第8章定積分的應(yīng)用

1、第八章 定積分的應(yīng)用定積分理論本身就產(chǎn)生于人類實踐活動中的一些具體的幾何和物理問題的求解，本章，我們就從定積分的幾何意義出發(fā)，首先導出平面幾何圖形的面積公式，進一步從中抽取出定積分的微元法思想，用于求解更多的幾何量。§1 平面圖形的面積我們知道定積分的幾何意義就是曲邊梯形的面積，即設(shè)，由曲線和直線xa、xb及x軸所圍曲邊梯形的面積為 分析上述公式，它首先給出了用定積分計算特殊的平面圖形的面積公式，進一步分析公式中各個構(gòu)成元素的意義可以發(fā)現(xiàn)：定積分中的組成元素正對應(yīng)于曲邊梯形的組成元素，即被積函數(shù)正是曲邊梯形上下邊界的差，定積分下限a正是曲邊梯形的左邊界，上限正是曲邊梯形的右邊界，因此

2、，對曲邊梯形而言，一旦確定了各個邊界，就可以給出其面積的計算公式。進一步利用可以證明，若圖形的左邊界為直線xa，右邊界為直線xb，（b>a）, 下邊界為曲線，上邊界為曲線 ，則圖形面積為。 進一步將上述公式推廣可以得到更一般的面積計算公式。1、設(shè)為定義在上的函數(shù)，則由曲線和直線xa、xb及x軸所圍曲邊梯形的面積為。2、設(shè)和都是定義在上的函數(shù)，則由曲線、和直線xa、xb所圍圖形的面積為 。注、能用上述公式計算面積的平面圖形的結(jié)構(gòu)特點是：圖形具有兩條左右直線邊界，有兩條上下的曲線邊界。有時，直線邊界可能退化為一點。這樣，通過確定圖形的邊界來確定積分公式中各個元素。注、確定圖形的左右邊界和上下

3、邊界也可以用穿線方法，用平行于x軸的直線沿x軸方向穿過圖形區(qū)域，先交的邊界并由此進入?yún)^(qū)域的為左邊界，后交的并由此穿出區(qū)域的邊界為右邊界；用平行于y軸的直線沿y軸方向穿過區(qū)域，先交的邊界并由此進入?yún)^(qū)域的為下邊界，后交的并由此穿出區(qū)域的邊界為上邊界。注、這里的函數(shù)指的是單值函數(shù)，即對定義域中的任意一點x，存在唯一的Yf（x）與之對應(yīng)，因此，對應(yīng)的曲線也稱為簡單曲線，即對定義域中任一點c，直線xc與曲線yf（x）只有一個交點。注、在利用上述公式計算一般平面圖形的面積時，一般是通過交點確定圖形邊界，或直接利用公式，或通過分割轉(zhuǎn)化為能用公式的圖形后再代入公式計算。注、盡可能畫出圖形，有助于確定圖形的邊界

4、。因此，利用上述公式計算平面圖形的面積的主要步驟為：1、畫圖；2、確定邊界 一般是利用曲線的交點，將圖形分割，使得每一小塊都有左右的直線邊界，上下的曲線邊界；3、代入公式計算。注、當圖形具有上下直線邊界和左右曲線邊界時，也可以以y為積分變量計算圖形的面積，即若圖形的下直線邊界為yc、上直線邊界為yd，左曲線邊界為，右曲線邊界為，則圖形的面積為 。因此，可以根據(jù)圖形的特點，靈活選用公式。例1 計算由曲線和所圍圖形的面積。解、如圖，兩條曲線的交點為（0，0）、（1，1），因此，所圍圖形的左右直線邊界為x0和x1，上下曲線邊界分別為、，故面積為：。例2 計算由直線yx和曲線所圍圖形的面積。解、法一、

5、如圖，記A（3，3）、B（0，2）、C（1，1），則通過y軸將圖形分為AOB和BOC兩部分，對AOB部分，左右直線邊界分別為x3、x0，上邊界為曲線，下邊界為直線yx，對BOC部分，左右直線邊界為x0、x1，上邊界為曲線，下邊界為曲線，因此，所求圖形的面積S為： 。 法二、也可以以y為積分變量計算面積，此時，需要確定圖形的上下直線邊界和左右曲線邊界，本題，下直線邊界為y0，上直線邊界為y3，左曲線邊界為直線xy，右邊界為曲線，故 。若曲線由參數(shù)方程給出，我們可以利用變量代換得到相應(yīng)的計算公式。設(shè)簡單曲線為 其中為連續(xù)可導的遞增函數(shù)（保證了曲線是簡單的），為連續(xù)函數(shù)且 ，則由直線xa、xb、曲線

