模型設(shè)計(jì)論文

1、企業(yè)模型設(shè)計(jì)論文一、 問(wèn)題提出我們?cè)趯?shí)地考察了某一小城鎮(zhèn)的幾個(gè)主要企業(yè)，從中選出了三個(gè)關(guān)系相對(duì)密切，具有典型性的主要企業(yè)：煤礦、電廠、鐵路。在下面我將從這三個(gè)企業(yè)的調(diào)查數(shù)據(jù)來(lái)研究投入產(chǎn)出問(wèn)題，做出各個(gè)企業(yè)的效益分析。調(diào)查顯示：生產(chǎn)價(jià)值1元的煤，需要消耗0.25元的電費(fèi)和0.35元的運(yùn)輸費(fèi)，生產(chǎn)價(jià)值1元的電，需要消耗0.4元的煤費(fèi)和0.1元的運(yùn)輸費(fèi)，還有0.05元的電費(fèi)。提供1元的鐵路運(yùn)輸服務(wù)，需要消耗0.45元的煤費(fèi)和0.1元的電費(fèi)，還有0.1元的運(yùn)輸費(fèi)。在2月份，煤礦得到20萬(wàn)元的訂單，電廠得到10萬(wàn)元的電量供應(yīng)要求，鐵路得到價(jià)值12萬(wàn)元的運(yùn)輸要求。我們下面要做的就是通過(guò)調(diào)查數(shù)據(jù)做完成如下問(wèn)

2、題并作最后的總體分析：1) 求出直接消耗矩陣和完全消耗矩陣，并作出1月份的投入產(chǎn)出表。2) 若在以后的3個(gè)月內(nèi)企業(yè)外部需求增長(zhǎng)速度是：煤礦，15%；電廠，3%；運(yùn)輸，15%。完成該經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)（三個(gè)廠）4月份的投入產(chǎn)出表。3) 根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)，我們知道該城鎮(zhèn)的這三個(gè)主要企業(yè)在上一年的外部供應(yīng)量分別約：煤礦300萬(wàn)；電力350萬(wàn)；運(yùn)輸200萬(wàn)。當(dāng)年外部需求增長(zhǎng)率約為：煤礦7.2%；電廠8%；運(yùn)輸，7.5%。根據(jù)以上調(diào)查數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)五年內(nèi)各個(gè)企業(yè)總產(chǎn)值的年增長(zhǎng)率。二、 問(wèn)題假設(shè)我們對(duì)以上問(wèn)題作如下假設(shè)：1、 假設(shè)該經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)（三個(gè)廠）不受外部企業(yè)的影響，為封閉模式。2、 得到訂單不包括本經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)內(nèi)部投資及消費(fèi)

3、，為最終使用。3、 投入產(chǎn)出平衡：總投入=總產(chǎn)出。4、 各部門的投入產(chǎn)出系數(shù)不變，并只研究經(jīng)常性的產(chǎn)品流量。5、 投入產(chǎn)出分析中核算產(chǎn)品，是某一單位時(shí)間（通常為一年）相聯(lián)系的流量。6、 各產(chǎn)品部門生產(chǎn)的產(chǎn)品既可作為產(chǎn)品部門需求（中間產(chǎn)品）也可作為最終需求使用，因而不劃分為生產(chǎn)資料和消費(fèi)資料。7、 每個(gè)部門僅生產(chǎn)一種產(chǎn)品，而且部門以產(chǎn)品一一對(duì)應(yīng)。三、 模型建立設(shè)煤礦、電廠和地方鐵路在這個(gè)月生產(chǎn)的總產(chǎn)值分別為x1,x2和x3（萬(wàn)元），那么很容易有： （3.1）方程組（3.1）的每個(gè)等是以價(jià)值形式說(shuō)明了對(duì)一個(gè)企業(yè)：中間產(chǎn)品（作為系統(tǒng)內(nèi)部各企業(yè)的消耗）+最終產(chǎn)品（外部需求）=總產(chǎn)品稱為分配平衡方程組（

