線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合習題

1、第九章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合9-1 已知電樞控制的直流司服電機的微分方程組及傳遞函數(shù)為，；。 設(shè)狀態(tài)變量，輸出量，試建立其動態(tài)方程； 設(shè)狀態(tài)變量，輸出量，試建立其動態(tài)方程； 設(shè)，確定兩組狀態(tài)變量間的變換矩陣。解： 由傳遞函數(shù)得 ，動態(tài)方程為，其中； 由微分方程得，即 ，其中 ； 由兩組狀態(tài)變量的定義，直接得到。9-2 設(shè)系統(tǒng)的微分方程為其中為輸入量，為輸出量。 設(shè)狀態(tài)變量，試列寫動態(tài)方程； 設(shè)狀態(tài)變換，試確定變換矩陣及變換后的動態(tài)方程。解： ，； ，；，；得，；，。9-3 設(shè)系統(tǒng)的微分方程為其中、分別系統(tǒng)為輸入、輸出量。試列寫可控標準型(即為友矩陣)及可觀標準型(即為友矩陣轉(zhuǎn)置)狀態(tài)空

2、間表達式，并畫出狀態(tài)變量圖。解：可控標準型和可觀標準型狀態(tài)空間表達式依次為，；6611s-1s-1s-16-y6116s-1s-1s-16-y-可控標準型和可觀標準型的狀態(tài)變量圖依次為，9-4 已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，其狀態(tài)變量為、。試求動態(tài)方程，并畫出狀態(tài)變量圖。sX1(s)=Y(s)X2(s)X3(s)-U(s)解：由圖中信號關(guān)系得，。動態(tài)方程為，；狀態(tài)變量圖為-y-32s-12s-1s-139-5 已知雙輸入雙-輸出系統(tǒng)狀態(tài)方程和輸出方程，寫出其向量-矩陣形式并畫出狀態(tài)變量圖。解：狀態(tài)方程 ，；狀態(tài)變量圖為2s-1s-1s-16211-y1u2y2-u1x2x3-9-6 已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)

3、為，試求出可控標準型(為友矩陣)、可觀標準型(為友矩陣轉(zhuǎn)置)、對角型(為對角陣)動態(tài)方程。解：；可控標準型、可觀標準型和對角型依次為；。9-7 已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為，試求約當型(為約當陣)動態(tài)方程。解：；，。9-8 已知矩陣,試求的特征方程、特征值、特征向量，并求出變換矩陣將約當化。解：特征方程，即；特征值、；特征向量依次對應矩陣的列，所求變換矩陣為；。9-9 已知矩陣，試用冪級數(shù)法及拉普拉斯變換法求出矩陣指數(shù)(即狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣)。解：冪級數(shù)法求解，；拉普拉斯變換法求解，；。9-10 求下列狀態(tài)方程的解：。解：，得到 。9-11 已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程為，初始條件為，。試求系統(tǒng)在單位階躍輸入作用下的響

4、應。解法1：；。解法2：；。9-12 已知系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，試求該系統(tǒng)的狀態(tài)陣。解：。(注：原題給出的不滿足及。)9-13 已知系統(tǒng)動態(tài)方程，試求傳遞函數(shù)。解：，；。9-14 試求所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。，。解：；。9-15 已知差分方程，試列寫可控標準型(為友矩陣)離散動態(tài)方程，并求出時的系統(tǒng)響應。給定，。解：系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為，；，。；。9-16 已知連續(xù)系統(tǒng)動態(tài)方程為，設(shè)采樣周期，試求離散化動態(tài)方程。解：設(shè)，；，；，；，。9-17 判斷下列系統(tǒng)的狀態(tài)可控性： ； ； ； ； ； 。解： ，；狀態(tài)不完全可控； ，；狀態(tài)不完全可控； ，；狀態(tài)完全可控； ，；狀態(tài)不完全可控； ，；狀態(tài)不完

5、全可控； ，；狀態(tài)完全可控；9-18 已知，試計算？解：矩陣的特征方程為 ， 據(jù)凱萊哈密爾定理得知：，；。9-19 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為，且狀態(tài)完全可控。試求、。解：，只需。9-20 設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為，且狀態(tài)完全可控。試求。解：可控標準型實現(xiàn)的系統(tǒng)，無論取何值，系統(tǒng)狀態(tài)完全可控。在可觀標準型實現(xiàn)中，；， ；只需、且。注：由分子和分母的多項式互質(zhì)條件，同樣得到。9-21 判斷下列系統(tǒng)的輸出可控性： ，。 ，；解：輸出可控性判別矩陣。 ，系統(tǒng)的輸出不可控。 ，系統(tǒng)的輸出可控；9-22 判斷下列系統(tǒng)的可觀測性：，； ，；，；，。解：應用可觀測性判別矩陣。 ，；系統(tǒng)完全可觀測； ，； 系統(tǒng)完全可觀測； ，

