【金學(xué)案】高中數(shù)學(xué)（北師大版選修12精品學(xué)案第一章 統(tǒng)計(jì)案例 第1課時(shí) 回歸分析

1、第1課時(shí)回 歸 分 析1.會(huì)對(duì)兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系進(jìn)行分析、判斷.2.了解回歸分析的基本思想,會(huì)對(duì)兩個(gè)變量的具體問(wèn)題進(jìn)行回歸分析.3.掌握運(yùn)用最小二乘法建立回歸模型的基本步驟和方法.重點(diǎn):熟練掌握回歸分析,建立回歸模型,求各相關(guān)指數(shù)的步驟.難點(diǎn):如何求回歸直線方程以及對(duì)相關(guān)系數(shù)r的理解和運(yùn)用.我們每個(gè)人都有自己的身高和體重,那么如果把身高和體重分別作為變量,它們能夠構(gòu)成函數(shù)關(guān)系嗎?問(wèn)題1:散點(diǎn)圖在考慮兩個(gè)量的關(guān)系時(shí),為了對(duì)變量之間的關(guān)系有一個(gè)大致的了解,人們通常將變量所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)描出來(lái),這些點(diǎn)就組成了變量之間的一個(gè)圖,通常稱這種圖為變量之間的散點(diǎn)圖.問(wèn)題2:相關(guān)關(guān)系與線性回歸相關(guān)關(guān)系:對(duì)于兩個(gè)變量

2、,當(dāng)自變量取值一定時(shí),因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系.相關(guān)關(guān)系分為線性相關(guān)和非線性相關(guān). 函數(shù)關(guān)系中的兩個(gè)變量間是一種確定性關(guān)系,相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系. 線性回歸:對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法. 問(wèn)題3:線性相關(guān)系數(shù)r=稱為兩個(gè)變量數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,n)的線性相關(guān)系數(shù).r用來(lái)刻畫兩個(gè)變量的線性回歸效果:當(dāng)r>0時(shí),表明兩個(gè)變量正相關(guān);當(dāng)r<0時(shí),表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān);r的絕對(duì)值越接近于0時(shí),表明兩個(gè)變量之間越不存在線性相關(guān)關(guān)系. 問(wèn)題4:線性回歸分析的步驟對(duì)于一組具有線性相關(guān)

3、關(guān)系的數(shù)據(jù):(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn).(1)畫散點(diǎn)圖:看散點(diǎn)圖是否呈條狀分布. (2)求回歸直線方程(最小二乘法):  b=,=xi,=yi,其中(,)為樣本中心點(diǎn),回歸直線方程必經(jīng)過(guò)樣本中心點(diǎn)(,),得a= -b; (3)得出相關(guān)結(jié)論:回歸直線方程為y=a+bx,利用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)測(cè). “一只蝴蝶在巴西扇動(dòng)翅膀,有可能會(huì)在美國(guó)的德克薩斯州引起一場(chǎng)龍卷風(fēng).”這就是洛倫茲1979年12月在華盛頓的“美國(guó)科學(xué)促進(jìn)會(huì)”上的一次演講中提出的“蝴蝶效應(yīng)”.這次演講給人們留下了極其深刻的印象.從此以后,所謂“蝴蝶效應(yīng)”之說(shuō)就不脛而

4、走,名聲遠(yuǎn)揚(yáng).“蝴蝶效應(yīng)”之所以令人著迷、令人激動(dòng)、發(fā)人深省,不但在于其大膽的想象力和迷人的美學(xué)色彩,而且在于其深刻的科學(xué)內(nèi)涵和內(nèi)在的哲學(xué)魅力.1.下列關(guān)系不屬于相關(guān)關(guān)系的是().A.父母的身高與子女的身高B.人的身高與體重C.居民的收入與消費(fèi)D.正方體的表面積和體積【解析】相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系,而D項(xiàng)是確定的關(guān)系,為函數(shù)關(guān)系,故選D.【答案】D2.設(shè)兩個(gè)變量x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系,相關(guān)系數(shù)是r,回歸方程為y=a+bx,那么必有().A.b與r符號(hào)相同B.a與r符號(hào)相同C.b與r符號(hào)相反D.a與r符號(hào)相反【解析】因?yàn)閎與r的分母均為正,且分子相同,所以b與r同號(hào).【答案】A3.某醫(yī)院