4、或產(chǎn)出平衡方程組）。另一方面若設(shè)z1,z2和z3（萬(wàn)元）分別為煤礦、電廠和地方鐵路在這個(gè)月的新創(chuàng)價(jià)值，那么應(yīng)有 （3.2）方程組（3.2）說(shuō)明對(duì)每一企業(yè)：對(duì)系統(tǒng)內(nèi)各企業(yè)產(chǎn)品的消耗+新創(chuàng)價(jià)值=總產(chǎn)值稱為消耗平衡方程組（或投入平衡方程組）。四、 模型分析與求解1， 各需求量和新創(chuàng)價(jià)值將方程組（3.1）寫(xiě)成矩陣形式為：其中，在經(jīng)濟(jì)學(xué)上分別稱之為直接消耗矩陣，產(chǎn)出向量和最終需求向量；A中的元素aij稱之為直接消耗系數(shù)。上述方程組又可寫(xiě)為 (4.1)通過(guò)化簡(jiǎn)我們可以得到 （4.2）其中I時(shí)單位矩陣（I-A）成為列昂惕夫（Leontief）矩陣，成為列昂惕夫逆矩陣（或關(guān)聯(lián)系數(shù)矩陣）。（關(guān)于列昂惕夫逆矩陣我

5、們將在附表中作簡(jiǎn)單的介紹）我們對(duì)方程組（3.1）求解，利用計(jì)算機(jī)我們很容易求出：就是說(shuō)在該月，煤礦、電廠和地方鐵路的總產(chǎn)值分別為：45.7832萬(wàn)元，26.1584萬(wàn)元和34.0444萬(wàn)元。由于得到了該系統(tǒng)各個(gè)企業(yè)的總產(chǎn)值（產(chǎn)出向量），我們就可以利用直接消耗系數(shù)矩陣A進(jìn)行計(jì)算不難理解，上式右端矩陣的每一行給出了每一個(gè)企業(yè)分別用于企業(yè)內(nèi)部和其他企業(yè)的消耗（中間產(chǎn)品）。進(jìn)而利用公式（3.2）容易求出各個(gè)企業(yè)新創(chuàng)造的價(jià)值（單位：萬(wàn)元）2， 投入產(chǎn)出表我們將上述計(jì)算結(jié)果列成下表。該表稱為投入產(chǎn)出表，當(dāng)然這里的形式十分簡(jiǎn)化。一般來(lái)說(shuō)，在對(duì)一個(gè)國(guó)家或區(qū)域的經(jīng)濟(jì)用投入產(chǎn)出法進(jìn)行分析和研究時(shí)，首先就是根據(jù)統(tǒng)計(jì)

6、數(shù)字制定投入產(chǎn)出表，進(jìn)而計(jì)算出有關(guān)的技術(shù)系數(shù)（例如直接消耗系數(shù)）。對(duì)這些系數(shù)的分析，可以了解經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和各部門之間的數(shù)量關(guān)系；還可以建立上述的反映分配平衡和消耗平衡關(guān)系的代數(shù)方程組，通過(guò)求解方程組來(lái)獲知最終需求的變動(dòng)對(duì)各部門生產(chǎn)的影響。表4-1 1月份投入產(chǎn)出表 （萬(wàn)元）中間使用最終使用總產(chǎn)出煤炭電廠運(yùn)輸中間投入煤炭010.463215.320020.000045.7832電廠11.44601.30803.404410.000026.1584運(yùn)輸16.02402.61603.404412.000034.0444增加值勞動(dòng)報(bào)酬  純 收 入小 計(jì)18.313211.767

