浙教八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)注意點(diǎn)例題

1、八年級(jí)上冊(cè)第二章特殊三角形2.1圖形軸對(duì)稱軸對(duì)稱圖形 1. 如果一個(gè)圖形沿某一條直線折疊，直線兩旁部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線就是它對(duì)稱軸毛2. 有軸對(duì)稱圖形對(duì)稱軸不止一條，如圓就有無數(shù)條對(duì)稱軸3. 折疊后重合點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn)。軸對(duì)稱 有一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸，折疊后重合點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn)兩個(gè)圖形關(guān)于直線對(duì)稱也叫做軸對(duì)稱圖形軸對(duì)稱性質(zhì)關(guān)于某直線對(duì)稱兩個(gè)圖形是全等形。 如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段垂直平分線。 軸對(duì)稱圖形對(duì)稱軸，是任何一對(duì)對(duì)

2、應(yīng)點(diǎn)所連線段垂直平分線。 如果兩個(gè)圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱。軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形區(qū)別線段垂直平分線 （1）經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段直線，叫做這條線段垂直平分線（2）線段垂直平分線上點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等；反過來，與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等點(diǎn)在這條線段垂直平分線上因此線段垂直平分線可以看成與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等所有點(diǎn)集合2.2 等腰三角形+2.3等腰三角形性質(zhì)定理+2.4等腰三角形判定定理等腰三角形1. 有兩條邊相等三角形是等腰三角形。 2. 在等腰三角形中，相等兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊兩腰所夾角叫做頂角，腰與底邊夾角叫做底角等腰三角形性質(zhì)

3、 性質(zhì)1：等腰三角形兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”）性質(zhì)2：等腰三角形頂角平分線、底邊上中線、底邊上高互相重合（三線合一）特別：（1）等腰三角形是軸對(duì)稱圖形. （2）等腰三角形兩腰上中線、角平分線、高線對(duì)應(yīng)相等.等腰三角形判定定理如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)邊也相等（簡(jiǎn)寫成“等角對(duì)等邊”）特別：（1）有一邊上角平分線、中線、高線互相重合三角形是等腰三角形（2）有兩邊上角平分線對(duì)應(yīng)相等三角形是等腰三角形（3）有兩邊上中線對(duì)應(yīng)相等三角形是等腰三角形（4）有兩邊上高線對(duì)應(yīng)相等三角形是等腰三角形 等邊三角形 三條邊都相等三角形叫做等邊三角形，也叫做正三角形等邊三角形性質(zhì)等邊三角形三

4、個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)內(nèi)角都等于60°等邊三角形判定方法（1）三條邊都相等三角形是等邊三角形；（2）三個(gè)角都相等三角形是等邊三角形；（3）有一個(gè)角是60°等腰三角形是等邊三角形2.5 逆命題和逆定理逆命題和逆定理命題：一般地，對(duì)某一件事情作出正確或不正確判斷句子叫做命題。 1. 命題一般由條件和結(jié)論組成，可以改為“如果”，“那么”形式。 2. 正確命題叫真命題，不正確命題叫假命題。3. 基本事實(shí)：人們?cè)陂L(zhǎng)期反復(fù)實(shí)踐中證明是正確，不需要再加證明命題。4定理：用邏輯方法判斷為正確并作為推理根據(jù)真命題。注意：基本事實(shí)和定理一定是真命題?；ツ婷}：一般來說，在兩個(gè)命題中，如果第一

5、個(gè)命題題設(shè)是第二個(gè)命題結(jié)論，而第一個(gè)命題結(jié)論是第二個(gè)命題題設(shè)，那么這兩個(gè)命題叫互逆命題。如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)就叫做它逆命題?；ツ娑ɡ恚喝绻粋€(gè)定理逆命題也是真命題，那么這兩個(gè)定理叫做互逆定理。其中一個(gè)定理叫做另一個(gè)定理互逆定理。注意：1.逆命題、互逆命題不一定是真命題，但逆定理、互逆定理一定是真命題。 2.所有命題都有逆命題，但不是所有定理都有逆定理。2.6 直角三角形直角三角形有一個(gè)角是直角三角形叫做直角三角形。直角三角性質(zhì) 1.直角三角形兩個(gè)銳角互余. 2. 直角三角形斜邊上中線等于斜邊一半。 3. 在直角三角形中，30°角所對(duì)直角邊等于斜邊一半. 直角三角判定