5、用光電比色檢驗(yàn)?zāi)蚬瘯r(shí),得到尿汞含量x(毫克/升)與消化系數(shù)y的一組數(shù)據(jù)如下表:尿汞含量x246810消化系數(shù)y64138205285260若x與y具有線性相關(guān)關(guān)系,則回歸直線方程是. 【解析】利用公式b=26.95,a=-b=28.7,從而回歸直線方程為y=26.95x+28.7.【答案】y=26.95x+28.74.某10名同學(xué)的數(shù)學(xué)、物理、語(yǔ)文成績(jī)?nèi)缦卤?數(shù)學(xué)13612512287108113111709474物理107919276938582787873語(yǔ)文861141041091001061121049599試分別研究他們的數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)的關(guān)系、數(shù)學(xué)成績(jī)與語(yǔ)文成績(jī)的關(guān)系,

6、你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?【解析】可求出物理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)的相關(guān)系數(shù)r0.87,從而認(rèn)為物理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)之間具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.而由語(yǔ)文成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)的相關(guān)系數(shù)|r|0.092很接近0,說(shuō)明語(yǔ)文成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)不具有線性相關(guān)關(guān)系.因此,數(shù)學(xué)成績(jī)好的同學(xué),一般來(lái)說(shuō)物理成績(jī)也較好,它們之間的聯(lián)系較緊密,而數(shù)學(xué)成績(jī)好的同學(xué),語(yǔ)文成績(jī)可能好也可能差,它們之間的關(guān)系不大.相關(guān)關(guān)系的判斷與分析有下列關(guān)系:人的年齡與他(她)擁有的財(cái)富之間的關(guān)系;曲線上的點(diǎn)與該點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系;蘋果的產(chǎn)量與氣候之間的關(guān)系;森林中的同一種樹木,其斷面直徑與高度之間的關(guān)系;學(xué)生與他(她)的學(xué)號(hào)之間的關(guān)系.其中有相關(guān)關(guān)系的是(填寫你

7、認(rèn)為正確的序號(hào)). 【方法指導(dǎo)】根據(jù)相關(guān)關(guān)系的概念進(jìn)行判斷.【解析】序號(hào)關(guān)系理由相關(guān)關(guān)系人的年齡和他(她)的財(cái)富有一定的關(guān)系,一般中年人財(cái)富多,年輕人少,少兒基本沒(méi)有函數(shù)關(guān)系曲線上的點(diǎn)與其坐標(biāo)一一對(duì)應(yīng),是確定的相關(guān)關(guān)系氣候能影響蘋果的產(chǎn)量相關(guān)關(guān)系同一種樹木,其斷面直徑和高度之間有一定的關(guān)系,但不確定對(duì)應(yīng)關(guān)系確定的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系【答案】【小結(jié)】相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系,是指兩個(gè)變量之間有關(guān)系,但是兩者之間的關(guān)系還受其他因素的影響,只是影響大小的問(wèn)題.回歸直線過(guò)樣本中心點(diǎn)(,)的性質(zhì)的應(yīng)用觀察兩個(gè)相關(guān)變量的如下數(shù)據(jù):x-1-2-3-4-554321y-0.9-2-3.1-3.9-5.15

8、4.12.92.10.9則兩個(gè)變量間的回歸直線方程為().A.y=0.5x-1B.y=xC.y=2x+0.3D.y=x+1【方法指導(dǎo)】根據(jù)回歸直線方程y=a+bx經(jīng)過(guò)樣本中心點(diǎn)(,)可計(jì)算出結(jié)果.【解析】=0,=0,回歸直線方程經(jīng)過(guò)樣本中心點(diǎn)(,),代入所給選項(xiàng)中檢驗(yàn),可知,只有y=x符合條件.【答案】B先判定相關(guān)性,再求回歸直線方程某種圖書每?jī)?cè)的成本費(fèi)y(元)與印刷冊(cè)數(shù)x(千冊(cè))有關(guān),經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到數(shù)據(jù)如下:x123510203050100200y10.155.524.082.852.111.621.411.301.211.15檢驗(yàn)每?jī)?cè)書的成本費(fèi)y與印刷冊(cè)數(shù)的倒數(shù)之間是否有線性相關(guān)關(guān)系?如果有,