7、211.9156總投入45.783226.158434.0444  3， 完全消耗在某個(gè)企業(yè)生產(chǎn)或提供服務(wù)時(shí)，對(duì)任何一個(gè)產(chǎn)品的直接消耗事實(shí)上還蘊(yùn)涵著其它產(chǎn)品的間接消耗。例如地方鐵路在運(yùn)輸時(shí)直接消耗了煤，但他還通過(guò)消耗電而間接消耗了煤，因?yàn)殡姷纳a(chǎn)需要消耗煤。這樣就有了完全消耗系數(shù)的概念。完全消耗系數(shù)是指某企業(yè)生產(chǎn)單位產(chǎn)值的產(chǎn)品而對(duì)其他某一企業(yè)產(chǎn)品的總消耗值?，F(xiàn)在設(shè)煤礦、電廠和地方鐵路單位產(chǎn)值對(duì)煤、電和鐵路的總消耗值（即完全消耗系數(shù)）分別為bij ，i,j=1，2，3；那么不難理解 （4-3）記成為完全消耗矩陣。這樣式（4.3）就可以寫(xiě)成矩陣形式 (4.4)由此可得： (4.

8、5)于是由（I-A）易得：以上矩陣稱在經(jīng)濟(jì)產(chǎn)出分析中通常稱為關(guān)聯(lián)系數(shù)矩陣。從而可以得到：與直接消耗系數(shù)矩陣A一樣，完全消耗系數(shù)矩陣B反映了煤礦、電廠和地方鐵路在生產(chǎn)需求上的關(guān)系，但后者從完全需求的角度揭示了他們?cè)诟顚哟紊系南嗷ヒ蕾囮P(guān)系。這意味著如果改成真要擴(kuò)大美的生產(chǎn)而每月增加產(chǎn)值1萬(wàn)元，那就不僅需要相應(yīng)增產(chǎn)0.25萬(wàn)元的電和0.35萬(wàn)元的運(yùn)輸能力作為直接消耗，事實(shí)上而且還建有約0.46萬(wàn)元的煤，0.2萬(wàn)元的電和0.27萬(wàn)元的運(yùn)輸能力作為間接消耗。這對(duì)經(jīng)濟(jì)部門的計(jì)劃決策者而言是極其重要的數(shù)量依據(jù)。在微末企業(yè)或部門擴(kuò)大生產(chǎn)而進(jìn)行投資等問(wèn)題上，需要充分考慮其他部門的相應(yīng)能力。4， 月經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)根據(jù)

9、問(wèn)題中給出的增長(zhǎng)率，可知在4月份，煤、電和鐵路運(yùn)輸?shù)耐獠啃枨螅ㄗ罱K產(chǎn)出）量分別為： 得出：（萬(wàn)元）因此利用分配平衡方程組（4.2），得到4月份的產(chǎn)出向量（萬(wàn)元）即屆時(shí)這三個(gè)企業(yè)的總產(chǎn)值將分別達(dá)到65.5212萬(wàn)元，33.7945萬(wàn)元和47.9658萬(wàn)元。由于得到了該系統(tǒng)4月份各個(gè)企業(yè)的總產(chǎn)值（產(chǎn)出向量），我們就可以利用直接消耗系數(shù)矩陣A進(jìn)行計(jì)算進(jìn)而利用公式（3.2）容易求出各個(gè)企業(yè)新創(chuàng)造的價(jià)值（單位：萬(wàn)元）在根據(jù)以上數(shù)據(jù)我們可得到4月的投入產(chǎn)出表：表4-2 4月份投入產(chǎn)出表 （萬(wàn)元）中間使用最終使用總產(chǎn)出煤炭電廠運(yùn)輸中間投入煤炭013.517821.584630.417565.5212電廠16

10、.38031.68974.796610.927333.7945運(yùn)輸22.93243.37954.796616.859147.9658增加值勞動(dòng)報(bào)酬  純 收 入小 計(jì)26.208515.207516.7880總投入65.521233.794547.9658  以1月份的產(chǎn)出向量為基數(shù)表4-1，4月份煤、電和運(yùn)輸總產(chǎn)出分別增長(zhǎng)：43.1%、29.2%和40.1%。而平均每月遞增：12.7%、8.9%和11.9%。在這里我們應(yīng)該注意，盡管典禮的尾部需求增長(zhǎng)率很小，但是它的總產(chǎn)值增長(zhǎng)率仍必須有相當(dāng)?shù)乃?，才能保證其他企業(yè)為不需求的較高增長(zhǎng)率。5， 年增長(zhǎng)率預(yù)測(cè)