6、1. 有一個(gè)角是直角三角形是直角三角形 2. 有兩個(gè)角互余三角形是直角三角形3. 補(bǔ)充：如果三角形中一邊上中線等于這條邊一半，那么這個(gè)三角形是一個(gè)直角三角形。2.7 勾股定理 勾股定理定理：一、 知識(shí)結(jié)構(gòu)直角三角形性質(zhì):勾股定理 勾股定理 應(yīng)用:主要用于計(jì)算直角三角形判別方法:若三角形的三邊滿足 則它是一個(gè)直角三角形.勾股定理逆定理如果三角形中兩邊平方和等于第三邊平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形。1、 勾股定理應(yīng)用 勾股定理反映了直角三角形三邊之間關(guān)系，是直角三角形重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用有：（1）已知直角三角形兩邊求第三邊 （2）已知直角三角形一邊與另兩邊關(guān)系。求直角三角形另兩邊 （3）利用

7、勾股定理可以證明線段平方關(guān)系問題2、 如何判定一個(gè)三角形是直角三角形（1） 先確定最大邊（如c）（2） 驗(yàn)證與是否具有相等關(guān)系（3） 若=，則ABC是以C為直角直角三角形；若， 則ABC不是直角三角形。3、 勾股數(shù) 滿足=三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)，如（1）3，4，5； （2）5，12，13； （3）6，8，10；（4）8，15，17； （5）7，24，25 （6）9, 40, 412.8 直角三角形全等判定直角三角形判定方法HL兩Rt三角形一條斜邊與一條直角邊對(duì)應(yīng)相等 則兩三角形全等角平分線性質(zhì)定理逆定理角內(nèi)部，到角兩邊距離相等點(diǎn)，在這個(gè)角平分線上。補(bǔ)充知識(shí)：1、三角形中中位線連接三角形兩邊中點(diǎn)

8、線段叫做三角形中位線。（1）三角形共有三條中位線，并且它們又重新構(gòu)成一個(gè)新三角形。（2）要會(huì)區(qū)別三角形中線與中位線。三角形中位線定理：三角形中位線平行于第三邊，并且等于它一半。三角形中位線定理作用：位置關(guān)系：可以證明兩條直線平行。數(shù)量關(guān)系：可以證明線段倍分關(guān)系。常用結(jié)論：任一個(gè)三角形都有三條中位線，由此有：結(jié)論1：三條中位線組成一個(gè)三角形，其周長(zhǎng)為原三角形周長(zhǎng)一半。結(jié)論2：三條中位線將原三角形分割成四個(gè)全等三角形。結(jié)論3：三條中位線將原三角形劃分出三個(gè)面積相等平行四邊形。結(jié)論4：三角形一條中線和與它相交中位線互相平分。結(jié)論5：三角形中任意兩條中位線夾角與這夾角所對(duì)三角形頂角相等。（3）攝影定理

9、在直角三角形中，斜邊上高線是兩直角邊在斜邊上攝影比例中項(xiàng)，每條直角邊是它們?cè)谛边吷蠑z影和斜邊比例中項(xiàng)ACB=90° CDAB （4）常用關(guān)系式由三角形面積公式可得：ABCD=ACBC三、重點(diǎn)解讀1學(xué)習(xí)特殊三角形，應(yīng)重點(diǎn)分清性質(zhì)與判定區(qū)別，兩者不能混淆。一般而言，根據(jù)邊角關(guān)系判斷一個(gè)圖形形狀通常用是判定，而根據(jù)圖形形狀得到邊角關(guān)系那就是性質(zhì)；2等腰三角形腰是在已知一個(gè)三角形是等腰三角形情況下才給出名稱，即先有等腰三角形，后有腰，因此在判定一個(gè)三角形是等腰三角形時(shí)千萬不能將理由說成是“有兩腰相等三角形是等腰三角形”；3直角三角形斜邊上中線不僅可以用來證明線段之間相等關(guān)系，而且它也是今后研

