極限的求法與技巧

1、極限的求法與技巧姓名：印溪學(xué)號(hào)：B09060503函數(shù)極限的計(jì)算是數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)，那么如何根據(jù)表達(dá)式求出極限值呢?對(duì)于這一問(wèn)題只能針對(duì)小同體型采取相應(yīng)的求法。下面概括了常用的若干求極限的方法，更多方法，有賴于人們?nèi)タ偨Y(jié)和發(fā)現(xiàn)。1.運(yùn)用極限的定義例：用極限定義證明:證: 由取 則當(dāng) 時(shí),就有 由函數(shù)極限定義有: 2. 利用等價(jià)無(wú)窮小替換常用的等價(jià)無(wú)窮小關(guān)系：等價(jià)無(wú)窮小代換法 設(shè) 都是同一極限過(guò)程中的無(wú)窮小量，且有： ， 存在，則 也存在，且有= 例:求極限 解: =注： 在利用等價(jià)無(wú)窮小做代換時(shí)，一般只在以乘積形式出現(xiàn)時(shí)可以互換，若以和、差出現(xiàn)時(shí)，不要輕易代換，因?yàn)榇藭r(shí)經(jīng)過(guò)代換后，往往改變了它的

2、無(wú)窮小量之比的“階數(shù)”3利用極限的四則運(yùn)算法則 極限的四則運(yùn)算法則敘述如下：若 (I) (II)(III)若 B0 則： （IV） （c為常數(shù)）上述性質(zhì)對(duì)于 總的說(shuō)來(lái)，就是函數(shù)的和、差、積、商的極限等于函數(shù)極限的和、差、積、商。例：求 解: =4、利用兩個(gè)重要的極限。 但我們經(jīng)常使用的是它們的變形：例：求下列函數(shù)極限 5、利用無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系。 （I）若： 則 (II) 若: 且 f(x)0 則 例: 求下列極限 解: 由 故 由 故 =6. 變量替換例 求極限 . 分析 當(dāng) 時(shí),分子、分母都趨于 ,不能直接應(yīng)用法則,注意到 ,故可作變量替換. 解 原式 = = (令 ,引進(jìn)新的變量,

3、將原來(lái)的關(guān)于 的極限轉(zhuǎn)化為 的極限.) = . ( 型,最高次冪在分母上) 7. 分段函數(shù)的極限例 設(shè) 討論 在點(diǎn) 處的極限是否存在. 分析 所給函數(shù)是分段函數(shù), 是分段點(diǎn), 要知 是否存在,必須從極限存在的充要條件入手. 解 因?yàn)?所以 不存在. 注1 因?yàn)?從 的左邊趨于 ,則 ,故 . 注2 因?yàn)?從 的右邊趨于 ,則 ,故 .8、利用函數(shù)的連續(xù)性（適用于求函數(shù)在連續(xù)點(diǎn)處的極限）。例：求下列函數(shù)的極限 （2） 9、洛必達(dá)法則（適用于未定式極限）定理：若此定理是對(duì)型而言，對(duì)于函數(shù)極限的其它類型，均有類似的法則。注：運(yùn)用洛必達(dá)法則求極限應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：1、 要注意條件，也就是說(shuō)，在沒(méi)有化為時(shí)

4、不可求導(dǎo)。2、 應(yīng)用洛必達(dá)法則，要分別的求分子、分母的導(dǎo)數(shù)，而不是求整個(gè)分式的導(dǎo)數(shù)。3、 要及時(shí)化簡(jiǎn)極限符號(hào)后面的分式，在化簡(jiǎn)以后檢查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，應(yīng)立即停止使用洛必達(dá)法則，否則會(huì)引起錯(cuò)誤。4、當(dāng) 不存在時(shí)，本法則失效，但并不是說(shuō)極限不存在，此時(shí)求極限須用另外方法。例： 求下列函數(shù)的極限 解：令f(x)= , g(x)= l, 由于但從而運(yùn)用洛必達(dá)法則兩次后得到 由 故此例屬于型，由洛必達(dá)法則有：= 注:此法采用洛必達(dá)法則配合使用兩個(gè)重要極限法。解法二: =注：此解法利用“三角和差化積法”配合使用兩個(gè)重要極限法。解法三:注:此解法利用了兩個(gè)重要極限法配合使用無(wú)窮小代換法以及

5、洛必達(dá)法則解法四:注:此解法利用了無(wú)窮小代換法配合使用兩個(gè)重要極限的方法。解法五:注:此解法利用“三角和差化積法”配合使用無(wú)窮小代換法。解法六：令注：此解法利用變量代換法配合使用洛必達(dá)法則。解法七:注:此解法利用了洛必達(dá)法則配合使用兩個(gè)重要極限。10、 利用函數(shù)極限的存在性定理（夾逼準(zhǔn)則） 定理: 設(shè)在的某空心鄰域內(nèi)恒有 g(x)f(x)h(x) 且有: 則極限 存在, 且有 例: 求 (a>1,n>0)解: 當(dāng) x1 時(shí),存在唯一的正整數(shù)k,使 k xk+1于是當(dāng) n>0 時(shí)有: 及 又 當(dāng)x時(shí),k 有 及 =011、用左右極限與極限關(guān)系(適用于分段函數(shù)求分段點(diǎn)處的極限，以

6、及用定義求極限等情形)。定理：函數(shù)極限存在且等于A的充分必要條件是左極限及右極限都存在且都等于A。即有：=A例：設(shè)= 求及由12、約去零因式（此法適用于）例: 求解:原式= = =13、通分法（適用于型）例: 求 解: 原式= 14、利用泰勒公式對(duì)于求某些不定式的極限來(lái)說(shuō)，應(yīng)用泰勒公式比使用洛必達(dá)法則更為方便，下列為常用的展開(kāi)式：1、2、3、4、5、6、上述展開(kāi)式中的符號(hào)都有:例:求解:利用泰勒公式，當(dāng) 有于是 =15、利用拉格朗日中值定理定理:若函數(shù)f滿足如下條件： (I) f 在閉區(qū)間上連續(xù) (II)f 在(a ,b)內(nèi)可導(dǎo)則在(a ,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得此式變形可為: 例: 求 解:

7、令 對(duì)它應(yīng)用中值定理得即: 連續(xù)從而有: 16、求代數(shù)函數(shù)的極限方法(1)有理式的情況，即若:(I)當(dāng)時(shí)，有 (II)當(dāng) 時(shí)有:若 則 若 而 則若,則分別考慮若為的s重根,即: 也為的r重根,即: 可得結(jié)論如下：例：求下列函數(shù)的極限 解: 分子，分母的最高次方相同，故 = 必含有（x-1）之因子，即有1的重根 故有:(2)無(wú)理式的情況。雖然無(wú)理式情況不同于有理式，但求極限方法完全類同，這里就不再一一詳述.在這里我主要舉例說(shuō)明有理化的方法求極限。 例：求解: 17. 利用拆項(xiàng)法技巧例6：分析：由于=原式=在實(shí)際學(xué)習(xí)中很多題是多種方法綜合運(yùn)用求解的。所以求極限時(shí)，首先觀察數(shù)列或函數(shù)的形式選擇適當(dāng)方法，只有方法得當(dāng)，才能準(zhǔn)確、快速、靈