11、首先我們可以根據(jù)上一年的外部供應(yīng)量（最終需求量），容易的求出上一年的總產(chǎn)出量：（萬(wàn)元）根據(jù)我們調(diào)查的這三個(gè)企業(yè)的上一年的數(shù)據(jù)。我們可以預(yù)測(cè)，假設(shè)5年內(nèi)城鎮(zhèn)需求水平增長(zhǎng)率不變，這是我們有 得出該城鎮(zhèn)第五年的預(yù)測(cè)（計(jì)劃）總需求量：（萬(wàn)元）因此利用分配平衡方程組（4.2），得到第五年的計(jì)劃總產(chǎn)出產(chǎn)出向量（萬(wàn)元）通過(guò)以上預(yù)測(cè)數(shù)字我們可以得出下表（總產(chǎn)出的五年計(jì)劃）表4-3 總產(chǎn)出的五年計(jì)劃 （萬(wàn)元）預(yù)測(cè)基期數(shù)字發(fā)展速度第五年預(yù)測(cè)（計(jì)劃）數(shù)字年平均發(fā)展速度五年發(fā)展速度年平均增長(zhǎng)率煤炭842.495107.49143.517.491209.04電廠655.685107.78145.467.78953.73

12、8運(yùn)輸622.695107.53143.767.53895.157在表中我們可以看出我們以上一年的總產(chǎn)出向量為基數(shù)，通過(guò)建立的模型預(yù)測(cè)出五年后的總產(chǎn)出向量，從而我們可以得出五年的發(fā)展速度以及年平均增長(zhǎng)率。從表中可以直接得出這個(gè)城鎮(zhèn)未來(lái)五年內(nèi)各個(gè)企業(yè)的平均年增長(zhǎng)率：煤礦：7.49%電力：7.78%運(yùn)輸：7.53%從中我們可以預(yù)測(cè)在未來(lái)五年內(nèi)這個(gè)城鎮(zhèn)的三個(gè)主要企業(yè)的發(fā)展速度都見(jiàn)超過(guò)7個(gè)百分點(diǎn)。也就是說(shuō)在未來(lái)五年內(nèi)這三個(gè)企業(yè)的將穩(wěn)步擴(kuò)大投入產(chǎn)出，從中也反映出了該城鎮(zhèn)居民需求量的增長(zhǎng)水平。五、 模型驗(yàn)證由以上建立的模型，顯然，如果要作為一個(gè)合理的模型，一個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的分配平衡方程組（3.1）對(duì)于任何非負(fù)

13、的外部需求向量都應(yīng)該有相應(yīng)的非負(fù)的總產(chǎn)值。這就意味著（4.2）對(duì)于任何非負(fù)的Y都必須有且僅有唯一的非負(fù)解X。此時(shí)稱這個(gè)列昂惕夫模型是可行的。即列昂惕夫尼矩陣存在并且非負(fù)（矩陣非負(fù)是指其中每個(gè)元素都非負(fù)）下面我們做一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)判斷，來(lái)驗(yàn)證列昂惕夫模型的可行性。假設(shè)命題 對(duì)于非負(fù)矩陣A，若存在一個(gè)非負(fù)向量X,使得向量是正的（即其中每一個(gè)分量都是正的），那么存在且非負(fù)。利用這個(gè)假設(shè)可以得到一個(gè)跟為簡(jiǎn)單常用的數(shù)學(xué)判斷：推論 對(duì)于非負(fù)矩陣A，若其每行的元素的和均小以1或每列的元素的和均小以1，那么存在且非負(fù)。這就是說(shuō)，在應(yīng)用投入產(chǎn)出理論時(shí)，只要得到的直接消耗矩陣的各行（或列）元素的和都小以1，則相應(yīng)的

