正弦定理教案全

1、1.1.1 正弦定理教學(xué)要求：通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會運用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題.教學(xué)重點：正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用.教學(xué)難點：已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數(shù).教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1.在任意三角形行中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關(guān)系？是否可以把邊、角關(guān)系準確量化？2.在中，角A、B、C的正弦對邊分別是，你能發(fā)現(xiàn)它們之間有什么關(guān)系嗎？ 結(jié)論： 。二、講授新課：探究一：在直角三角形中，你能發(fā)現(xiàn)三邊和三邊所對角的正弦的關(guān)系嗎？直角三角形中的正弦定理： sinA = sinB = sinC=1 即

2、c=.探究二：能否推廣到斜三角形？ （先研究銳角三角形，再探究鈍角三角形）當(dāng)ABC是銳角三角形時，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)三角函數(shù)的定義，有,則. 同理，（思考如何作高？），從而.探究三：你能用其他方法證明嗎？1 證明一：（等積法）在任意斜ABC當(dāng)中SABC=. 兩邊同除以即得：=.2證明二：（外接圓法）如圖所示，AD，同理 =2R，2R.3證明三：（向量法）過A作單位向量垂直于，由+=邊同乘以單位向量 得.正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即=2R理解定理1公式的變形：2.正弦定理的基本作用為：已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如；已知三角形的任意兩邊與其中一

3、邊的對角可以求其他角的正弦值，如。一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形.3.利用正弦定理解三角形使,經(jīng)常用到:三、 教學(xué)例題：例1 已知在.分析已知條件 討論如何利用邊角關(guān)系 示范格式 小結(jié)：已知兩角一邊解：由得 由得 評述：此類問題結(jié)果為唯一解，學(xué)生較易掌握，如果已知兩角和兩角所夾的邊，也是先利用內(nèi)角和180求出第三角，再利用正弦定理.例2 解：，練習(xí)：P4 1.2題例3在解：【變式】 四、 小結(jié)：五、課后作業(yè)1在ABC中，,則k為( 2A )A2R BR C4R D(R為ABC外接圓半徑)2 在中，已知角，則角A的值是A. B. C. D.或3、在ABC中, 4

4、、在中，若，則A= 。5、在ABC中，,則三角形ABC的面積為 5、在中，已知，解三角形。六、心得反思1.1.1正弦定理學(xué)案學(xué)習(xí)目標：發(fā)現(xiàn)并掌握正弦定理及其證明方法；會用正弦定理解決三角形中的簡單問題。預(yù)習(xí)自測1. 正弦定理的數(shù)學(xué)表達式 2. 一般地,把三角形的三個角A,B,C和它們的對邊 叫做三角形的元素.已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做 .3利用正弦定理可以解決兩類三角形的問題(1) (2) 問題引入：1、在任意三角形行中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關(guān)系.是否可以把邊、角關(guān)系準確量化？ 2、在中，角A、B、C的正弦對邊分別是，你能發(fā)現(xiàn)它們之間有什么關(guān)系嗎？ 結(jié)論： 。二 合作探究

5、：1、探究一：在直角三角形中，你能發(fā)現(xiàn)三邊和三邊所對角的正弦的關(guān)系嗎？2、探究二：能否推廣到斜三角形？ （先研究銳角三角形，再探究鈍角三角形）3、探究三：你能用其他方法證明嗎？4、正弦定理的變形： 5、正弦定理的應(yīng)用（能解決哪類問題）：三例題講解例1 已知在例2 例3在【變式】思考：通過上面的問題，你對使用正弦定理有什么想法？四 課堂練習(xí)：必修5課本P4 T1、2五 課后作業(yè)：1在ABC中，,則k為( )A2R BR C4R D(R為ABC外接圓半徑)2ABC中，sin2A = sin2B +sin2C，則ABC為( )A直角三角形 B等腰直角三角形C等邊三角形 D等腰三角形3在中，已知角，則