9、求出y對(duì)x的回歸方程.【方法指導(dǎo)】本題是非線性回歸分析問(wèn)題,不妨設(shè)變量u=,題意要求對(duì)u與y作相關(guān)性檢驗(yàn),如果它們具有線性相關(guān)關(guān)系,就可以進(jìn)一步求出y對(duì)u的回歸直線方程,這時(shí),再回代u=,就得到了y對(duì)x的回歸曲線方程.【解析】將上表數(shù)據(jù)列表分析如下:i12345678910􀰐xi123510203050100200421yi10.155.524.082.852.111.621.411.301.211.1531.4149251004009002500100004000053939103.0330.4716.658.124.452.621.991.691.461.32171.8x

10、iyi10.1511.0412.2414.2521.132.442.365121230559.48=42.1,=1772.41,=3.14,n=10,10=1321.94,可以求得r=0.9998,由r=0.9998,因此變量y與之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.b=-0.02,a=-b=3.14-(-0.02)×42.1=3.98.y與x的回歸方程為y=3.98-0.02x.問(wèn)題當(dāng)x=1時(shí),由回歸方程得y=3.96,而實(shí)際上y=10.15,為什么有這么大的偏差?上述回歸方程是y與x的回歸方程嗎?結(jié)論因?yàn)閥與之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系,而y與x之間沒(méi)有明顯的線性相關(guān)關(guān)系,故應(yīng)先通過(guò)變量變換

11、(即換元),令u=,并通過(guò)對(duì)u與y作相關(guān)性檢驗(yàn),求出y對(duì)u的回歸直線方程,最后再回代u=,得到y(tǒng)對(duì)x的回歸方程.于是正確解如下:首先作變量變換,令u=,則題目所給數(shù)據(jù)變成如下表所示的數(shù)據(jù):ui10.50.330.20.10.050.030.020.010.005yi10.155.524.082.852.111.621.411.301.211.15可以求得r0.9998,因此變量y與u之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系,并且b8.973,a=-b1.125,最后回代u=可得y=+1.125.因此y與x的回歸方程為y=+1.125.【小結(jié)】本題中y與x之間不具有線性相關(guān)關(guān)系,因而是非線性回歸分析問(wèn)題,對(duì)此

12、類回歸分析問(wèn)題,應(yīng)先求線性相關(guān)系數(shù)r,利用r來(lái)判斷兩個(gè)變量之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系.當(dāng)|r|越接近1時(shí),認(rèn)為線性相關(guān)關(guān)系越強(qiáng),可以求回歸直線方程,并可用求得的回歸直線方程來(lái)預(yù)測(cè)變量的取值;當(dāng)|r|越接近0時(shí),認(rèn)為兩個(gè)變量之間線性相關(guān)關(guān)系越不顯著,這時(shí)求回歸直線方程沒(méi)有多大的實(shí)際價(jià)值,要采用變量變換(即換元法)轉(zhuǎn)化為線性回歸問(wèn)題求解.由施肥量x與水稻產(chǎn)量y試驗(yàn)數(shù)據(jù)的關(guān)系,畫出散點(diǎn)圖,并指明相關(guān)性.施化肥量x15202530354045水稻產(chǎn)量y330345365405445450455【解析】散點(diǎn)圖為:通過(guò)圖像可知是正相關(guān).已知x、y的取值如表所示,若從散點(diǎn)圖分析,y與x線性相關(guān),且y=0.95

13、x+a,求a的值.x01234y2.24.34.84.86.7【解析】由表中數(shù)據(jù)得=2,=4.56,由于線性回歸方程一定經(jīng)過(guò)樣本中心點(diǎn)(,),即(2,4.56),在回歸直線方程y=bx+a中,代入點(diǎn)(2,4.56)得a=-b=4.56-0.95×2=2.66.10名同學(xué)在高一和高二的數(shù)學(xué)成績(jī)?nèi)缦卤?x74717268767367706574y76757170767965776272其中x為高一數(shù)學(xué)成績(jī),y為高二數(shù)學(xué)成績(jī).(1)y與x是否具有相關(guān)關(guān)系;(2)如果y與x具有相關(guān)關(guān)系,求回歸直線方程.【解析】(1)由已知表格中的數(shù)據(jù),利用計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算得=71,=72.3,xiyi=514

