河南省專升本真題高數(shù)及答案

1、2007年河南省普通高等學(xué)校選拔優(yōu)秀專科生進(jìn)入本科階段學(xué)習(xí)考試高等數(shù)學(xué)試卷題號(hào)一二三四五六總分核分人分?jǐn)?shù)一. 單項(xiàng)選擇題（每題2分，共計(jì)50分）在每小題的備選答案中選出一個(gè)正確答案，并將其代碼寫(xiě)在題干后面的括號(hào)內(nèi).不選、錯(cuò)選或多選者，該題無(wú)分.1.集合的所有子集共有 （ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2.函數(shù)的定義域?yàn)?（ ） A. B. C. D. 3. 當(dāng)時(shí)，與不等價(jià)的無(wú)窮小量是 ( ) A. B. C. D. 4.當(dāng) 是函數(shù) 的 （ ） A.連續(xù)點(diǎn) B. 可去間斷點(diǎn) C.跳躍間斷點(diǎn) D. 第二類間斷點(diǎn)5. 設(shè) 在處可導(dǎo)，且，則的值為（ ） A.-1 B. -2 C. -3

2、D.-4 6.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有，則在區(qū)間內(nèi)，圖形 （ ）A單調(diào)遞減且為凸的 B單調(diào)遞增且為凸的 C單調(diào)遞減且為凹的 D單調(diào)遞增且為凹的7.曲線的拐點(diǎn)是 （ ） A. B. C. D. 8.曲線的水平漸近線是 （ ）A. B. C. D. 9. （ ） A. 0 B. C.2 D. 1 10.若函數(shù)是的原函數(shù)，則下列等式正確的是 （ ）A. B. C. D. 11. （ ）A. B. C. D. 12. 設(shè)，則 （ ） A.-3 B.-1 C.1 D.3 13. 下列廣義積分收斂的是 （ ） A. B. C. D. 14. 對(duì)不定積分，下列計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤是 （ ） A. B. C. D. 15.

3、函數(shù)在區(qū)間的平均值為 （ ）A. B. C. 8 D. 416. 過(guò)軸及點(diǎn)的平面方程為 （ ） A. B. C. D. 17. 雙曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面方程為 （ ）A. B. C. D. 18. （ ） A. B. C.0 D. 極限不存在19.若，則 （ ） A. B. 1 C. D. 020. 方程 所確定的隱函數(shù)為，則 （ ）A. B. C. D. 21. 設(shè)為拋物線上從到 的一段弧，則 （ ） A.-1 B.0 C.1 D.222.下列正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的是 （ ）A. B. C. D. 23.冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為 （ ） A. B. C. D.24. 微分特解形式應(yīng)設(shè)為 （ ） A. B.

4、 C. D. 25.設(shè)函數(shù)是微分方程的解，且，則在處（ ）A.取極小值 B. 取極大值 C.不取極值 D. 取最大值得分評(píng)卷人二、填空題（每題2分，共30分）26.設(shè)，則_.27._. 28.若函數(shù)在處連續(xù)，則_. 29.已知曲線上點(diǎn)處的切線平行于直線，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 _30.設(shè)，則 _31.設(shè)，則_32. 若函數(shù)在處取得極值2，則_，_33. _34_ 35.向量的模_36. 已知平面：與平面：垂直，則_37.設(shè)，則_ 38.已知，交換積分次序后，則_39.若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)的和為 _40.微分方程的通解為_(kāi) 得分評(píng)卷人三、判斷題（每小題2分，共10分）你認(rèn)為正確的在題后括號(hào)內(nèi)劃“”，反之劃“

5、×”.41.若數(shù)列單調(diào)，則必收斂. ( )42.若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，則一定不存在，使. ( )43. ( )44. ( )45.函數(shù)在點(diǎn)處可微是在處連續(xù)的充分條件.( )得分評(píng)卷人四、計(jì)算題（每小題5分，共40分）46求.47.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).48.求不定積分.49.計(jì)算定積分 .50.設(shè)，且為可微函數(shù)，求.51計(jì)算，其中為圓環(huán)區(qū)域：.52將展開(kāi)為的冪級(jí)數(shù)，并寫(xiě)出收斂區(qū)間. 53求微分方程的通解.得分評(píng)卷人五、應(yīng)用題（每題7分，共計(jì)14分）54. 某工廠欲建造一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方題污水處理池，設(shè)計(jì)該池容積為V立方米，底面造價(jià)每平方米元，側(cè)面造價(jià)每平方米元,問(wèn)長(zhǎng)、寬、高各為多少米

