第十一章無窮級數(shù)

1、第十一章 無窮級數(shù)基本內(nèi)容 (一)數(shù)項級數(shù) 1.數(shù)項級數(shù)的定義設(shè)數(shù)列則稱是數(shù)項級數(shù)，其中稱為一般項記稱之為級數(shù)的前n項的部分和。稱為級數(shù)的部分和序列若，則稱收斂于和S，且記為；若不存在，則稱級數(shù)發(fā)散，的和不存在2.級數(shù)收斂的必要條件若級數(shù)收斂，則；這意味著若 ，則必發(fā)散3.級數(shù)的性質(zhì)設(shè)k是非零常數(shù)，,(1)(2)(3)在級數(shù)前面添（減）有限項，不改變級數(shù)的斂散性(4)收斂級數(shù)加括號后仍收斂*4.柯西收斂定理收斂的充分必要條件是：對任意，存在N ，當(dāng)n>N 時，對任意的自然數(shù)p都有成立（二）數(shù)項級數(shù)的收斂法1.正項級數(shù)的定義若級數(shù)滿足，則稱為正項級數(shù)顯然，正級數(shù)收斂的充

2、分必要條件是正項級數(shù)的部分和數(shù)列有上界2.正項級數(shù)的收斂法(1)比較判別法若正項級數(shù),滿足條件 則有如下結(jié)論：()若級數(shù)收斂，則級數(shù)也收斂()若級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)必發(fā)散（此內(nèi)容可簡記為：大的收斂，小的收斂；小的發(fā)散，大的發(fā)散）正項級數(shù), 若成立 ()則級數(shù)與的斂散性一致極限判別法：正項級數(shù)，常數(shù)則()若則發(fā)散()若存在，則收斂在使用比較判別法時，下列三個級數(shù)經(jīng)常被選為比較級數(shù).，當(dāng)時收斂；時發(fā)散，當(dāng)時收斂；時發(fā)散，當(dāng)時收斂；時發(fā)散(2)比值判別法正項級數(shù)且則時，級數(shù)收斂時，級數(shù)發(fā)散時，無法判斷(3)根值判別法正項級數(shù)且則時，級數(shù)收斂時，級數(shù)發(fā)散時，無法判斷(4)積分判別法設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且非

3、負單減，則級數(shù)與廣義積分的斂散性一致 3.交錯級數(shù)及收斂法(1)對任意級數(shù)若收斂，則級數(shù)必收斂，稱為絕對收斂；若發(fā)散，而收斂，則稱級數(shù)條件收斂(2)交錯級數(shù)若則稱級數(shù)或為交錯級數(shù)若交錯級數(shù)滿足條件則交錯級數(shù)收斂（三）冪級數(shù)1.冪級數(shù)的相關(guān)定義函數(shù)項級數(shù)對區(qū)間I上的函數(shù)列稱是函數(shù)項無窮級數(shù)當(dāng)時，數(shù)項級數(shù)收斂，則稱時函數(shù)項級數(shù)的收斂點；若發(fā)散，則稱是級數(shù)的發(fā)散點。函數(shù)項級數(shù)的收斂點的全體稱為收斂域2.冪級數(shù)稱如下形狀的函數(shù)項級數(shù)：和為冪級數(shù)我們知道，冪級數(shù)存在一個收斂半徑當(dāng)時，絕對收斂,當(dāng)時，發(fā)散的計算公式為：3.冪級數(shù)的運算(1)設(shè)則當(dāng)時，(2)設(shè)則在上連續(xù)(3)設(shè)則成立下述結(jié)論：()()（四）

4、函數(shù)展成冪級數(shù)1.函數(shù)的直接展開法(1)函數(shù)的泰勒展開設(shè)在區(qū)間內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)，且則 (2)函數(shù)的麥克勞林級數(shù)展開設(shè)在區(qū)間內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)，且則 2.函數(shù)間接展開將一些已知的函數(shù)展開，通過求導(dǎo)，積分可得到其它一些函數(shù)的展開，這種方法稱為間接展開法常用的冪級數(shù)有： （五）函數(shù)的冪級數(shù)展開的應(yīng)用我們可通過函數(shù)的冪級數(shù)展開，將復(fù)雜的函數(shù)由一個多項式函數(shù)和一個余項來表示，然后進行數(shù)值上的近似計算（六）傅立葉級數(shù)1. 1.    三角級數(shù)、三角函數(shù)系的正交性 稱是三角級數(shù)三角函數(shù)系在區(qū)間上正交，即其中任何兩個不同的函數(shù)之積在區(qū)間上的積分是零2. 2.  