14、67,=50520,=52541.則r=0.78.即認(rèn)為x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系.(2)y與x具有線性相關(guān)關(guān)系,設(shè)回歸直線方程為y=a+bx,則b=1.22,a=-b=72.3-1.22×71=-14.32,所以y關(guān)于x的回歸直線方程為y=1.22x-14.32.1.對(duì)相關(guān)系數(shù)r,下列說(shuō)法正確的是().A.r越大,兩變量的線性相關(guān)程度越大B.r越小,兩變量的線性相關(guān)程度越大C.|r|越大,兩變量的線性相關(guān)程度越大;|r|越小,兩變量的線性相關(guān)程度越小D.|r|1,且|r|越接近1,兩變量的線性相關(guān)程度越大;|r|越接近0,兩變量的線性相關(guān)程度越小【解析】由兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)公式r=

15、可知,相關(guān)程度的強(qiáng)弱與|r|和1的接近程度有關(guān),|r|越接近1,兩變量的線性相關(guān)程度越大,|r|越接近0,兩變量的線性相關(guān)程度越小.【答案】D2.工人月工資y(元)關(guān)于勞動(dòng)生產(chǎn)率x(千元)的回歸方程為y=650+80x,下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是().勞動(dòng)生產(chǎn)率為1000元,工資約為730元;勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1000元,則工資約提高80元;勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1000元,則工資約提高730元;當(dāng)月工資為810元,勞動(dòng)生產(chǎn)率約為2000元.A.1B.2C.3D.4【解析】正確,注意單位的一致性,故選C.【答案】C3.若預(yù)報(bào)體重y(kg)和身高x(cm)之間的線性回歸方程為y=0.849x-85.712,如果要

16、找到體重為41.638 kg的人,(填“一定”或“不一定”)在身高為150 cm的人群中. 【解析】體重不僅受身高的影響,還受其他因素的影響.【答案】不一定4.某個(gè)體服裝店經(jīng)營(yíng)某種服裝,一周內(nèi)獲純利潤(rùn)y(元)與該周每天銷售這種服裝的件數(shù)x之間的一組數(shù)據(jù)如下:x3456789y66697381899091已知=280,=45309,xiyi=3487.(1)求,;(2)一周內(nèi)獲純利潤(rùn)y與該周每天銷售件數(shù)x之間是否線性相關(guān)?如果線性相關(guān),求出回歸直線方程.【解析】(1)=(3+4+5+6+7+8+9)=6,=(66+69+73+81+89+90+91)79.86.(2)根據(jù)已知=280,

17、=45309,xiyi=3487,得相關(guān)系數(shù)r=0.973.所以純利潤(rùn)y與每天銷售件數(shù)x之間具有顯著的線性相關(guān)關(guān)系.利用已知數(shù)據(jù)可求得回歸直線方程為y=4.746x+51.386.(2022年·湖南卷)四名同學(xué)根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量x,y之間的相關(guān)關(guān)系,并求得回歸直線方程,分別得到以下四個(gè)結(jié)論:y與x負(fù)相關(guān)且y=2.347x-6.423;y與x負(fù)相關(guān)且y=-3.476x+5.648;y與x正相關(guān)且y=5.437x+8.493;y與x正相關(guān)且y=-4.326x-4.578.其中一定不正確的結(jié)論的序號(hào)是().A.B.C.D.【解析】由正相關(guān)、負(fù)相關(guān)的性質(zhì)可知在中,斜率為2.347&g

18、t;0,不可能負(fù)相關(guān);在中,斜率為-4.326<0,不可能正相關(guān),故一定不正確.選D.【答案】D    1.下列兩個(gè)變量之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的是().A.圓的面積與半徑B.球的體積與半徑C.角度與它的正弦值D.一個(gè)考生的數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)【解析】由題意知A表示圓的面積與半徑之間的關(guān)系S=r2;B表示球的體積與半徑之間的關(guān)系V=r2;C表示角度與它的正弦值y=sin,以上所說(shuō)的都是確定的函數(shù)關(guān)系,相關(guān)關(guān)系不是確定性的關(guān)系,故選D.【答案】D2.在對(duì)兩個(gè)變量x,y進(jìn)行線性回歸分析時(shí)有下列步驟:對(duì)所求出的回歸方程作出解釋;收集數(shù)據(jù)(xi,yi),其中i=