6、時(shí)，才能使污水處理池的造價(jià)最低？ 55. 設(shè)平面圖形D由曲線,直線及y軸所圍成.求：（1）平面圖形D的面積;(2) 平面圖形D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積. 得分評(píng)卷人六、證明題（6分）56.若在上連續(xù)，則存在兩個(gè)常數(shù)與，對(duì)于滿足的任意兩點(diǎn)，證明恒有.2007年河南省普通高等學(xué)校選拔優(yōu)秀?？粕M(jìn)入本科階段學(xué)習(xí)考試(答案)一1解：子集個(gè)數(shù)。2 解： 。3解：根據(jù)常用等價(jià)關(guān)系知，只有與比較不是等價(jià)的。應(yīng)選A。4 解： ；。5 解： 。6 解：?jiǎn)握{(diào)增加；凸的。應(yīng)選B。7 解：，應(yīng)選A 。8 解： 。9 解： 。10 解：根據(jù)不定積分與原函數(shù)的關(guān)系知，。應(yīng)選B。11 解：。12 解： 。13解：由

7、積分和積分的收斂性知，收斂，應(yīng)選C 。14解：分析結(jié)果，就能知道選擇C。15解： 。16解：經(jīng)過(guò)軸的平面可設(shè)為，把點(diǎn)代入得應(yīng)選C。也可以把點(diǎn)代入所給的方程驗(yàn)證，且不含。17解：把中換成得，應(yīng)選A。18解： 。19解： 。20 解：令，應(yīng)選A。21解：從0變到1， 。22 解：對(duì)級(jí)數(shù)、需要利用積分判別法，超出大綱范圍。級(jí)數(shù)有結(jié)論：當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散。級(jí)數(shù)、與級(jí)數(shù)利用比較判別法的極限形式來(lái)確定-發(fā)散的，應(yīng)選C。23解： 令，級(jí)數(shù)化為收斂區(qū)間為，即。24解： 不是特征方程的特征根，特解應(yīng)設(shè)為。應(yīng)選B。25解：有 。二26解： 。27解：構(gòu)造級(jí)數(shù)，利用比值判別法知它是收斂的，根據(jù)收斂級(jí)數(shù)的必要條件。

8、28解：。29解：。30解： 。31解： 。32解：；。33解：。34解：。35解：。36解：。37解：。38解： ，所以次序交換后為。39解：，而，所以。40解：有二重特征根1，故通解為（為任意常數(shù)）。三41解：如數(shù)列單調(diào)，但發(fā)散，應(yīng)為×。42解：如在滿足上述條件，但存在，使得，應(yīng)為×。43解：第二步不滿足或，是錯(cuò)誤的，事實(shí)上。應(yīng)為×。44解：因，由定積分保序性知：，應(yīng)為。45解：在點(diǎn)處可微可得在點(diǎn)處連續(xù)，反之不成立，應(yīng)為應(yīng)為。四46解： 。47解： 兩邊取自然對(duì)數(shù)得 ，-（1分） 兩邊對(duì)求導(dǎo)得：，-（3分）即，-（4分）故 。-（5分）48解： -（1分） -

9、（3分）-（4分）。-（5分）49解：因，所以-（2分）-（4分）。-（5分）50解：令 ，有，利用微分的不變性得 -（3分） -（4分） -（5分）51解：積分區(qū)域如圖07-1所示：的邊界、用極坐標(biāo)表示分別為，；故積分區(qū)域在極坐標(biāo)系系下為圖07-1，-（2分）故-（3分） -（4分） 。-（5分）52解： 因；-（2分）。所以；。-（3分）故-（4分） 。-（5分）53解：方程可化為，這是一階線性非齊次微分方程，-（1分）它對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為，-（2分）設(shè)原方程有通解，代入方程得，即 ，-（3分）所以 ，-（4分）故所求方程的通解為。-（5分）五54解：設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬分別為 ，則高為，又設(shè)造價(jià)為，-（1分）由題意可得 ；-（3分）而 在定義域內(nèi)都有意義.令得唯一駐點(diǎn)，-（5分）由題可知造價(jià)一定在內(nèi)部存在最小值，故就是使造價(jià)最小的取值，此時(shí)高為。所以，排污無(wú)蓋的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為、時(shí)，工程造價(jià)最低。-（7分）圖07-255解：平面圖形D如圖07-2所示：-（1分）取為積分變量，且（1）平面圖形D的面積為-（3分）。-（4分）（2）平面圖形D繞軸旋轉(zhuǎn)一