第四章級(jí)數(shù)(習(xí)題四)解答

1、第四章級(jí)數(shù)（習(xí)題四）解答設(shè)已給復(fù)數(shù)序列，如果，其中是一有限復(fù)數(shù)，那么（復(fù)數(shù)列極限的算術(shù)平均法則）證明（方法）記，則由復(fù)數(shù)列收斂與實(shí)數(shù)列收斂的關(guān)系以及實(shí)數(shù)列極限的算術(shù)平均法則得，于是再由復(fù)數(shù)列收斂與實(shí)數(shù)列收斂的關(guān)系得（方法）由得，對(duì)任意，存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，于是，當(dāng)時(shí)，又，所以存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)從而取，當(dāng)時(shí)，即注意：此題中，當(dāng)時(shí)，結(jié)論不一定成立例如，取顯然，從而，但當(dāng)時(shí)，（），當(dāng)時(shí)，（），所以不存在這表明關(guān)于復(fù)數(shù)列的算術(shù)平均法則對(duì)無窮大量的情形不一定成立，這一點(diǎn)與實(shí)數(shù)列的算術(shù)平均法則有所不同證明：任何有界的復(fù)數(shù)序列一定有一個(gè)收斂的子列（復(fù)數(shù)域上的致密性定理）證明記有界的復(fù)數(shù)序列為，由，知，實(shí)數(shù)列和也

2、有界由實(shí)數(shù)域上的致密性定理得有收斂的子列，同理的子列也有收斂的子列，我們把它仍記為，于是由復(fù)數(shù)列收斂與實(shí)數(shù)列收斂的關(guān)系得的子列也收斂證明在兩相乘級(jí)數(shù)中，一個(gè)收斂，一個(gè)絕對(duì)收斂時(shí)，它們的柯西乘積一定收斂，且和為這兩個(gè)級(jí)數(shù)的和的乘積證明記級(jí)數(shù)收斂，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，其和分別為，（方法）記，由復(fù)級(jí)數(shù)收斂與實(shí)級(jí)數(shù)收斂的關(guān)系得和都收斂，和都絕對(duì)收斂又由數(shù)學(xué)分析中柯西乘積的收斂性得都收斂所以再由復(fù)級(jí)數(shù)收斂與實(shí)級(jí)數(shù)收斂的關(guān)系得收斂，且（方法）由級(jí)數(shù)收斂，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂知，存在正數(shù)，使得對(duì)任何正整數(shù)，有，又由柯西準(zhǔn)則，對(duì)任意，存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意自然數(shù)，有，再注意到，記為的部分和，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，于是當(dāng)

3、充分大時(shí)（如時(shí)），有，由易得所以注意：課本上61面順數(shù)第13行的等式有誤，應(yīng)分兩種情況改為當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，（方法）設(shè)級(jí)數(shù)收斂，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，并記，由題設(shè)，因?yàn)橐虼艘C成立，只須證明成立即可下面我們證明這一事實(shí)事實(shí)上，由和絕對(duì)收斂，并注意到收斂數(shù)列的有界性和數(shù)列收斂的定義以及級(jí)數(shù)收斂的柯西準(zhǔn)則可得，存在正數(shù)，使得，且對(duì)任意，存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，于是，當(dāng)時(shí)，即所以4證明定理2.1（考慮內(nèi)閉一致收斂的情形，課本上一致收斂的情形是此情形的特殊情況）和定理2.2證明任取，并取，使得，注意到在上一致收斂于，且在連續(xù)，以及易得在點(diǎn)連續(xù)，從而在上連續(xù)由于在簡(jiǎn)單曲線上一致收斂于，且在簡(jiǎn)單曲線上連續(xù)，由定理

4、2.1，在簡(jiǎn)單曲線上也連續(xù)，再注意到由積分的估值性易得試求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑：（）（）；（）；（），其中是一正整數(shù)；（）；（）；（），其中，和是復(fù)常數(shù)，但不是零或負(fù)整數(shù)解（）由知，收斂半徑為，此時(shí)收斂圓為（）由于，所以收斂半徑為，此時(shí)收斂圓為（）由知，收斂半徑為，此時(shí)收斂圓為（）由于，所以收斂半徑為，此時(shí)收斂圓為（）由知，收斂半徑為，此時(shí)收斂圓為（）當(dāng)是零或負(fù)整數(shù)或當(dāng)是零或負(fù)整數(shù)時(shí)，易得收斂半徑為，此時(shí)收斂圓為當(dāng)不是零或負(fù)整數(shù)且當(dāng)也不是零或負(fù)整數(shù)時(shí)，由知，收斂半徑為，此時(shí)收斂圓為設(shè)在內(nèi)解析的函數(shù)有泰勒展式，試證：（）令，我們有（關(guān)于冪級(jí)數(shù)展式的系數(shù)的柯西不等式），在這里；（）由（）再證劉維爾