14、列昂惕夫模型就是可行的。我們?cè)谟懻撋鲜龀擎?zhèn)三個(gè)主要企業(yè)發(fā)展問(wèn)題中，A顯然滿足這一條件，所以我們假設(shè)的模型是可行的。六、 Matlab程序的實(shí)現(xiàn)及圖形分析1，第一部分程序及運(yùn)行結(jié)果根據(jù)已知數(shù)據(jù)我們可以求出第一部分?jǐn)?shù)據(jù)，A=0 0.4 0.45; 0.25 0.05 0.1;0.35 0.1 0.1;E=eye(size(A);C1=E-A;C=inv(C1)B=C-EY=20;10;12;X=C*Ya1=X(1,1);a2=X(2,1);a3=X(3,1);D=A*a1,0,0;0,a2,0;0,0,a3b1=sum(D(1:3,1);b2=sum(D(1:3,2);b3=sum(D(1:3,3

15、);H=b1;b2;b3;Z=X-H其中計(jì)算出的C為列昂惕夫矩陣C = 1.4566 0.6981 0.8059 0.4482 1.2799 0.36630.6162 0.4137 1.4652計(jì)算出的B為完全消耗矩陣B = 0.4566 0.6981 0.8059 0.4482 0.2799 0.36630.6162 0.4137 0.4652計(jì)算出的X為一月份總產(chǎn)出向量X = 45.7832 26.1582 34.0444計(jì)算出的D為一月份中間投入向量D = 0 10.4633 15.3200 11.4458 1.3079 3.4044 16.0241 2.6158 3.4044計(jì)算出的Z

16、為一月份新創(chuàng)造的價(jià)值向量Z = 18.3133 11.7712 11.91552，第二部分程序及運(yùn)行結(jié)果根據(jù)我們已知的數(shù)據(jù)，級(jí)1-4月份最終需求的遞增速度，我們可以求出2，3，4月份各企業(yè)的需求，并作出1-4月份三個(gè)企業(yè)需求量的變化曲線：n=4;for i=1:n a(i)=20*(1+0.15).(i-1); b(i)=10*(1+0.03).(i-1); c(i)=12*(1+0.12).(i-1); x(i)=i;endabcx;plot(a,'LineWidth',3);hold onplot(b,'LineWidth',2);plot(c);plot(

17、x,a,'o');plot(x,b,'o');plot(x,c,'o');hold offtitle('1-4月份三個(gè)企業(yè)總需求的發(fā)展曲線');xlabel('月份');ylabel('總需求(單位:萬(wàn)元)');grida = 20.0000 23.0000 26.4500 30.4175b = 10.0000 10.3000 10.6090 10.9273c = 12.0000 13.4400 15.0528 16.8591在下圖中，最上一條曲線（最粗的一條）為煤礦1-4月份需求量的變化曲線； 最

18、下一條曲線為電廠1-4月份需求量的變化曲線； 中間一條曲線為運(yùn)輸1-4月份需求量的變化曲線；3，第三部分程序及運(yùn)行結(jié)果m=6;for j=1:m d(j)=842.495*(1+0.0749).(j-1); e(j)=655.685*(1+0.0778).(j-1); f(j)=622.695*(1+0.0753).(j-1); y(j)=j-1;enddefy;plot(y,d,'LineWidth',3);hold onplot(y,e,'LineWidth',2);plot(y,f);plot(y,d,'o');plot(y,e,'

19、o');plot(y,f,'o');hold offtitle('預(yù)測(cè)五年內(nèi)三個(gè)企業(yè)總產(chǎn)出量的變化曲線');xlabel('未來(lái)第n年');ylabel('總產(chǎn)出量(單位:萬(wàn)元)');gridd = 1.0e+003 * 0.8425 0.9056 0.9734 1.0463 1.1247 1.2089e = 655.6850 706.6973 761.6783 820.9369 884.8058 953.6437f = 622.6950 669.5839 720.0036 774.2199 832.5186 895.20

