滬教版九年級上冊 244 平面向量的運(yùn)算 講義

1、主 題平面向量的運(yùn)算教學(xué)內(nèi)容學(xué)習(xí)目標(biāo)：1理解實(shí)數(shù)與向量相乘的意義，會(huì)畫實(shí)數(shù)與向量相乘所得的向量，會(huì)進(jìn)行向量的線性運(yùn)算和化簡算式；2知道向量加法、實(shí)數(shù)與向量相乘的有關(guān)運(yùn)算律；3知道平行向量定理，知道向量的線性表示和向量的分解的意義互動(dòng)：（此環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)時(shí)間在4050分鐘）回顧上次課的預(yù)習(xí)思考內(nèi)容向量的加法和減法的運(yùn)算方法是什么？怎么表示的？平行四邊形法則是怎么表示的？（任取兩個(gè)向量，作圖說明下）參考答案：向量的加法和減法的運(yùn)算方法是三角形法則；如圖所示：任取兩個(gè)向量作圖思考：我們知道，那么 ？ ？即幾個(gè)相同的向量相加，是否能像幾個(gè)相同的數(shù)相加一樣呢？以上面問題作圖說明一下。參考答案：；如圖：作出，此

2、時(shí)，又由于與方向相同且故， 同理：類似的也可以有：注意：根據(jù)實(shí)數(shù)與向量相乘的意義畫圖后與學(xué)生共同歸納，,體會(huì)實(shí)數(shù)與向量相乘的幾何表示，初步感受到實(shí)數(shù)與向量相乘的積是一個(gè)與原向量平行的向量知識點(diǎn)歸納：一般的，設(shè)為正整數(shù)，為向量，我們用表示個(gè)相加；用表示個(gè)相加又當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，表示與同向且長度為的向量.在此基礎(chǔ)上規(guī)定向量的另一種新的運(yùn)算，即實(shí)數(shù)與向量相乘的運(yùn)算：為實(shí)數(shù)，為向量；如果，那么的長度；的方向：當(dāng)時(shí)，與同方向；當(dāng)時(shí)，與反方向。如果或，那么；根據(jù)實(shí)數(shù)與向量相乘的意義：練習(xí)： 如圖，矩形ABCD中，E、M、F、N 是AB、DC 的三等分點(diǎn)，設(shè)試用向量表示向量.參考答案：；思考：如圖，已知非零向量

3、，求作（1） （2）（3） （4） （5） （6）。觀察、比較（1）與（2），（3）與（4），（5）與（6）的結(jié)果，你有什么發(fā)現(xiàn)？參考答案：圖略；討論：通過前面的發(fā)現(xiàn)，討論總結(jié)一下實(shí)數(shù)與向量相乘運(yùn)算的一般規(guī)律。注意引導(dǎo)實(shí)數(shù)變成一般字母的規(guī)律；同時(shí)注意讓學(xué)生體會(huì)實(shí)數(shù)為負(fù)數(shù)同樣成立的舉例驗(yàn)證設(shè)為實(shí)數(shù)，為向量，則（1）實(shí)數(shù)與向量相乘的結(jié)合律：；（2）實(shí)數(shù)與向量相乘對于實(shí)數(shù)加法的分配律：；（3）實(shí)數(shù)與向量相乘對于向量加法的分配律：練習(xí)：1下面給出四個(gè)命題中不正確的是（ ）A對于實(shí)數(shù)和向量恒有：B對于實(shí)數(shù)、和向量，恒有C對于實(shí)數(shù)和向量，若，則有D對于實(shí)數(shù)和向量，若，則2計(jì)算：.3如果向量滿足關(guān)系式，試用

4、向量表示向量.參考答案：1C 3思考：若是非零向量，那么向量與有什么位置關(guān)系？答案：若m為正數(shù)，則 與同向，； 若m為負(fù)數(shù)，則 與反向，思考：如圖，在等腰梯形ABCD中，EF是梯形中位線，AD=2，BC=4，設(shè),能將向量用向量表示出來嗎？參考答案： 且結(jié)合圖形可知與同向，與反向；又 備注：老師適當(dāng)給出規(guī)范過程供學(xué)生模仿；討論：已知是非零向量，如果，那么能用表示出來嗎？答案：如果是非零向量，那么由可知 與同向或反向；設(shè)，得；當(dāng) 與同向時(shí)，；當(dāng) 與反向時(shí)， 如果，那么；平行向量定理：如果向量與非零向量平行，那么存在唯一實(shí)數(shù)m，使.練習(xí)：1設(shè)非零向量，滿足，判斷向量，是否平行？2已知，其中是非零向量