19、1,2,n;求線性回歸方程;求相關(guān)系數(shù);根據(jù)所搜集的數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖.如果根據(jù)可靠性要求能夠作出變量x,y具有線性相關(guān)結(jié)論,那么在下列操作順序中正確的是().A.B.C.D.【解析】根據(jù)線性回歸分析思想可知,兩個(gè)變量x,y進(jìn)行線性回歸分析時(shí),應(yīng)先收集數(shù)據(jù)(xi,yi),然后繪制散點(diǎn)圖,再求相關(guān)系數(shù)和線性回歸方程,最后對(duì)所求的回歸方程作出解釋,因此選D.【答案】D3.如圖所示有5組數(shù)據(jù),去掉后,剩下的4組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性更強(qiáng). 【解析】根據(jù)散點(diǎn)圖判定兩變量的線性相關(guān)性,樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)越集中在某一直線附近,這兩變量的線性相關(guān)性越強(qiáng),顯然去掉D(3,10)后,其余各點(diǎn)更能集中在某一直線附近,即線

20、性相關(guān)性更強(qiáng).【答案】D(3,10)4.一個(gè)工廠在某年里每月產(chǎn)品的總成本y(萬(wàn)元)與該月產(chǎn)量x(萬(wàn)件)之間由如下一組數(shù)據(jù):x1.081.121.191.281.361.481.591.681.801.871.982.07y2.252.372.402.552.642.752.923.033.143.263.363.50(1)畫出散點(diǎn)圖;(2)檢驗(yàn)相關(guān)系數(shù)r的顯著性水平;(3)求月總成本y與月產(chǎn)量x之間的回歸直線方程.【解析】i123456789101112xi1.081.121.191.281.361.481.591.681.801.871.982.07yi2.252.372.402.552.6

21、42.752.923.033.143.263.363.50xiyi2.432.6542.8563.2643.5904.074.6435.0905.6526.0966.6537.245=,=,=29.808,=99.2081,xiyi=54.243(1)畫出散點(diǎn)圖,如圖所示.(2)r=0.99,這說(shuō)明每月產(chǎn)品的總成本y(萬(wàn)元)與該月產(chǎn)量x(萬(wàn)件)之間存在顯著的線性相關(guān)關(guān)系.(3)設(shè)回歸直線方程y=bx+a,利用計(jì)算a,b,得b1.215,a=-b0.974,即回歸直線方程為y=1.215x+0.974.5.設(shè)一個(gè)回歸方程為y=3-5x,當(dāng)變量x增加一個(gè)單位時(shí)().A.y平均增加3個(gè)單位B.y平均

22、減小5個(gè)單位C.y平均增加5個(gè)單位D.y平均減小3個(gè)單位【解析】-5是斜率的估計(jì)值,說(shuō)明x每增加一個(gè)單位,y平均減少5個(gè)單位.【答案】B6.對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),其回歸方程的截距為().A.a=y+bxB.a=+bC.a=y-bxD.a=-b【解析】回歸直線方程中的截距即為a,由公式=b+a得a=-b,故選D.【答案】D7.許多因素都會(huì)影響貧窮,教育也許是其中之一,在研究這兩個(gè)因素的關(guān)系時(shí)收集了美國(guó)50個(gè)州的成年人受過(guò)9年或更少教育的百分比(x)和收入低于官方規(guī)定的貧困線的人數(shù)占本州人數(shù)的百分比(y)的數(shù)據(jù),建立的回歸直線方程為y=0.8

23、x+4.6,則成年人受過(guò)9年或更少教育的百分比(x)和收入低于官方的貧困線的人數(shù)占本州人數(shù)的百分比(y)之間的相關(guān)系數(shù).(填“大于0”或“小于0”) 【解析】一個(gè)地區(qū)受過(guò)9年或更少教育的百分比每增加1%,收入低于官方規(guī)定的貧困線的人數(shù)占本州人數(shù)的百分比將增加0.8%左右.【答案】大于08.假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費(fèi)用y(萬(wàn)元)有如下的統(tǒng)計(jì)資料:使用年限x23456維修費(fèi)用y2.23.85.56.57.0若由資料知y對(duì)x呈線性相關(guān)關(guān)系.試求:(1)線性回歸方程y=bx+a的回歸系數(shù)a,b;(2)估計(jì)使用年限為10年時(shí)的維修費(fèi)用.【解析】(1)制表如下:i12345合計(jì)xi2345620yi2.23.85.56.57.025xiyi4.411.422.032.542.0112.34916253690=4,=5,=90,xiyi=112.3于是b=1.23,a=-b=5-1.23×4=0.08.(2)由(1)知回歸直線方程為y=1.23x+0.08,當(dāng)x=10時(shí),y=1.23&