20、73在下圖中，最上一條曲線（最粗的一條）為煤礦未來(lái)五年總產(chǎn)量的預(yù)測(cè)變化曲線； 中間一條曲線為電廠未來(lái)五年總產(chǎn)量的預(yù)測(cè)變化曲線； 最下一條曲線為運(yùn)輸未來(lái)五年總產(chǎn)量的預(yù)測(cè)變化曲線；在以上第二部分和第三部分程序我們還可以利用以下程序?qū)D中曲線做注釋：text(x,y,txt);text(x,y,txt,sec);gtext(txt);其中g(shù)text是用戶可以自己指定注釋位置的函數(shù)。附錄一 需求量變化的直接效應(yīng)和間接效應(yīng)雖然，部門關(guān)聯(lián)系數(shù)已經(jīng)給除了需要量變化的總效應(yīng)，但是，由市把這些效應(yīng)分解成彼此獨(dú)立的不同部分會(huì)是很有用的，通常把這些部分稱之為一階效應(yīng)，二階效應(yīng)，三階效應(yīng)等等?，F(xiàn)舉一例說(shuō)明之。假設(shè)煤炭

21、產(chǎn)品的最終需求增加了1各單位值，而其他部門的最終需求不變。因?yàn)橐粋€(gè)部門的產(chǎn)出是該部門所對(duì)應(yīng)行中各項(xiàng)數(shù)據(jù)之和，于是，對(duì)煤炭產(chǎn)品的最終需求增加1各單位值必然直接引起煤炭總產(chǎn)出增加1各單位值以滿足這個(gè)需求。然而，表5.3第（1）列表明，當(dāng)煤炭產(chǎn)出增加1各單位值時(shí)還需要向煤炭部門再投入：（a）0.25單位的電力以及（b）0.35單位的運(yùn)輸要求。如果不考慮最終需要增加所直接造成的那部分產(chǎn)出量的增加，則用投入系數(shù)A左乘最終需求向量Y就可得到各部門產(chǎn)出的增加量，即 （1）式中是產(chǎn)出的一階變化量，其計(jì)算式為： （2）如后面的附錄2中所述，這個(gè)結(jié)果是用矩陣A各行去依次左乘最終需求向量Y，然后分別對(duì)各項(xiàng)乘積求和而

22、的到的一階效應(yīng)又導(dǎo)致二階效應(yīng)和更高階的效應(yīng)，因?yàn)楫a(chǎn)出的一階增量要求更多的投入量以生產(chǎn)它們，而這些投入又反過(guò)來(lái)要求增加更多的產(chǎn)出，并如此無(wú)限繼續(xù)下去二階效應(yīng)按前述方法，將投入系數(shù)矩陣左乘一階效應(yīng)向量可以得到二階效應(yīng)式中 是一階效應(yīng)向量 是二階效應(yīng)向量代入全部數(shù)字有： （3）三階效應(yīng)按照與前面相同的方法，用投入系數(shù)矩陣乘以二階效應(yīng)向量可以求出三階效應(yīng) （4）式中 是二階效應(yīng)向量 是三階效應(yīng)向量我們以此類推因此，各階效應(yīng)的總和是：記作于是對(duì)于足夠大的n求得產(chǎn)出向量,與用關(guān)聯(lián)系數(shù)矩陣左乘最終需求向量的結(jié)果是一致的。從而我們找到了另一個(gè)對(duì)矩陣（I-A）求你的方法。即當(dāng)n足夠大時(shí)故有這種矩陣求逆方法稱之為