6、和x軸所圍圖形的面積為 。當遞減時可以得到類似的公式為： 因而，當單調(diào)時，可以統(tǒng)一公式為 而當變號時就需要分段處理了，因為此時曲線不再是簡單曲線了。例3 計算橢圓曲線 所圍的橢圓面積。解、由對稱性，只需計算第一象限的面積，此時，而遞減，故所求面積為 。下面討論曲線由極坐標方程給出時所圍圖形的面積，注意，此時所求面積的圖形一般不是直角坐標系由曲線和平行于坐標軸的直線所圍的圖形，因此，不能用參數(shù)方程條件下的代入方法來計算，我們直接推導出公式。給定曲線l：。設(shè)，計算由曲線l和射線所圍圖形的面積S。我們利用定積分的思想推導出計算公式。n分割： 記。先計算第i個小曲邊扇形的面積，即曲線l和射線所圍的面積

7、。任取，以為半徑作圓扇形，用圓扇形的面積近似代替小曲邊扇形的面積，則小曲邊扇形的面積近似為 因而， 利用積分思想，則 。進一步的推廣。若圖形由曲線，和射線所圍，且，則面積為： 。注、和前面情形類似，當圖形較為復雜時，需作分割處理。注、通常要求計算封閉的曲線所圍圖形的面積，此時要注意分析圖形的幾何特性，如對稱性，同時要確定和。例4 計算心形線所圍圖形的面積。解、如圖，由對稱性，只需計算上半部分，故 。習題 1、計算下列曲線所圍的圖形的面積。 1）、； 2）、； 3）、； 4）、； 5）、； 6）、； §2 平面曲線段的弧長我們已經(jīng)掌握了直線段長度的計算，本節(jié)討論曲線段長度的計算。給定以

8、A、B為端點的曲線段： ，其中，計算弧的長度l。分析 由于我們掌握了與此相關(guān)的直線段長度的計算，因此，曲線段的計算就必須借助其它工具轉(zhuǎn)化為直線段來計算，我們知道，當曲線段越來越短時，用直線段的長度公式近似計算相應(yīng)的曲線段的長度時近似度越高，由此，我們想到定積分，因為定積分的思想正是將一個整體量分割為若干個微小的量，在每一個微小的量上用近似處理，這正是我們計算曲線段長度的思想。下面，將上述思想轉(zhuǎn)化為具體的求解過程。N分割曲線段，即在曲線段上插入n1個分點，形成曲線段的分割： 注、這里的“<”不表示大小關(guān)系，僅表示順序。對應(yīng)上述分割，形成對的分割： 因此，。任取第i段弧，相應(yīng)的弧長記為，當分

9、割很細時，可以將其近似為直線段，故 ，因而，所求的弧長 ， 為了將上述的近似和轉(zhuǎn)化為Riemann和，我們繼續(xù)對和式進行技術(shù)處理。進一步假設(shè)，則，利用微分中值定理得， 其中，。為了利用定積分技術(shù)上述近似和的極限，需要將兩個中值點統(tǒng)一，因此，利用插項技術(shù)，則 顯然， ，進一步分析，記 ，則 由于，因此，一致連續(xù)，故對任意的，存在，當時， ，故，因而，。 由此，我們得到結(jié)論：定理2.1 設(shè)曲線段，滿足，則曲線段的長度為 。 上述公式是計算曲線段長度的基本公式，利用此公式可以得到其它形式下的計算公式。 1、若曲線，可將其視為以x為參變量的參數(shù)方程形式，代入可得此時的公式為： 。2、若以極坐標形式給出

10、曲線，則 。3、對空間曲線段，則 。例1 計算星形線的長度。解、星形線是關(guān)于原點和坐標軸對稱的封閉曲線，因而，只需計算第一象限中的部分，故。例2 計算曲線上從點（0，1）到點（4，3）段的長度。解、以y為參數(shù)，則此段曲線的參數(shù)方程為 故， 。注、由此可以看出，在計算時，要充分 利用曲線的幾何性質(zhì)，同時，也要掌握靈活應(yīng)用。至此，我們已經(jīng)利用定積分思想和方法給出了平面圖形的面積和曲線弧長的計算公式，我們把定積分思想方法的本質(zhì)抽取出來，得到處理這類問題更簡潔的方法微元法。我們知道，定積分處理的這類量是一個整體量，滿足分割后的可加性，處理的過程為分割、對每一個小塊近似計算、求和、取極限。分割是為了將整