10、究直角三角形問題較為常用輔助線，熟練掌握可以為解題帶來不少方便；4勾股定理反映是直角三角形兩直角邊和斜邊之間平方關(guān)系，解題時(shí)應(yīng)注意分清哪條是斜邊，哪條是直角邊，不要一看到字母“”就認(rèn)定是斜邊。不要一看到直角三角形兩邊長(zhǎng)為3和4，就認(rèn)為另一邊一定是5；5“HL”是僅適用于判定直角三角形全等特殊方法，只有在已知兩個(gè)三角形均是直角三角形前提下，此方法才有效，當(dāng)然，以前學(xué)過“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”等判定一般三角形全等方法對(duì)于直角三角形全等判定同樣有效。切記! 兩邊及其中一邊對(duì)角對(duì)應(yīng)相等兩個(gè)三角形不一定全等，也就是邊邊角，沒有邊邊角定理。因此在證明全等時(shí)千萬不要這樣做。本章解題時(shí)用

11、到主要數(shù)學(xué)思想方法： 分類討論思想（特別是在語言模糊等腰三角形中）（留意后面例題） 方程思想：主要用在折疊之后產(chǎn)生直角三角形時(shí)，運(yùn)用勾股定理列方程；還有就是在等腰三角形中求角度，求邊長(zhǎng)（留意后面例題） 等面積法四、典型例題（一）、角平分線+平行線1、在ABC中，三內(nèi)角互不相等，BO平分ABC，CO平分ACB。過O點(diǎn)作EF, 使EFBC。（1）圖中有幾個(gè)等腰三角形？（2）猜測(cè)線段BE、CF、EF有什么數(shù)量關(guān)系，并說明理由。 2、在ABC中，ABC=ACB，BO平分ABC， CO平分ACB,過O點(diǎn)作EF，使EFBC，且EBO=30°。若BE=5，ABC周長(zhǎng)為_。（二）、角平分線+垂線3、

12、如圖：AB=AC，1=2，AECD于F交BC于點(diǎn)E，求證：AB=CE。4、如圖，ABC是等腰直角三角形，其中A=90°，BD平分ABC交AC于點(diǎn)D，CEBD交BD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，求證：BD=2CE (三)、直角三角形一個(gè)銳角平分線+斜邊上高線F5、如圖，在ABC中，ACB=90°，AE平分CAB，CDAB于D，它們交于點(diǎn)F，CFE是等腰三角形嗎？試說明理由.（四）、等邊三角形幾個(gè)基本圖形：6、等邊三角形ABC中，BD=CE，連接AD、BE交于點(diǎn)F。AFE=_。7、如圖點(diǎn)A、C、E在同一直線上，ABC和CDE都是等邊三角形，M、N分別是AD、BE中點(diǎn)。說明： CMN是等邊三角形

13、。8、已知等邊ABC和點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P到ABC三邊AB、AC、BC距離分別是h1，h2，h3，ABC高為h，若點(diǎn)P在一邊BC上（圖1），此時(shí)h3=0，可得結(jié)論h1+h2+h3=h，請(qǐng)你探索以下問題：當(dāng)點(diǎn)P在ABC內(nèi)（圖2）和點(diǎn)P在ABC外（圖3）這兩種情況時(shí)，h1、h2、h3與h之間有怎樣關(guān)系，請(qǐng)寫出你猜想，并簡(jiǎn)要說明理由（五）、等腰直角三角形幾個(gè)基本應(yīng)用9、在ABC中，ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且ADMN于D，BEM于E。(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1位置時(shí)，說明ADCCEB理由；(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(shí)，說明DE=ADBE理由；ABCDEMN圖2A

14、BCDMN圖3(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3位置時(shí)，試問DE、 AD、BE有怎樣等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，并說明理由.ABCDEMN圖110、如圖，在直角ABC中，C=90，AC=BC，D，E分別在BC和AC上，且BD=CE，M是AB中點(diǎn)。求證：MDE是等腰直角三角形。（六）、勾股定理、勾股定理逆定理、勾股定理與方程11、觀察下面表格中所給出三個(gè)數(shù)a，b，c，其中a，b，c為正整數(shù)，且a<b<c （1）：試找出他們共同點(diǎn)，并證明你結(jié)論,3,4,53+4=55,12,135+12=137,24,257+24=259,40,419+40=41.21,b,c21+b=c （2）：當(dāng)