23、冪級(jí)數(shù)展開(kāi)附錄二 關(guān)于投入產(chǎn)出表的一些定義附表1 價(jià)值形投入產(chǎn)出表中間使用最終使用總產(chǎn)出n中間投入x11x12x1nY1X1x21x22x2nY2X2nxn1xn2xnnYnXn增加值勞動(dòng)報(bào)酬V1V2Vn  純 收 入M1M2Mn小 計(jì)Z1Z2Zn總投入X1X2Xn  表示第j部門在生產(chǎn)過(guò)程中消耗第i部門場(chǎng)品的數(shù)量根據(jù)表3.1我們做如下定義：（1）.為中間產(chǎn)品矩陣。（2）.為勞動(dòng)新創(chuàng)造價(jià)值（勞動(dòng)）（3）.為最終產(chǎn)品向量。（4）.為總投入向量，根據(jù)投入產(chǎn)出表的基本思想：總投入=總產(chǎn)出 ，得出X也為總產(chǎn)出向量。（5）.為直接消耗系數(shù)（投入系數(shù)），它是指在生產(chǎn)

24、經(jīng)營(yíng)過(guò)程中第j產(chǎn)品(或產(chǎn)業(yè))部門的單位總產(chǎn)出所直接消耗的第i產(chǎn)品部門貨物或服務(wù)的價(jià)值量。將各產(chǎn)品(或產(chǎn)業(yè))部門的直接消耗系數(shù)用表的形式表現(xiàn)就是直接消耗系數(shù)表或直接消耗系數(shù)矩陣，通常用字母A表示（6）.為完全消耗系數(shù)矩陣，它指第j產(chǎn)品部門每提供一個(gè)單位最終使用時(shí)，對(duì)第i產(chǎn)品部門貨物或服務(wù)的直接消耗和間接消耗之和。其中，（I為單位矩陣）。（7）.為關(guān)聯(lián)系數(shù)矩陣。附錄三 投入產(chǎn)出分析所需的基本數(shù)學(xué)知識(shí)1， 矩陣，向量，矩陣的等值獎(jiǎng)若干個(gè)數(shù)據(jù)按一定的順序排列成長(zhǎng)方形就得到矩陣。一般將m行n列的矩陣寫(xiě)成的矩陣。特別是，（行，列個(gè)數(shù)相等）的矩陣稱為方陣；矩陣或矩陣，既由一列數(shù)或以行數(shù)組成的矩陣，分別稱為m

25、維列向量或n維行向量。像一用圖表說(shuō)明過(guò)的那樣，m維列向量和n維行向量可分別用m維和n維空間上的一點(diǎn)來(lái)表示。另外，構(gòu)成矩陣的每一個(gè)數(shù)字稱為元素。一般用符號(hào)來(lái)表示i行j列的元素。對(duì)于行和烈的個(gè)數(shù)分別相等的兩個(gè)矩陣A,B來(lái)說(shuō)，若兩矩陣對(duì)應(yīng)元素分別相等，則稱矩陣A和B相等。例如，當(dāng)A和B是以下的矩陣時(shí)，對(duì)于全部元素來(lái)說(shuō)，若則稱A和B相等。2， 矩陣的和與差；標(biāo)量與矩陣的積（商）若矩陣A和B都是矩陣，則矩陣的和（或差）一般可用來(lái)表示，新矩陣的各個(gè)元素等于A,B兩矩陣相對(duì)應(yīng)的各元素之和（或差）。拿1中所舉的例來(lái)說(shuō)。另外，矩陣A的任意倍，如R倍（或1/R倍），等于將A矩陣的全部元素都擴(kuò)大R倍（或1/R倍），