11、體量轉(zhuǎn)化為局部的微元處理，關(guān)鍵是對微元的近似計算，因此，我們將關(guān)鍵的步驟抽取出來，就形成了微元法。設(shè)所求的量A是一個滿足可加性的整體量，分布在某個變量如x的區(qū)間上，由可加性，若記為分布在上的量，則所求的量就是。取自變量區(qū)間中的一個微元，根據(jù)可加性，則所求量分布在上的微元為 近似計算，若存在，使得 且，則 。注、微元法和定積分的思想是一致的，關(guān)鍵的步驟仍然是近似計算，近似計算的原則是在滿足要求的條件下盡量簡單。因此，在計算微元的面積時，我們用矩形面積作為曲邊梯形的近似，我們知道，用連接曲邊兩個頂點的梯形作為曲邊梯形的近似比矩形近似更精確，但是，計算較為復雜，矩形近似計算簡單又滿足要求，因此，我們

12、選擇了矩形近似。為了說明這一點我們再看一個例子。例3 計算曲線對應(yīng)于段的長度。解、任取自變量的微元，記，我們用連接點和的直線段作為對應(yīng)弧長的近似，則 故， 。注、上述的近似是用直角三角形的斜邊作為弧長的近似，那么，能否用dx直角邊作為其近似呢？答案是否定的，我們以簡單的斜直線為例進行說明，當曲線為斜直線時，用直角邊近似斜邊的誤差為，由于 因而，是dx的同階的量，而不是其高階無窮小量，因而，這樣的近似不合適。習題 1、計算下列曲線的弧長。 1）、； 2）、； 3）、； 4）、； 5）、； §3 體積的計算本節(jié)，我們解決兩類問題，一類是已知幾何體的截面積，求幾何體的體積；另一類是旋轉(zhuǎn)體的

13、體積。一、已知截面積的幾何體的體積設(shè)幾何體夾在平面xa和xb之間，被垂直于x軸的截面所截的面積為A（x），計算幾何體的體積V。 我們用微元法給出計算公式。由于幾何體分布在上，任取微元，分布在上的體積，可以用以A（x）為底、dx為高的圓柱體近似，因而， 故， 。 例1 一平面經(jīng)過半徑為R的圓柱體的底面中心，并與底面交成角度，計算圓柱體被平面截下的部分的體積。解、如圖，以圓柱體底面的中心為原點、底面為坐標面、平面與底面的交線為x軸作空間直角坐標系，則體積可以視為分布在上，任取，過點作垂直于x軸的平面，該平面與截體的截面為直角三角形，因而，其面積為 ，故， 。 例2 計算兩圓柱面、相交所圍的體積。解

14、、如圖，利用對稱性，只需計算在第一象限中的部分。將截體視為分布x軸上的區(qū)間上，任取，過點作垂直于x軸的垂面，其與所求體積的幾何體的截面為矩形，利用圓柱面方程可以計算交點的坐標，因而，截面的面積為： ，故，所求體積為 。二、旋轉(zhuǎn)體的體積一平面圖形繞平面上一直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體稱為旋轉(zhuǎn)體，相應(yīng)的直線稱為旋轉(zhuǎn)軸。下面，我們從最簡單的旋轉(zhuǎn)體的體積計算出發(fā)，導出一般的旋轉(zhuǎn)體的體積。1、矩形繞其一邊旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積。如圖，假設(shè)矩形的長為h，寬為R，繞邊長為h的一邊旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)體為圓柱體，圓柱體的高為h，底面半徑為R，因而，旋轉(zhuǎn)體的體積為 。2、簡單旋轉(zhuǎn)體的體積。給定簡單曲線l：，計算由曲線l、直線x

15、a、xb和x軸所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體的體積。分析 將旋轉(zhuǎn)體的體積轉(zhuǎn)化為已知的幾何體的體積的計算，由于我們到目前為止，掌握的幾何體的體積的計算是已知截面積計算體積，因此，求解的思路就是利用上述已知的公式來求解。任取，過點作垂直于x軸的垂面，則垂面與旋轉(zhuǎn)體的截面為以為半徑的圓，因而，截面積為，因而，旋轉(zhuǎn)體的體積為 。注、總結(jié)上述求解思想，先計算垂直于旋轉(zhuǎn)軸的截面積，再代入公式計算旋轉(zhuǎn)體的體積，利用這種思想，也可以計算旋轉(zhuǎn)軸為任一直線時的旋轉(zhuǎn)體的體積。例3 計算擺線l：與x軸所圍的圖形的下列旋轉(zhuǎn)體的體積。： 1、繞x軸的旋轉(zhuǎn)體體積； 2、繞y軸的旋轉(zhuǎn)體的體積； 3、繞直線y2a的旋轉(zhuǎn)體的體積