5、定理（）當(dāng)時(shí)，證明（）由冪級(jí)數(shù)的系數(shù)與和函數(shù)的關(guān)系（或泰勒定理及冪級(jí)數(shù)展式的惟一性）得，再注意到第章的柯西不等式即得（）設(shè)為整函數(shù)且有界，即在復(fù)平面上解析，且存在，使得在復(fù)平面上，由泰勒定理，在復(fù)平面（）上，取為任意大的正數(shù)，顯然，由（）得，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，所以在復(fù)平面上，（）因圓周為閉集，由冪級(jí)數(shù)的收斂性，在上一致收斂且絕對(duì)收斂，從而也在上一致收斂且絕對(duì)收斂（這是因?yàn)椋?，于是，由絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的乘積性得，在圓周上絕對(duì)收斂且一致收斂（注意上式變形中用到了）令，則在上絕對(duì)收斂且一致收斂由一致收斂級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)積分性并注意到即得，即證明：如果在及內(nèi)，我們分別有，其中，而且在上連續(xù)，那么在內(nèi)證明（方法）對(duì)任意

6、，當(dāng)時(shí)，有，所以由冪級(jí)數(shù)的內(nèi)閉一致收斂性在上一致收斂又由題設(shè)易知在上有界，所以在上也一致收斂于是由逐項(xiàng)積分性并注意到即得（方法）由題設(shè)和冪級(jí)數(shù)的內(nèi)閉一致收斂性及絕對(duì)收斂性易得在圓周上一致收斂，于是，由逐項(xiàng)積分性并注意到，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，可得，即設(shè)是任一復(fù)數(shù)，證明證明因?qū)θ我鈴?fù)數(shù)，所以而所以求下列解析函數(shù)或多值函數(shù)的解析分支在的泰勒展式：（）；（）；（）；（）；（）（計(jì)算到的系數(shù)）其中是滿足的主值支，是滿足的主值支解（），（）（）因時(shí)，所以時(shí)，（）記在解析，且在內(nèi)，（注意：上式計(jì)算過程中用到了柯西乘積）所以，逐項(xiàng)積分得），其中（）在內(nèi)解析，令，則，即再由待定系數(shù)法得（）設(shè)是一整函數(shù)，并且假定存在著

7、一個(gè)正整數(shù)，以及兩個(gè)正數(shù)及，使得當(dāng)時(shí)，證明是一個(gè)至多次的多項(xiàng)式或常數(shù)證明因?yàn)檎瘮?shù)，即在復(fù)平面上解析，由泰勒定理，在復(fù)平面（）上，任取，由題設(shè)，由第6題（）得，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，所以在復(fù)平面上，即是一個(gè)至多次的多項(xiàng)式或常數(shù)求下列解析函數(shù)或多值函數(shù)的解析分支在指定區(qū)域內(nèi)的洛郎展式：（）在內(nèi)；（）在內(nèi)；（）在內(nèi)；（）在內(nèi)；（）在內(nèi)，其中，；（）在及內(nèi)，解（）顯然在內(nèi)解析，且在內(nèi)，（注意：第個(gè)展式用到了把缺的奇數(shù)項(xiàng)補(bǔ)齊），所以（）顯然在內(nèi)解析，且用待定系數(shù)法可將分解為且在內(nèi)所以在內(nèi)（）顯然在內(nèi)解析，且而在內(nèi)所以在內(nèi)（）顯然在內(nèi)解析，且，所以利用基本展式及兩次求和的可交換性，在內(nèi)其中（）由于的支點(diǎn)，所以在內(nèi)