26、例如，3， 向量與向量的積（內(nèi)積）在n維向量后面乘以n維向量，其結(jié)果為一個(gè)標(biāo)量，它等于兩個(gè)向量各對(duì)應(yīng)元素乘積之和，稱為內(nèi)積。根據(jù)內(nèi)積定義可知，維數(shù)不同的向量不能相乘。通常為了便于區(qū)別行向量和列向量，用（ ）表示行向量，用 符號(hào)表示列向量。4， 矩陣與矩陣的乘積若要在B矩陣之前乘上一個(gè)A矩陣，A矩陣列的個(gè)數(shù)必須等于B矩陣行的個(gè)數(shù)。矩陣A和矩陣B之和AB成為矩陣（即n行R列的矩陣），新矩陣個(gè)元素是這樣計(jì)算的。例如因此，若列向量后面乘上行向量，則成為矩陣。就是說(shuō)，在矩陣乘法運(yùn)算中一般不滿足交換率（）5， 單位矩陣，矩陣的轉(zhuǎn)置，逆矩陣對(duì)角線（從左上到右下）的元素均為1，而非對(duì)角線的元素均為零的方陣稱為

27、單位矩陣，通常用符號(hào)I表示。無(wú)論在單位矩陣之前，還是在單位矩陣之后乘以一個(gè)與單位矩陣階數(shù)相同的方陣（如A）,其乘積仍然為A矩陣，這就是單位矩陣的性質(zhì)（讀者可根據(jù)乘法原則檢驗(yàn)一下）。即無(wú)論是在方陣A的后面乘上與它階數(shù)相同的方陣（如B），還是在B的后面乘上A，它們的積都是單位矩陣時(shí)，稱方陣B為A的逆矩陣，記作。即這里，。當(dāng)然是與A的階數(shù)相同的方陣。所以我們可知逆矩陣與標(biāo)量的倒數(shù)相對(duì)應(yīng)。通常，將矩陣A的第1行變?yōu)榈?列，把第2行變?yōu)榈?列的結(jié)果，即將所有的行都變?yōu)榱兄笮纬傻木仃嚪Q為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記為。根據(jù)轉(zhuǎn)置矩陣定義可知，若將A的轉(zhuǎn)置矩陣在一次轉(zhuǎn)置，就會(huì)變?yōu)樵瓉?lái)的A矩陣。但位居真的轉(zhuǎn)置矩陣仍是單位

28、矩陣。（讀者可以自己檢驗(yàn)一下）。簡(jiǎn)單的及逆矩陣的求法如下。6， 行列式，主子式在矩陣和矩陣的逆矩陣公式中出現(xiàn)的一般被稱為矩陣A和矩陣B的行列式，通常寫(xiě)成，它們是對(duì)應(yīng)于方陣A和B的實(shí)數(shù)。2階（階數(shù)是指行或列的個(gè)數(shù)）和3階行列式的值分別用表示。在計(jì)算3階以上的行列式時(shí)，如下式所示的那樣，我們可以利用將n階行列式按j階展開(kāi)的公式。即n階行列式等于第j列各元素分別乘以，后的合計(jì)。一般稱的系數(shù)為ij的余子式，它等于在原來(lái)行列式中除去第i行和第j列后形成的行列式再乘上。例如，前邊給出的3階行列式B按第1列展開(kāi)如下。因此，無(wú)論是多少級(jí)的行列式，我們都可以根據(jù)行列式的展開(kāi)公式，逐步用階數(shù)越來(lái)越少的余子式表示，直接計(jì)算出行列式的值（顯然，一階行列式就是該元素本身，如）。分別刪除掉行列式的某一行和某一列就可得到一個(gè)的行列式，一般稱它為原行列式的（n-1）階子式。刪除兩行和兩列后形成的行列式為（n-2）階子式。特別是，刪除的行號(hào)和列號(hào)相同的子式稱作主子式。例如，。7， 順序矩陣設(shè)P為適當(dāng)改變單位矩陣各向量排列順序的矩陣，則當(dāng)在矩陣A左側(cè)乘上P時(shí)，A矩陣的行的排列就會(huì)改變。例如，這種變換矩陣稱為順序矩陣。當(dāng)在矩陣A的右側(cè)乘以該順序矩陣時(shí)，則會(huì)改變A矩陣列向量的排列。例如。一般來(lái)說(shuō)，由于，