5、，判斷向量，是否平行？參考答案：1平行； 2平行精選例題：（此環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)時(shí)間在2030分鐘）例題1：我們把長度為1的向量叫做單位向量，通常用符號表示，模長表示為：，則下列說法錯(cuò)誤的是（ ）A. 有無數(shù)個(gè) B. 不同的單位向量，它們的方向不同C. 設(shè)是非零向量，且，則 D. 設(shè)是非零向量，且，則參考答案：C 備注：重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)單位向量的概念；試一試：若向量與單位向量的方向相同，且，則_（用表示）參考答案：例題2： 如圖，已知兩個(gè)不平行的向量先化簡，再求作：（不要求寫作法，但要指出所作圖中表示結(jié)論的向量）解：如圖：則為所求備注：老師注意總結(jié)引出以下概念：1向量加法、減法、實(shí)數(shù)與向量相乘以及它們的混合運(yùn)算

6、叫做向量的線性運(yùn)算.2如果是兩個(gè)不平行的向量，、是實(shí)數(shù)，那么叫做線性組合.例題3：如圖，梯形中， /，、是、的中點(diǎn)，若，那么用、的線性組合表示向量 解： 備注：注意已知向量和所求向量的方向，要求學(xué)生習(xí)慣性在圖中標(biāo)出。試一試：在中，點(diǎn) 在邊 上，, , ，那 參考答案：討論：如圖，給定兩個(gè)不平行的向量，對于平面內(nèi)任意一個(gè)向量，都可以確定它關(guān)于的分解式嗎？ 參考答案：如圖，在平面內(nèi)取一點(diǎn)O，作 ，；再作直線OA、OB . 設(shè)點(diǎn)C 不在直線 OA和OB上，過點(diǎn)C分別作直線 OA、OB的平行線，由于向量不平行，可知所作兩直線分別與直線OB、OA 有唯一的交點(diǎn)，記為N、M. 作向量、. 因?yàn)?，所以存在?/p>

7、一的實(shí)數(shù)，使 ； 因?yàn)?，所以存在唯一的?shí)數(shù)，使 . 而四邊形OMCN是平行四邊形，因此即 如果點(diǎn) C 在直線OA或 OB上，那么或 .這時(shí)得 或所以關(guān)于、 的分解式總是確定的.備注：平面上任意一個(gè)向量都可以在給定的兩個(gè)不平行向量的方向上分解.用上面的方法畫圖，可以作出這個(gè)向量在給定的兩個(gè)不平行向量的方向上的分向量.試一試：如圖，平行四邊形中，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，設(shè)，（1）分別求向量、關(guān)于、的分解式；（2）作出向量分別在、方向上的分向量（畫出圖形，寫出結(jié)論，不要求寫作法）答案：(1) ； ； ； (2)作圖略 課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練：此環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)時(shí)間在30分鐘左右（20分鐘練習(xí)10分鐘互動(dòng)講解）。1已知兩

8、個(gè)不平行的向量，化簡并求作：參考答案： ；圖略2如圖，在正方形網(wǎng)格中，每一個(gè)小正方形的邊長都是1,已知向量和的起點(diǎn)、終點(diǎn)都是小正方形的頂點(diǎn).請完成下列問題：（1）設(shè)，判斷向量是否平行，說明理由；（2）在正方形網(wǎng)格中畫出向量：，并寫出的模（不需寫出做法，只要寫出哪個(gè)向量是所求向量）解：(1) (2) 圖略 .3如圖，已知，點(diǎn)A、G、B、C分別在和上， （1）求的值； （2）若，用向量與表示解：（1） (2) ， =4如圖，在中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，. （1）求的長； （2）設(shè)，求向量（用向量、表示）. 解：（1）點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，又公共 ，即， （2）點(diǎn)是邊的中點(diǎn)， 課堂回顧：（此環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)時(shí)間在510分鐘內(nèi)）讓學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)的重點(diǎn)知識，以學(xué)生自我總結(jié)為主，學(xué)科教師引導(dǎo)為輔，為本次課做一個(gè)總結(jié)回顧課后作業(yè)：【鞏固練習(xí)】1如圖，在中，點(diǎn)是重心， 設(shè)向量，那么向量 （結(jié)果用、表示）2已知是的重心，設(shè)，那么= （用、表示）3如圖，梯形中， ，請用 向量表示向量 4在中，點(diǎn) 在邊 上，, , ，則 =5如圖，點(diǎn)E是平行四邊形ABCD邊BC上一點(diǎn)，且，點(diǎn)F是邊CD的中點(diǎn)，AE與BF交于點(diǎn)O