6、角A的值是 A. B. C. D.或4、在中，若，則A= 。5、在中，已知，解三角形。六 心得反思112解三角形的進一步討論教學(xué)目標掌握在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形；三角形各種類型的判定方法。教學(xué)重點在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形；三角形各種類型的判定方法。教學(xué)過程.課題導(dǎo)入創(chuàng)設(shè)情景思考：在ABC中，已知，解三角形。（由學(xué)生閱讀課本第9頁解答過程）從此題的分析我們發(fā)現(xiàn)，在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，在某些條件下會出現(xiàn)無解的情形。下面進一步來研究這種情形下解三角形的問題。.講授新課探索研究探究一在A

7、BC中，已知，討論三角形解的情況分析：先由可進一步求出B；則 ，從而1當(dāng)A為鈍角或直角時，必須才能有且只有一解；否則無解。2當(dāng)A為銳角時，如果，那么只有一解；3.如果，那么可以分下面三種情況來討論：（1）若，則有兩解；（2）若，則只有一解；（3）若，則無解。（以上解答過程詳見課本第910頁）評述：注意在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，只有當(dāng)A為銳角且時，有兩解；其它情況時則只有一解或無解。探究二 你能畫出圖來表示上面各種情形下的三角形的解嗎？三例題講解例1.根據(jù)下列條件，判斷解三角形的情況(1) a20，b28，A120.無解(2)a28，b20，A45；一解(3)c54，b39，

8、C115；一解(4) b11，a20，B30；兩解 隨堂練習(xí)1（1）在ABC中，已知，試判斷此三角形的解的情況。（2）在ABC中，若，則符合題意的b的值有_個。（3）在ABC中，如果利用正弦定理解三角形有兩解，求x的取值范圍。（答案：（1）有兩解；（2）0；（3）例2.在中,已知判斷的形狀解：令，由正弦定理，得，代入已知條件，得，即又，所以，從而為正三角形說明：（1）判斷三角形的形狀特征，必須深入研究邊與邊的大小關(guān)系：是否兩邊相等？是否三邊相等？還要研究角與角的大小關(guān)系：是否兩角相等？是否三角相等？有無直角？有無鈍角？（2）此類問題常用正弦定理（或?qū)W(xué)習(xí)的余弦定理）進行代換、轉(zhuǎn)化、化簡、運算，

9、揭示出邊與邊，或角與角的關(guān)系，或求出角的大小，從而作出正確的判斷隨堂練習(xí)21.ABC中， ，則ABC為（ A ） A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等邊三角形 D.等腰三角形2. 已知ABC滿足條件，判斷ABC的類型。 答案： ABC是等腰或直角三角形.課時小結(jié)（1）在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形；（2）三角形各種類型的判定方法；.課后作業(yè)1.根據(jù)下列條件，判斷解三角形的情況2在中，a=15,b=10,A=60，則= A B C D 3已知a,b,c分別是ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊，若a=1,b=, A+C=2B,則sinC= .六心得反思

10、1.1.2 解三角形的進一步討論學(xué)案【學(xué)習(xí)目標】1.掌握已知三角形的兩邊及其中一邊的對角時對解個數(shù)的討論； 2.三角形各種形狀的判斷方法；【學(xué)習(xí)重難點】1.已知三角形的兩邊及其中一邊的對角時對解個數(shù)的討論；三角形各種形狀的判斷方法。一、情景問題：我們在解三角形時可以會出現(xiàn)一些我們預(yù)想不到的結(jié)果，現(xiàn)在請大家思考下面問題： 在中，已知，解三角形。二、探索研究：探究一在ABC中，已知，討論三角形解的情況結(jié)論：探究二 你能畫出圖來表示上面各種情形下的三角形的解嗎？三例題講解例1.根據(jù)下列條件，判斷解三角形的情況(1) a20，b28，A120.無解(2)a28，b20，A45；一解(3)c54，b39，C115；一解(4) b11，a20，B30；兩解變式練習(xí)1（1）在ABC中，已知，試判斷此三角形的解的情況。（2）在ABC中，若，則符合題意的b的值有_個。（3）在ABC中，如果利用正弦定理解三角形有兩解，求x的取值范圍。例2.在中,已知判斷的形狀 變式練習(xí)21.ABC中， ，則ABC為（ ） A.直角三角形 B.等腰