15、a=21時(shí)，求b，c值 12、如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)PA、PB、PC，以BP為邊作PBQ=60°，且BQ=BP，連結(jié)CQ。（1）觀察并猜想AP與CQ之間大小關(guān)系，并證明你結(jié)論（2）若PA：PB：PC=3：4：5，連結(jié)PQ，試判斷PQC形狀，并說明理由ABCD13、等腰三角形底邊上高為8，周長(zhǎng)為32，求這個(gè)三角形面積分析：對(duì)于沒有圖形大題（指需要過程題目），最好自己畫圖，與人方便，與己方便。解：設(shè)這個(gè)等腰三角形為ABC，高為AD，設(shè)BD為x，則AB為（16-x）， 由勾股定理得：x2+82=(16-x)2即x2+64=256-32x+x2 x=6 SABC=BCAD/2

16、=2 6 8/2=4814、矩形紙片ABCD邊AB=10cm,BC=6cm,E為BC上一點(diǎn)，將矩形紙片沿AE折疊，點(diǎn)B恰好落在DC邊上點(diǎn)G處，求BE長(zhǎng)。EGCDBA（七）、需要分類討論（主要是由語言模糊造成要討論）有一個(gè)角等于50°，另一個(gè)角等于_三角形是等腰三角形。有一個(gè)直角三角形兩條直角邊為3，4，則第三條邊長(zhǎng)為_ 如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上中線BD將這個(gè)等腰三角形周長(zhǎng)分成15和6兩部分，求這個(gè)三角形腰長(zhǎng)及底邊長(zhǎng)。（八）作圖題如圖，求作一點(diǎn)P，使PC=PD,并且使點(diǎn)P到AOB兩邊距離相等，并說明你理由作圖題基本要求：結(jié)論不能丟。格式：什么什么即為所求?！究键c(diǎn)精練

17、】一、基礎(chǔ)訓(xùn)練1如圖1，在ABC中，AB=AC，A=50°，BD為ABC平分線，則BDC=_° （1） （2） （3）2如圖2，是由9個(gè)等邊三角形拼成六邊形，若已知中間小等邊三角形邊長(zhǎng)是a，則六邊形周長(zhǎng)是_3如圖3，一個(gè)頂角為40°等腰三角形紙片，剪去頂角后，得到一個(gè)四邊形，則1+2=_度4如圖4，在等腰直角ABC中，B=90°，將ABC繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°后得到ABC，則BAC等于_ （4） （5） 5如圖5，沿AC方向開山修渠，為了加快施工進(jìn)度，要在小山另一邊同時(shí)施工從AC上一點(diǎn)B取ABD=135°，BD=520米，D=4

18、5°，如果要使A、C、E成一直線，那么開挖點(diǎn)E離D距離約為_米（精確到1米）6等腰ABC底邊BC=8cm，腰長(zhǎng)AB=5cm，一動(dòng)點(diǎn)P在底邊上從點(diǎn)B開始向點(diǎn)C以0.25cm/秒速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到PA與腰垂直位置時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間應(yīng)為_7如圖7，在ABC中，AB=AC，BAD=20°，且AE=AD，則CDE=_ （7） （8） （9）8如圖8，在等腰三角形ABC中，AB=AC，A=44°，CDAB于D，則DCB等于（ ）A44° B68° C46° D22°9如圖9，要在離地面5m處引拉線固定電線桿，使拉線和地面成60°角，若考慮既要符合設(shè)計(jì)要求，又要節(jié)省材料，則在庫存L1=5.2m，L2=6.2m，L3=7.8m，L4=10m四種備用拉線材料中，拉線AC最好選用（ ）AL1 BL2 CL3 DL410如圖10，在ABC中，AB=AC，D為AC邊上一點(diǎn)，且BD=BC=AD則A等于（ ）A30° B36° C45° D72