高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(九)立體幾何

1、高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（九）立體幾何第一部分立體幾何初步一、柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征1、棱柱定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些 面所圍成的幾何體。分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱柱 ABCDE A'B'C'D'E'或用對(duì)角線的端點(diǎn)字母，如五棱柱 AD'幾何特征：兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平 行于底面的截面是與底面全等的多邊形。2、棱錐定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角

2、形，由這些面所圍成的幾何體分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱錐p a'b'c'd'e'幾何特征：側(cè)面、對(duì)角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，具相似比等于頂點(diǎn)到截面距離 與高的比的平方。3、棱臺(tái)定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)等表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱臺(tái) p a'b'c'd'e'幾何特征：上下底面是相似的平行多邊形側(cè)面是梯形側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)4、圓柱定義：

3、以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)，其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征：底面是全等的圓；母線與軸平行；軸與底面圓的半徑垂直；側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)矩 形。5、圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征：底面是一個(gè)圓；母線交于圓錐的頂點(diǎn)；側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形。6、圓臺(tái)定義：用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分幾何特征：上下底面是兩個(gè)圓；側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn)；側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)弓形。7、球體定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體幾何特征：球的截面是圓；球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。二、空間幾何體的三視圖

4、定義三視圖：正視圖（光線從幾何體的前面向后面正投影）；側(cè)視圖（從左向右）、俯視圖（從上向下）注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長(zhǎng)度;俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長(zhǎng)度和寬度;側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度。三、空間幾何體的直觀圖一一斜二測(cè)畫(huà)法斜二測(cè)畫(huà)法特點(diǎn)：原來(lái)與x軸平行的線段仍然與x平行且長(zhǎng)度不變；原來(lái)與y軸平行的線段仍然與y平行，長(zhǎng)度為原來(lái)的一半。四、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積1.幾何體的表面積為幾何體各個(gè)面的面積的和。2.特殊幾何體表面積公式（c為底面周長(zhǎng),h為高，h為斜高，l為母線）S直棱柱側(cè)面積ch

5、S圓柱側(cè)2 rhS正棱錐側(cè)面積1ch2S圓錐側(cè)面積rlS正棱臺(tái)側(cè)面積126 cm臺(tái)側(cè)面積(rR) lS圓柱表錐表S圓臺(tái)表3.柱體、r2 rl RlR2錐體、臺(tái)體的體積公式V柱 Sh,V圓柱 Sh r2h1Sh 3V圓錐1 r2h34 1(s's,s S)hV圓臺(tái) 1(S SS S)h12_ _2-(rrR R )h3上武獷人 v上.減你小大I卜腐塘小4324.球體的表面積和體積公式：Vs = R ； S求面=4 R3第二部分 空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系一、平面1.平面的表示：通常用希臘字母a、屋丫表示，如平面a （通常寫(xiě)在一個(gè)銳角內(nèi)）；也可以用兩個(gè) 相對(duì)頂點(diǎn)的字母來(lái)表示，如平面 BG

6、2.點(diǎn)與平面的關(guān)系: 點(diǎn)與直線的關(guān)系： 直線與平面的關(guān)系點(diǎn)A在平面內(nèi)， 點(diǎn)A的直線l上, :直線l在平面a記作A ;點(diǎn)A不在平面 內(nèi)，記作A記作：AC l ； 點(diǎn)A在直線l外，記作A l ； 內(nèi)，記作l a ;直線l不在平面a內(nèi),記作l3 .公理1:如果一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線是所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。（即直線在平面內(nèi)，或者平面經(jīng)過(guò)直線）應(yīng)用：檢驗(yàn)桌面是否平； 判斷直線是否在平面內(nèi)用符號(hào)語(yǔ)言表示公理1：ACBCACBC4 .公理2:經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。推論：一直線和直線外一點(diǎn)確定一平面；兩相交直線確定一平面；兩平行直線確定一平面。它是證明平面重合的依據(jù)

7、a、 BC a、 CC a。公理2及其推論作用：它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù)符號(hào)表示為：A、B、C三點(diǎn)不共線=> 有且只有一個(gè)平面a,使 ACA B C ,強(qiáng)調(diào)：公理12c亍具有傳遞性，在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適用5 .公理3:如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線 符號(hào)：平面a和B相交，交線是a,記作a AB = a。符號(hào)語(yǔ)言：P AI B AI B l,P l公理3的作用：它是判定兩個(gè)平面相交的方法。它說(shuō)明兩個(gè)平面的交線與兩個(gè)平面公共點(diǎn)之間的關(guān)系：交線必過(guò)公共點(diǎn)它可以判斷點(diǎn)在直線上，即證若干個(gè)點(diǎn)共線的重要依據(jù)。6 .公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行