5、  周期為函數(shù)展開成傅立葉級數(shù)(1)設(shè)是周期為的周期函數(shù)，當(dāng)時，稱是的傅立葉級數(shù)(2)收斂定理設(shè)是周期為的函數(shù)，若它滿足條件：在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有限個第一類間斷點，并且至多只有有限個極值點，則的傅立葉級數(shù)收斂，并且當(dāng)是的連續(xù)點時，級數(shù)收斂于；當(dāng)是的間斷點時，級數(shù)收斂于(3)函數(shù)的延拓設(shè)的定義域是滿足收斂定理要求的條件，則可以根據(jù)構(gòu)造出周期為的函數(shù)當(dāng)時，當(dāng)時，有 （七）正弦級數(shù)，余弦級數(shù)1.正弦級數(shù)，余弦級數(shù)定理 周期為的奇函數(shù)可展開成只含有正弦項的傅立葉級數(shù)，稱為正弦級數(shù)周期為的偶函數(shù)可展開成只含有余弦項的傅立葉級數(shù)，稱為余弦級數(shù)2.函數(shù)的奇延拓、偶延拓設(shè)的定義域是，且滿足收斂定理

6、的條件，則可通過在區(qū)間上構(gòu)造出滿足要求的函數(shù)可以是奇函數(shù)，也可是偶函數(shù)，然后應(yīng)用上節(jié)延拓的思想，將變成，則在上，因此可以得到在上的傅立葉級數(shù)此級數(shù)要么是正弦級數(shù)，要么是余弦級數(shù)（八）周期為的周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)1.周期為的的傅立葉級數(shù)若函數(shù)周期為，且滿足收斂定理的條件，則其傅立級數(shù)為其中2.定義在的函數(shù)的傅立葉級數(shù)將作為一個周期，延拓為周期為的函數(shù)，則可得出在上的傅立葉級數(shù)3.定義在上的函數(shù)的傅立葉級數(shù)作變換將， 變換為然后延拓，展開，求出的傅立葉級數(shù).代入反變換，即可求得的傅立葉級數(shù)練習(xí)題 11.1判斷下列數(shù)項級數(shù)是否收斂：（1） 解 ； ， 故發(fā)散（2）解 ， 收斂（3）解 ，

7、當(dāng)， 收斂；當(dāng)， 發(fā)散（4）解 ， 收斂（5）解 ， 故收斂（6）解 ， 故收斂（7）（積分判別法）解 發(fā)散（8）解 ， 故收斂（9）已知 ，收斂，是否收斂解 故收斂(10)解 ， 故收斂(11)解 ,發(fā)散； ，收斂；時，發(fā)散綜上所述，時，級數(shù)收斂；時，級數(shù)發(fā)散(12)（如何計算 ）解 , 故收斂(13)解 積分判別法，發(fā)散(14)（為已知數(shù)）解 整數(shù)時， 故發(fā)散；整數(shù)時，條件收斂(15) 解 ，收斂； ，發(fā)散；時，發(fā)散(16)（為常數(shù)）解 , ，故時，即時級數(shù)收斂(17)解 ， 故收斂(18)（為常數(shù)）解 ， 且收斂故原級數(shù)收斂11.2求冪級數(shù)的收斂域和函數(shù)（1）解，時，級數(shù)收斂， 故條件收

8、斂；時，級數(shù)收斂， 故條件收斂令 ，先求導(dǎo) ，故 （2）解 ，（3）解：，故 （4）解時，級數(shù)發(fā)散；時，級數(shù)條件收斂令先逐項求導(dǎo)，再求和積分所以11.3將函數(shù)展成麥克勞林級數(shù)（1）解， 故，則 ，故 （2）解 （3）解 11.4將下列函數(shù)展成傅利葉級數(shù)（1）（2）周期為的函數(shù)測驗題（十一）1.判斷下列級數(shù)的斂散性（1）解收斂， 而收斂（2）解發(fā)散，而 發(fā)散，（3）解收斂 ， 而收斂（4）解收斂 ，而 收斂所以原級數(shù)收斂（5）解收斂而收斂（6）解發(fā)散 ，而發(fā)散2.判斷下列級數(shù)的斂散性，若收斂，試求其和（1）（）解收斂 ，故 （2）解收斂，故 （3）解收斂 ，故 （4）解收斂，故 3.判斷級數(shù)的斂

9、散性，其中為實數(shù)解故 時，級數(shù)發(fā)散 時，級數(shù)收斂4.判斷級數(shù)是否收斂，若收斂，是絕對收斂還是條件收斂？（1）解 時，級數(shù)絕對收斂；時，級數(shù)發(fā)散；時，級數(shù)條件收斂（2）解 時，級數(shù)發(fā)散；時，級數(shù)絕對收斂；時，級數(shù)發(fā)散；時，級數(shù)條件收斂（3）解 ，故原級數(shù)條件收斂（4）解 ，而 條件收斂5.若級數(shù)收斂，證明級數(shù)收斂證明 收斂， 收斂， ， 故絕對收斂6.設(shè)為一單調(diào)有界函數(shù)，且，證明級數(shù)收斂證明 不妨設(shè) ， 則而 收斂，故 收斂，即 收斂7.求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間：（1）解 ，時，級數(shù)收斂；時，級數(shù)發(fā)散故 收斂區(qū)間為（2）解 當(dāng) 時級數(shù)均收斂故 收斂區(qū)間為（3）解 令得新級數(shù)此級數(shù)收斂區(qū)間為，故原級數(shù)收斂區(qū)間為8.求冪級數(shù)的和函數(shù)（1） （）解 =（2） （-11）解令 ，令 ，所以 （3） （）解 令 ，所以 （4） （）解令