8、解析，而在內(nèi)，其中由已知初值求終值的公式得，所以在內(nèi)其中（）易知在及內(nèi)都解析，且，而在內(nèi)，所以在內(nèi)同理可得，在內(nèi)注意：在計(jì)算過程中用到，以及對(duì)數(shù)函數(shù)主值支的展式，問下列各函數(shù)有哪些孤立奇點(diǎn)？各屬于哪一類？（）；（）；（），其中是一常數(shù)；（）；（）解（）易知的孤立奇點(diǎn)為，和，且是的一階零點(diǎn)，是的二階零點(diǎn)，且，所以是的一階極點(diǎn)，是二階極點(diǎn)，是可去奇點(diǎn)（）顯然的孤立奇點(diǎn)為，它們都是一階極點(diǎn)由于，所以是非孤立奇點(diǎn)（）易知的孤立奇點(diǎn)為，為整數(shù)，當(dāng)時(shí)，它們是二階極點(diǎn)（因?yàn)榇藭r(shí)它們是的二階零點(diǎn)）；當(dāng)時(shí)，它們是一階極點(diǎn)因?yàn)榇藭r(shí)它們是的一階零點(diǎn)）是非孤立奇點(diǎn)（因?yàn)樗鼈円詾榫埸c(diǎn)）（）易知，為整數(shù)，都是一階極點(diǎn)，而

9、是非孤立奇點(diǎn)由第15題(3)知是本性奇點(diǎn)（）由孤立奇點(diǎn)分類的定義知，是本性奇點(diǎn)又，所以是可去奇點(diǎn)證明：在擴(kuò)充復(fù)平面上只有一個(gè)一階極點(diǎn)的解析函數(shù)必有下面形式：，證明設(shè)是在擴(kuò)充平面上惟一的一個(gè)一階極點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，記在的主要部分為，則為整函數(shù)且以為可去奇點(diǎn)，所以，即，結(jié)論成立；當(dāng)時(shí)，記在的主要部分為，則為整函數(shù)且仍以為可去奇點(diǎn)，所以，即，顯然結(jié)論也成立綜上所述，在擴(kuò)充復(fù)平面上只有一個(gè)一階極點(diǎn)的解析函數(shù)必有形式：，；反之，若函數(shù)有形式：，易知它在擴(kuò)充平面上只有一個(gè)一階極點(diǎn)設(shè)函數(shù)在解析，并且它不恒等于一常數(shù)，試證是的階零點(diǎn)的充分必要條件是為的階極點(diǎn)證明是的階零點(diǎn)在的某鄰域內(nèi)，其中在點(diǎn)解析且在的某去心鄰域內(nèi)，

10、其中在點(diǎn)解析且為的階極點(diǎn)設(shè)函數(shù)及滿足下列條件之一：（）及在分別有階及階零點(diǎn)；（）及在分別有階及階極點(diǎn)；（）在解析或有極點(diǎn)，不恒等于零，在有孤立本性奇點(diǎn)試問，及在具有什么性質(zhì)？解（）由題設(shè)及解析函數(shù)零點(diǎn)階數(shù)的判定法，其中在點(diǎn)解析，其中在點(diǎn)解析，于是，所以，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為的階零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為的階零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為的至少階零點(diǎn)或者恒為零由于，所以，點(diǎn)為的階零點(diǎn)由于所以，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為的階零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)不為的零點(diǎn)，實(shí)際上它是的階極點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為的可去奇點(diǎn)此時(shí)補(bǔ)充，可成為的解析點(diǎn)（）由題設(shè)及解析函數(shù)極點(diǎn)的特征，其中在解析, 且，其中在解析, 且于是所以，當(dāng)時(shí)，為階極點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，為階極點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，為階數(shù)不超過的極點(diǎn)或可

11、去奇點(diǎn)所以，為階極點(diǎn)所以，當(dāng)時(shí)，為階極點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，為階零點(diǎn)(可去奇點(diǎn)要當(dāng)作解析點(diǎn))；當(dāng)時(shí), 為可去奇點(diǎn)(也可看作解析點(diǎn))（）由題設(shè)易知仍為，及的孤立奇點(diǎn)，假設(shè)不是它們的本性奇點(diǎn)，即必是它們的可去奇點(diǎn)或極點(diǎn)，于是由（）和（）知，必是的可去奇點(diǎn)或極點(diǎn)，這與題設(shè)條件矛盾故一定是它們的本性奇點(diǎn)設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，證明：如果對(duì)某一點(diǎn)有，那么在區(qū)域內(nèi)為常數(shù)證明 由題設(shè)及泰勒定理得， 存在點(diǎn)的鄰域，使得在內(nèi)于是由解析函數(shù)的惟一性定理得， 在區(qū)域內(nèi)，即在區(qū)域內(nèi)恒為常數(shù)問是否存在著滿足下列條件，并且在原點(diǎn)解析的函數(shù)？（），；（）；（），在這里解（）由于, (,) 都是收斂于0, 由惟一性定理 是在原點(diǎn)解析并滿足的

