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1、中國(guó)海洋大學(xué) 2010學(xué)年春季學(xué)期 期末考試試卷 數(shù)學(xué)科學(xué) 學(xué)院 線性代數(shù) 課程試題(B卷)優(yōu)選專(zhuān)業(yè)年級(jí) 學(xué)號(hào) 姓名 授課教師 座號(hào) -裝-訂-線- 共4頁(yè) 第 1 頁(yè)題號(hào)一二三四五六總分得分符號(hào)說(shuō)明: 表示矩陣的秩,表示矩陣的伴隨矩陣,表示階單位矩陣,表示矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣,是的代數(shù)余子式.一、填空(18分)1. 設(shè), 則=_.2. 已知矩陣只有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,則_.3. 如果階方陣的特征值分別為1,2,則 .4.已知均為3階矩陣,矩陣滿足 其中是3階單位矩陣,則 .5.已知4元非齊次線性方程組,又知為的3個(gè)解,且,則的全部解為 .6. 若二次型可經(jīng)正交線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)型,則 .授課教師
2、命題教師或命題負(fù)責(zé)人簽字 年 月 日院系負(fù)責(zé)人簽字年 月 日 數(shù)學(xué)科學(xué) 學(xué)院 課程試題(A卷) 共 4 頁(yè) 第 2 頁(yè)二、選擇題 (24分)1. 設(shè)均為階實(shí)對(duì)稱矩陣,若存在正交矩陣,使成立.現(xiàn)有四個(gè)命題:與合同 ; ; 若為正定矩陣,則也是正定矩陣;與有相同的特征值和特征向量.以上命題正確的是( ).A. ; B.; C.; D.2.設(shè) 是矩陣,且其列向量組線性無(wú)關(guān),是n階方陣,滿足, 則秩 ( ) A. 等于 n B. 小于 n C. 等于1 D. 不能確定.3.與矩陣不相似的矩陣是( ). A. B. C. D. 4.設(shè)是矩陣,是非齊次線性方程組所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組,則下列結(jié)論正確的是(
3、 ).(A) 若僅有零解,則有唯一解;(B) 若有非零解,則有無(wú)窮多解;(C) 若有無(wú)窮多解,則僅有零解;(D) 若有無(wú)窮多解,則有非零解。5.已知與相似,則( ).(A) ,(B) ,(C) ,(D) ;6. 設(shè)向量組線性無(wú)關(guān),向量組線性相關(guān),則( ).(A) 能由線性表示; (B) 能由線性表示;(C) 未必能由線性表示; (D) 以上都不對(duì)。中國(guó)海洋大學(xué) 2008-2009學(xué)年 第2學(xué)期 期末考試試卷 數(shù)學(xué)科學(xué) 學(xué)院 課程試題(A卷)優(yōu)選專(zhuān)業(yè)年級(jí) 學(xué)號(hào) 姓名 授課教師 座號(hào) -裝-訂-線- 共 4 頁(yè) 第 3 頁(yè)7. 已知是方程組的兩個(gè)不同解,是對(duì)應(yīng)齊次方程組 的基礎(chǔ)解系,則的一般解是(
4、 ).(A) ; (B) ;(C) ; (D) .8. 是兩個(gè)不同的階方陣,且與相似,則之間可能不同的是( )(A) 特征值; (B) 行列式值; (C) 秩; (D) 特征向量.三、計(jì)算 (24分)1. 設(shè)可逆,且,當(dāng)時(shí),求.(8分)2. 設(shè)是3維向量空間的一組基,求由基到的過(guò)渡矩陣.(8分)3. 求向量組的秩及其一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組,并用它們表示其余向量.(8分)四、證明題 (10分)若向量組線性相關(guān),線性無(wú)關(guān). 證明:1. 可以由線性表示;2. 不能由線性表示.五、(12分)用正交變換法把二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形,并求的特征值和特征向量、寫(xiě)出正交矩陣和對(duì)角矩陣. 數(shù)學(xué)科學(xué) 學(xué)院 課程試題(A卷)
5、共4頁(yè) 第 4 頁(yè)六、(12分)對(duì)于 n元線性方程組 1. 證明:n階系數(shù)矩陣的行列式.2. 當(dāng)取何值時(shí),線性方程組有唯一解,并利用(1)的結(jié)果求解的第一個(gè)分量.3. 當(dāng)取何值時(shí),線性方程組有無(wú)窮多解,并求解.一、 填空 (18分)1. 0; 2. 8 ; 3.10; 4. ; 5. ; 6. 3二、選擇題1.C; 2.A; 3.D; 4.D; 5.A; 6.B; 7.B; 8.D三、計(jì)算 (22分)1. 解:由,得,于是。而,用求逆矩陣的公式或者初等行變換法,得。2. 解.設(shè)由到的過(guò)渡矩陣是,到的過(guò)渡矩陣是,到的過(guò)渡矩陣是,而,所以;,即.由基到的過(guò)渡矩陣.3. 解記 ,則是的列向量組的一個(gè)
6、極大線性無(wú)關(guān)組,也為的列向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組,且 .故秩,為向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組,且.四、(10分)若向量組線性相關(guān),線性無(wú)關(guān). 證明:1) 可以由線性表示;2)不能由線性表示.答案 證明:(1)由線性無(wú)關(guān)知線性無(wú)關(guān);又線性相關(guān),故可以由線性表示(2)可用反證法,利用1)結(jié)果推出矛盾。五、(12分)二次型的矩陣,所以得的特征值為和(二重)。對(duì)于,由,即, 得的特征向量,所有特征向量為是不等于零的數(shù);將單位化得。對(duì)于,由,即,得該方程組的基礎(chǔ)解系為.對(duì)應(yīng)的所有特征向量為不同時(shí)為零;用施密特正交化方法,將先正交化得,再將單位化得.六、解:(1). 利用數(shù)學(xué)歸納法,得1. ,2. 假設(shè)時(shí)成立,證明時(shí)成立. 行列式按
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