8、符號(hào)表示為：設(shè)a、b、c是三條直線a / b異面直線定義： 異面直線性質(zhì)： 異面直線判定： 異面直線所成角公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)7 .空間直線與直線之間的位置關(guān)系不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線既不平行，又不相交。過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線:直線a、b是異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn) O,分別引直線a' / a, b' / b,則把直線a'和b'所成的銳角（或直角）叫做異面直線 a和b所成的角。兩條異面直線所成角的范圍 是（0。，90。,若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說(shuō)這 兩條異面直線互相垂直。說(shuō)明：（1）判定

9、空間直線是異面直線方法：根據(jù)異面直線的定義；異面直線的判定定理（2）在異面直線所成角定義中，空間一點(diǎn) O是任取的，而和點(diǎn)O的位置無(wú)關(guān)。（3）求異面直線所成角步驟：A、利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某 個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選在特殊的位置上。 B、證明作出的角即為所求角 G利用三角形來(lái)求角8 .等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補(bǔ)。9 .空間直線與平面之間的位置關(guān)系直線在平面內(nèi)：有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn).直線不在平面內(nèi) 便交一一只有一個(gè)公共點(diǎn).（或直線在平面外），平行一一沒(méi)有公共點(diǎn).三種位置關(guān)系的符號(hào)表小：a a a Ca = A a /a10 .

10、平面與平面之間的位置關(guān)系： 平行：沒(méi)有公共點(diǎn)；a / B 相交：有一條公共直線。a n B =二、空間中的平行問(wèn)題1.直線與平面平行的判定及其性質(zhì)線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行，則該直線與此平面平行 簡(jiǎn)記為：線線平行線面平行符號(hào)表示：a C a b 匚 B 卜a /aa / b線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交,那么這條直線和交線平行。線面平行線線平行符號(hào)表示：a / aa 二 B=>a/ ba C B = b -作用：利用該定理可解決直線間的平行問(wèn)題2、平面與平面平行的判定及其性質(zhì)兩個(gè)平面平行的判定定理（1）如果一

11、個(gè)平面內(nèi)的 兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行（線面平行一面面平行）.3_7符號(hào)表示：二 /a 仁 B Z£-/b 匚0 a nb = P => B/a（2）女少在兩個(gè)平面內(nèi)，勺夕兩組相交直線對(duì)應(yīng)平幺力,渦B布兩仰畢利印帚 B / a 力1線平行一面面平成，b / a /（3f標(biāo)直丁同一條直線而兩個(gè)平面平行,3.兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理a/paAy= a=>a/ b（1）如果兩個(gè)平面平行，那么某一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行。（面面平行一線面平行） （2）如果兩個(gè)平行平面都和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。（面加平行一線線平行） 符號(hào)表示：B C =

12、= b -作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行三、空間中的垂直問(wèn)題1 .線線、面面、線面垂直的定義兩條異面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直。線面垂直：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線垂直，就說(shuō)這條直線和這個(gè)平面垂直。平面和平面垂直：如果兩個(gè)平面相交，所成的二面角（從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形） 是直二面角（平面角是直角），就說(shuō)這兩個(gè)平面垂直。2 .垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理線面垂直判定定理和性質(zhì)定理判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直這個(gè)平面。性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平

13、行。面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另一個(gè)平面。四、空間角問(wèn)題1 .直線與直線所成的角兩平行直線所成的角：規(guī)定為0。兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角。兩條異面直線所成的角：過(guò)空間任意一點(diǎn) O,分別作與兩條異面直線a, b平行的直線a, b ,形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角。2 .直線和平面所成的角平面的平行線與平面所成的角：規(guī)定為 0。 平面的垂線與平面所成的角：規(guī)

14、定為 90 。平面的斜線與平面所成的角： 平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角。求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角：“一作，二證，三計(jì)算”。在“作角”時(shí)依定義關(guān)鍵作射影，由射影定義知關(guān)鍵在于斜線上一點(diǎn)到面的垂線，在解題時(shí)，注意挖掘題設(shè)中兩個(gè)主要信息：（1）斜線上一點(diǎn)到面的垂線；（2）過(guò)斜線上的一點(diǎn)或過(guò) 斜線的平面與已知面垂直，由面面垂直性質(zhì)易得垂線。3 .二面角和二面角的平面角二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn)，在兩個(gè)

15、面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩 條射線所成的角叫二面角的平面角。直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，那么這兩個(gè)平面垂直；反過(guò)來(lái)，如果兩個(gè)平面垂直，那么所成的二面角為直二面角求二面角的方法定義法：在棱上選擇有關(guān)點(diǎn)，過(guò)這個(gè)點(diǎn)分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于棱的射線得到平面角垂面法：已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線時(shí)， 過(guò)兩垂線作平面與兩個(gè)面的交線所成的角為二面角的 平面角第三部分立體幾何中的向量方法一、利用方向向量證明平行、垂直1、直線的方向向量與平面的法向量的確定l是空間一直線，A, B是直線l上任意兩點(diǎn)，則稱AB為直線l的方向向量，與A并行的任意非零向量也

