線性代數(shù)44709

1、中國(guó)海洋大學(xué) 2010學(xué)年春季學(xué)期 期末考試試卷 數(shù)學(xué)科學(xué) 學(xué)院 線性代數(shù) 課程試題(B卷)優(yōu)選專(zhuān)業(yè)年級(jí) 學(xué)號(hào) 姓名 授課教師 座號(hào) -裝-訂-線- 共4頁(yè) 第 1 頁(yè)題號(hào)一二三四五六總分得分符號(hào)說(shuō)明： 表示矩陣的秩，表示矩陣的伴隨矩陣，表示階單位矩陣，表示矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣，是的代數(shù)余子式.一、填空（18分）1. 設(shè), 則=_.2. 已知矩陣只有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，則_.3. 如果階方陣的特征值分別為1，2，則 .4.已知均為3階矩陣，矩陣滿足 其中是3階單位矩陣，則 .5.已知4元非齊次線性方程組，又知為的3個(gè)解，且，則的全部解為 .6. 若二次型可經(jīng)正交線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)型，則 .授課教師

2、命題教師或命題負(fù)責(zé)人簽字 年 月 日院系負(fù)責(zé)人簽字年 月 日 數(shù)學(xué)科學(xué) 學(xué)院 課程試題(A卷) 共 4 頁(yè) 第 2 頁(yè)二、選擇題 （24分）1. 設(shè)均為階實(shí)對(duì)稱矩陣，若存在正交矩陣，使成立.現(xiàn)有四個(gè)命題：與合同 ； ； 若為正定矩陣，則也是正定矩陣；與有相同的特征值和特征向量.以上命題正確的是（ ）.A. ； B.； C.； D.2.設(shè) 是矩陣，且其列向量組線性無(wú)關(guān)，是n階方陣，滿足， 則秩 ( ) A. 等于 n B. 小于 n C. 等于1 D. 不能確定.3.與矩陣不相似的矩陣是( ). A. B. C. D. 4.設(shè)是矩陣，是非齊次線性方程組所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組，則下列結(jié)論正確的是（

3、 ）.(A) 若僅有零解，則有唯一解；(B) 若有非零解，則有無(wú)窮多解；(C) 若有無(wú)窮多解，則僅有零解；(D) 若有無(wú)窮多解，則有非零解。5.已知與相似，則（ ）.(A) ，(B) ，(C) ，(D) ；6. 設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，向量組線性相關(guān)，則（ ）.(A) 能由線性表示； (B) 能由線性表示；(C) 未必能由線性表示； (D) 以上都不對(duì)。中國(guó)海洋大學(xué) 2008-2009學(xué)年 第2學(xué)期 期末考試試卷 數(shù)學(xué)科學(xué) 學(xué)院 課程試題(A卷)優(yōu)選專(zhuān)業(yè)年級(jí) 學(xué)號(hào) 姓名 授課教師 座號(hào) -裝-訂-線- 共 4 頁(yè) 第 3 頁(yè)7. 已知是方程組的兩個(gè)不同解，是對(duì)應(yīng)齊次方程組 的基礎(chǔ)解系，則的一般解是（

4、 ）.(A) ; (B) ;(C) ; (D) .8. 是兩個(gè)不同的階方陣，且與相似，則之間可能不同的是（ ）(A) 特征值； (B) 行列式值； (C) 秩； (D) 特征向量.三、計(jì)算 （24分）1. 設(shè)可逆，且，當(dāng)時(shí)，求.（8分）2. 設(shè)是3維向量空間的一組基，求由基到的過(guò)渡矩陣.（8分）3. 求向量組的秩及其一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，并用它們表示其余向量.（8分）四、證明題 （10分）若向量組線性相關(guān)，線性無(wú)關(guān). 證明:1. 可以由線性表示；2. 不能由線性表示.五、（12分）用正交變換法把二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形，并求的特征值和特征向量、寫(xiě)出正交矩陣和對(duì)角矩陣. 數(shù)學(xué)科學(xué) 學(xué)院 課程試題(A卷)

5、共4頁(yè) 第 4 頁(yè)六、（12分）對(duì)于 n元線性方程組 1. 證明：n階系數(shù)矩陣的行列式.2. 當(dāng)取何值時(shí)，線性方程組有唯一解，并利用(1)的結(jié)果求解的第一個(gè)分量.3. 當(dāng)取何值時(shí)，線性方程組有無(wú)窮多解，并求解.一、 填空 （18分）1. 0； 2. 8 ； 3.10； 4. ； 5. ； 6. 3二、選擇題1.C; 2.A; 3.D; 4.D; 5.A; 6.B; 7.B; 8.D三、計(jì)算 （22分）1. 解：由，得，于是。而，用求逆矩陣的公式或者初等行變換法，得。2. 解.設(shè)由到的過(guò)渡矩陣是，到的過(guò)渡矩陣是，到的過(guò)渡矩陣是，而，所以；，即.由基到的過(guò)渡矩陣.3. 解記 ，則是的列向量組的一個(gè)

6、極大線性無(wú)關(guān)組，也為的列向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，且 .故秩，為向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，且.四、（10分）若向量組線性相關(guān)，線性無(wú)關(guān). 證明:1) 可以由線性表示；2）不能由線性表示.答案 證明：（1）由線性無(wú)關(guān)知線性無(wú)關(guān)；又線性相關(guān)，故可以由線性表示（2）可用反證法，利用1）結(jié)果推出矛盾。五、（12分）二次型的矩陣，所以得的特征值為和（二重）。對(duì)于，由，即， 得的特征向量，所有特征向量為是不等于零的數(shù)；將單位化得。對(duì)于，由，即，得該方程組的基礎(chǔ)解系為.對(duì)應(yīng)的所有特征向量為不同時(shí)為零；用施密特正交化方法，將先正交化得，再將單位化得.六、解：(1). 利用數(shù)學(xué)歸納法，得1. ，2. 假設(shè)時(shí)成立，證明時(shí)成立. 行列式按