16、。解、1、以x軸為旋轉(zhuǎn)軸時，曲線l相對于變量x為簡單曲線，代入公式，則 。2、以y軸為旋轉(zhuǎn)軸時，曲線l對變量y不是簡單曲線，通過曲線的最高點將曲線分為兩段簡單曲線： ， ，因此，所求的體積V等于段所圍的圖形繞y軸的旋轉(zhuǎn)體的體積減去段所圍的圖形繞y軸的旋轉(zhuǎn)體的體積，計算得 因而， 。3、以直線y2a為旋轉(zhuǎn)軸時，旋轉(zhuǎn)體分布在直線y2a的區(qū)間上，任取，作垂直于旋轉(zhuǎn)體的截面，則截面為同心圓，其面積為 ，因而，旋轉(zhuǎn)體的體積 。習題 1、計算下列曲面所圍的體積。 1）、； 2）、，； 2、計算下列旋轉(zhuǎn)體的體積。 1）、繞x軸旋轉(zhuǎn)； 2）、繞x軸旋轉(zhuǎn)； 3）、分布繞x軸和y軸旋轉(zhuǎn)； 4）、繞極軸旋轉(zhuǎn)； 3、

17、給定簡單曲線l：，給出由曲線l、直線xa、xb和x軸所圍圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體的體積的計算公式。§4 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積本節(jié)，我們從特殊的圓錐的側(cè)面積出發(fā)，導出旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積的計算公式。 1、圓錐體的側(cè)面積給定底面半徑為R，斜高為l的圓錐體，則由于其側(cè)面展開是扇形，因此，利用扇形面積 的計算公式可得其側(cè)面積（不包含底面）為。2、截錐的側(cè)面積圓錐被平行于底面的平面截去錐尖所剩下的部分稱為截錐。設(shè)截錐的上頂圓半徑為r，下底圓半徑為R，斜高為l，計算其側(cè)面積S。如圖，利用圓錐側(cè)面積公式，則 由于，則 故， 。3、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積設(shè)簡單曲線，計算其繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體（即曲線、直線xa、xb

18、和x軸所圍圖形的旋轉(zhuǎn)體）的側(cè)面積，其中。 我們用微元法。任取微元，則對應(yīng)于微元上的側(cè)面積可以用截錐的側(cè)面積來近似，如圖，因而， 其中當時。故 。 注、對一般的函數(shù)，對應(yīng)的公式為 。注、利用弧長的微元公式，側(cè)面積的公式也可以寫為 。注、在公式的導出過程中，我們用截錐的側(cè)面積作近似計算，但是，不能用圓柱的側(cè)面積作近似，因為此時的誤差不是dx的高階無窮小量。注、利用上述基本公式，可以得到其它形式下的計算公式。例1 計算心形線繞極軸的旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積。解、由對稱性，只需計算上半部分對應(yīng)的側(cè)面積，代入公式得 。習題 1、計算下列旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積。 1）、繞x軸旋轉(zhuǎn)； 2）、繞x軸旋轉(zhuǎn)； 3）、 分布繞x軸和

19、y軸旋轉(zhuǎn)； 2、設(shè)簡單曲線，導出其繞y軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體（即曲線、直線xa、xb和x軸所圍圖形的旋轉(zhuǎn)體）的側(cè)面積，其中。第八章 定積分的應(yīng)用習題課一、主要內(nèi)容：要求掌握： 1、定積分的思想、微元法；2、能夠運用微元法計算各種量，掌握近似計算中的近似原則；3、各種公式（面積、側(cè)面積、體積、弧長的計算公式）及各種形式（一般方程、參數(shù)方程、極坐標方程）下公式的轉(zhuǎn)換和推導；4、特殊的曲線及其對應(yīng)的方程和圖形，特別是由極坐標方程給出的一些曲線；5、注意對稱性在各種計算中的運用。二、例題分析 例1 計算曲線和曲線所圍的面積。解、如圖，曲線半徑為3，圓心在x軸上的圓，曲線是心形線，二者關(guān)于極軸對稱，只需計算上半部分，先計算交點，求解 得，因此，通過射線將圖形分為兩部分，因而，所求面積為 。例2 計算橢球面所圍的體積。解、將橢球體視為分布在x軸的區(qū)間上的幾何體，任取，過點（x，0，0）作垂直于x軸的平面，則此平面與橢球體的截面為橢圓 所圍成