12、惟一函數(shù), 但此函數(shù)不滿足,故滿足條件此題條件的解析函數(shù)不存在.（）由于 (,)收斂于0, 且.由惟一性定理是在原點(diǎn)解析且 滿足條件此題條件的惟一解析函數(shù).（）類似于（）得，滿足此題條件的解析函數(shù)不存在函數(shù)的零點(diǎn)所成的集有聚點(diǎn)，但這函數(shù)不恒等于零，問這與解析函數(shù)的惟一性是否相矛盾？解由于在點(diǎn)不解析，故它與解析函數(shù)的惟一性并不矛盾設(shè)區(qū)域內(nèi)含有一段實(shí)軸，又設(shè)函數(shù)及都在內(nèi)解析，求證在內(nèi)證明記含于區(qū)域內(nèi)的一段實(shí)軸為，顯然在上，所以題設(shè)的兩個(gè)函數(shù)在上相等，于是由解析函數(shù)的惟一性得，在內(nèi)按照下列步驟，證明整函數(shù)可寫成下列形式：（）其中是復(fù)常數(shù)（）用表示圓周，其中，）證明：對(duì)于，積分的值與無關(guān)；取極限求出它

13、的值同樣計(jì)算及）設(shè)整函數(shù)的展式（）在中任何緊集上一致收斂，證明對(duì)于，（）的系數(shù)可由下列積分給出：，（）如果及有（）中公式給出，那么對(duì)于，）設(shè)表示圓心在、半徑為的圓盤，證明：對(duì)任意正數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上一致趨近于零（）最后證得：整函數(shù)有（）形的展式這一展式是惟一的，并且在中任何緊集上一致收斂（即內(nèi)閉或內(nèi)緊一致收斂）證明（）對(duì)任意，由于在上解析，由柯西積分定理，即所以與無關(guān)，于是又所以第3章習(xí)題三第16題得同理可求得，當(dāng)時(shí)，）由題設(shè)，因圓周為緊集，所以展式（）在上一致收斂注意到和在上有界 因?yàn)樵谏?，所以都在上一致收斂再由逐?xiàng)積分性，并注意到（）的結(jié)果即得，（）當(dāng)時(shí)，由柯西積分公式得假設(shè)對(duì)正整數(shù)有成立，則

14、對(duì)正整數(shù)，也有所以由數(shù)學(xué)歸納法知結(jié)論成立）對(duì)任意正數(shù)，取，并取圓周，顯然由于對(duì)任意，由積分的估值性，并注意到，有其中，所以在上一致趨近于零（）對(duì)中任何緊集，由于一定是有界閉集（因?yàn)樵谏?，是緊集是有界閉集），則存在圓域，使得由（）得，整函數(shù)有（）形的展式，且在中任何緊集上一致收斂（即內(nèi)閉或內(nèi)緊一致收斂）至于（）形展式的惟一性由（）立即可得設(shè)是一復(fù)數(shù)序列，（）設(shè)，并且，證明級(jí)數(shù)的收斂半徑，并且它的和是在單位圓盤內(nèi)確定的單射（）設(shè)，證明：如果級(jí)數(shù)的收斂半徑不是零，那么存在，使得級(jí)數(shù)的和是在內(nèi)確定的單射（）設(shè)函數(shù)在一點(diǎn)的鄰域內(nèi)解析，并且，那么是在的一個(gè)鄰域內(nèi)確定的單射證明（）由題設(shè)知，收斂，而當(dāng)時(shí)，從而由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較法則，在上絕對(duì)收斂，所以的收斂半徑下證其和函數(shù)是單位圓內(nèi)的單射事實(shí)上，對(duì)任意，因，則即，所以和函數(shù)是單位圓內(nèi)的