6、；系統(tǒng)完全可觀測； ，；系統(tǒng)不完全可觀測；9-23 試確定使下列系統(tǒng)可觀測的、：，。解：，只需。9-24 已知系統(tǒng)各矩陣為，試用傳遞函數(shù)矩陣判斷系統(tǒng)的可控性、可觀測性。解：，傳遞函數(shù)矩陣為 ；，；，；該實現(xiàn)是完全可控且完全可觀測的。9-25 將下列狀態(tài)方程化為可控標準型。解： ；，；，；，； 。注：若不要求計算變換矩陣，可根據(jù)特征多項式直接列寫可控標準型。9-26 已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為,試寫出系統(tǒng)可控不可觀測、可觀測不可控、不可控不可觀測的動態(tài)方程。解：系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子和分母多項式中有公因式，任何2維動態(tài)方程不可能是既完全可控又完全可觀測的。可控不可觀測動態(tài)方程 ，；可觀測不可控動態(tài)方程 ，；

7、不可控不可觀測動態(tài)方程 ，。9-27 已知系統(tǒng)各矩陣為，試求可控子系統(tǒng)、不可控子系統(tǒng)的態(tài)方程。解：，；，；選取，；，；可控子系統(tǒng)動態(tài)方程：，；不可控子系統(tǒng)動態(tài)方程：，。9-28 系統(tǒng)各矩陣同習題9-27，試求可觀測子系統(tǒng)、不可觀測子系統(tǒng)的態(tài)方程。解：，；初等變換成，選取變換矩陣，；，；不可觀測子系統(tǒng)動態(tài)方程：?？捎^測子系統(tǒng)動態(tài)方程：，；9-29 設(shè)被控系統(tǒng)狀態(tài)方程為，可否用狀態(tài)反饋任意配置閉環(huán)極點？求狀態(tài)反饋矩陣，使閉環(huán)極點位于，并畫出狀態(tài)變量圖。解：，系統(tǒng)完全可控，可用狀態(tài)反饋任意配置閉環(huán)極點。期望的特征多項式為 ；待定參數(shù)特征多項式為 ；解得， 。狀態(tài)變量圖如下：r102.11.2-10s

8、-1s-1s-14-9-30 設(shè)被控系統(tǒng)動態(tài)方程為，試設(shè)計全維狀態(tài)觀測器，使其閉環(huán)極點位于，并畫出狀態(tài)變量圖。解：期望的觀測器特征多項式為 ；待定系數(shù)的特征多項式為 ；ys-1s-1-s-1s-13r2r2；，。狀態(tài)變量圖如右圖所示。9-31 設(shè)被控系統(tǒng)動態(tài)方程為，試檢查被控系統(tǒng)的可控性、可觀測性；求輸出至輸入的反饋矩陣，使閉環(huán)極點位于， ，并畫出狀態(tài)變量圖。解：，可控性判別矩陣滿秩；動態(tài)方程是可觀測標準型； 被控系統(tǒng)是完全可控且完全可觀測的；期望的特征多項式為 ；選取狀態(tài)反饋矩陣 ；則待定參數(shù)特征多項式為解得 ；構(gòu)造全維狀態(tài)觀測器，其極點選為；則，；即；，；r1s-1s-1s-1311030

9、-z3z1z2u1u222-35s-1s-1s-1-y-311030k3k2k1-r2-9-32 已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為，能否利用狀態(tài)反饋將傳遞函數(shù)變成。若有可能，求出一個滿足要求的狀態(tài)反饋陣，并畫出狀態(tài)變量圖。(提示：狀態(tài)反饋不改變原傳遞函數(shù)零點。)解：系統(tǒng)能控規(guī)范形是完全可控的，完全可控系統(tǒng)可利用狀態(tài)反饋任意配置閉環(huán)極點。將閉環(huán)極點配置在上，即可滿足要求。取 ；原系統(tǒng)和狀態(tài)反饋系統(tǒng)的狀態(tài)實現(xiàn)分別為：；即，；解得：。s-1s-1s-1226518215-y-x3x2x1ur9-33 已知系統(tǒng)動態(tài)方程各矩陣為，試檢查可觀測性，設(shè)計維觀測器，并使所有極點配置在。解：，；，該系統(tǒng)完全能觀；選取變換矩陣， ；則 ；，；，；解得，；維觀測器方程如下：，。9-34 試用李亞普諾夫第二法判斷下列系統(tǒng)平衡態(tài)的穩(wěn)定性：，。解： 李亞普諾夫方程，其中系統(tǒng)矩陣為 ；取，；解得 ，系統(tǒng)的平衡態(tài)是漸近穩(wěn)定的；（或采用李亞普諾夫方程，解得 。）9-35 已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程為，當時，？若選為半正定矩陣，？對應？判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。解：系統(tǒng)穩(wěn)定性與所選取的矩陣無關(guān)。當時，由李亞普諾夫方程得到，解得 ，由，即