋轉(zhuǎn)； 3、

17、給定簡(jiǎn)單曲線l：，給出由曲線l、直線xa、xb和x軸所圍圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體的體積的計(jì)算公式。§4 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積本節(jié)，我們從特殊的圓錐的側(cè)面積出發(fā)，導(dǎo)出旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積的計(jì)算公式。 1、圓錐體的側(cè)面積給定底面半徑為R，斜高為l的圓錐體，則由于其側(cè)面展開是扇形，因此，利用扇形面積 的計(jì)算公式可得其側(cè)面積（不包含底面）為。2、截錐的側(cè)面積圓錐被平行于底面的平面截去錐尖所剩下的部分稱為截錐。設(shè)截錐的上頂圓半徑為r，下底圓半徑為R，斜高為l，計(jì)算其側(cè)面積S。如圖，利用圓錐側(cè)面積公式，則 由于，則 故， 。3、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積設(shè)簡(jiǎn)單曲線，計(jì)算其繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體（即曲線、直線xa、xb

18、和x軸所圍圖形的旋轉(zhuǎn)體）的側(cè)面積，其中。 我們用微元法。任取微元，則對(duì)應(yīng)于微元上的側(cè)面積可以用截錐的側(cè)面積來近似，如圖，因而， 其中當(dāng)時(shí)。故 。 注、對(duì)一般的函數(shù)，對(duì)應(yīng)的公式為 。注、利用弧長(zhǎng)的微元公式，側(cè)面積的公式也可以寫為 。注、在公式的導(dǎo)出過程中，我們用截錐的側(cè)面積作近似計(jì)算，但是，不能用圓柱的側(cè)面積作近似，因?yàn)榇藭r(shí)的誤差不是dx的高階無窮小量。注、利用上述基本公式，可以得到其它形式下的計(jì)算公式。例1 計(jì)算心形線繞極軸的旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積。解、由對(duì)稱性，只需計(jì)算上半部分對(duì)應(yīng)的側(cè)面積，代入公式得 。習(xí)題 1、計(jì)算下列旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積。 1）、繞x軸旋轉(zhuǎn)； 2）、繞x軸旋轉(zhuǎn)； 3）、 分布繞x軸和

19、y軸旋轉(zhuǎn)； 2、設(shè)簡(jiǎn)單曲線，導(dǎo)出其繞y軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體（即曲線、直線xa、xb和x軸所圍圖形的旋轉(zhuǎn)體）的側(cè)面積，其中。第八章 定積分的應(yīng)用習(xí)題課一、主要內(nèi)容：要求掌握： 1、定積分的思想、微元法；2、能夠運(yùn)用微元法計(jì)算各種量，掌握近似計(jì)算中的近似原則；3、各種公式（面積、側(cè)面積、體積、弧長(zhǎng)的計(jì)算公式）及各種形式（一般方程、參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程）下公式的轉(zhuǎn)換和推導(dǎo)；4、特殊的曲線及其對(duì)應(yīng)的方程和圖形，特別是由極坐標(biāo)方程給出的一些曲線；5、注意對(duì)稱性在各種計(jì)算中的運(yùn)用。二、例題分析 例1 計(jì)算曲線和曲線所圍的面積。解、如圖，曲線半徑為3，圓心在x軸上的圓，曲線是心形線，二者關(guān)于極軸對(duì)稱，只需計(jì)算上半部分，先計(jì)算交點(diǎn)，求解 得，因此，通過射線將圖形分為兩部分，因而，所求面積為 。例2 計(jì)算橢球面所圍的體積。解、將橢球體視為分布在x軸的區(qū)間上的幾何體，任取，過點(diǎn)（x，0，0）作垂直于x軸的平面，則此平面與橢球體的截面為橢圓 所圍成