16、是直線l的方向向量。2、用向量證明空間中的平行關(guān)系（1）線線平行：設(shè)直線ll和l 2的方向向量分別為V1和V2,則ll/l2（或l1與l2重合）？ V1 / V2.（2）線面平行：設(shè)直線l的方向向量為V,平面a的法向量為U,則l / a或l ? a ? v，u. 設(shè)直線l的方向向量為V,與平面a共面的兩個(gè)不共線向量 V1和V2,則l / a或l ? a?存在兩個(gè)實(shí)數(shù)Xy,使 v = xvi + yv2.（3）面面平行：設(shè)平面a和B的法向量分別為Ui, U2,則a / B ? Ui / U2.3、用向量證明空間中的垂直關(guān)系（1）線線垂直：設(shè)直線ll和12的方向向量分別為V1和V2,則l ill

17、2? V1±V2? V1 - V2=0.（2）線面垂直：設(shè)直線l的方向向量為V,平面a的法向量為U,則l，a? V/ U.（3）面面垂直：設(shè)平面a和0的法向量分別為Ui和U2,則a，B ? UiX U2? Ui , U2= 0.例 如圖所示，在正方體 ABCDAiBGD中，M N分別是GC BG的中點(diǎn).求證：MN/平面ABD二、平面的法向量的求法1.在幾何不中找平面的垂淺對(duì)應(yīng)的有向線段作為平面的法向量:2、在空間宜角坐標(biāo)系中利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算耒求法向坦：?jiǎn)栴}：已知不共線的三點(diǎn)坐標(biāo),如何求經(jīng)過(guò)這三點(diǎn)的平面的一個(gè)濁總量？在左向育角坐標(biāo)系中.已知其（3,口,口）, 8（0,%。）.C（0,

18、O.2）.試求平面ABC的一b法向呈，解:設(shè)甲面I5口的一法向量為G .x.LG問(wèn)題:如何求平面的法向量？ 設(shè)平面的法向量為=（工門(mén),二）找出（求出）平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量的*坐標(biāo)仃=（11也41）用=（«,血根據(jù)法向量的定義建式關(guān)于工內(nèi)迷的方程1H/=0解方程組取其中的一球即得法向量練習(xí)工在三棱錐P ABC中，PA_L平面ABC, NBAC=90* , AB=2, AC=PA=1, 求平面PRC的一個(gè)法向量。三，利用平面的法向量求空間角/ L求直線和平面所成的角./ A如圖圖2所示,設(shè)PA與平面點(diǎn)的4-圖2注向量杵所在直線所成的用為g ,則也與優(yōu)所成的用為k-9， I（其二dos

19、 呂二 OU& < PArn >| J所以：設(shè)直理f,切的方向向量分別為；1平面見(jiàn)尸的法向量分弱為雙尸.則直線:與平面由所成的角為？ SW色上引（?2例工如圖（圖3）所示，在四棱鏈PABCD中，底面ABC口是正方形,PAJ底面 ABCD, AE1PD, EF/CD, PA-3AB,求支線AC與平13加印所成角的正弦值.Z°吁RT2 .直線與直線所成的角：3.求二曲角的大小.超直線/.閉所成的角為6(0V6W；),cos設(shè)“x 分別為斗的a,/?的法向量,二為角a / /7的大小為。9向量,？的夾角為夕,則有0+9 =不(圖4)或0 q> (困5)八M四、利用

20、法向量求距離1 .求點(diǎn)到平面的花態(tài)利用法向量求點(diǎn)30巨離的基本思路是，如冬乙 點(diǎn)P為邛面a外一點(diǎn)，點(diǎn)A為平面 a為任一點(diǎn)，平面的法向量為八 過(guò)點(diǎn)P作平面a的垂線PH,記PA和所或的角為。, 則P理平面a的距離公式為：PA -n| PH h| PH h| PA | cos-一"-IH例4.如圖8所示，在三棱鍵S-ABC中，AABC是 邊長(zhǎng)為4的正三角形，平面SAC_L平面ABC,SA-5C-2n/3 , M、N 分別為 AB、5B 的中點(diǎn)，(1)證明：AC±SB ；(2)求二面角N -CM -B的大小:(3)求點(diǎn)B到平而CMN的正離n2 .求異面直線的距離兩異面直線間的距離可

21、先求得兩百我的公 共“法向量”(即與兩直線都垂直的向量)，然后 在兩直線上各取一點(diǎn)，求出過(guò)這兩點(diǎn)的向量在 法向量上的射影長(zhǎng)就是兩異面直線間的距離.如圖7,設(shè)A、B分別為異面直線。、6上的 兩點(diǎn)，；為與a、5都垂直的向量. PQ為兩異面宣線。、5的距離.則P0 J絲二例5.已知正方體ABCD-A】BiJDi的校長(zhǎng)是2, M、N分別為仆BB】的中點(diǎn)，求(1) 異重直毀AM與CN所成的角 (2)求異面直線AM與CN的距離.應(yīng)用平面的法向量解決立體幾何問(wèn)笆的一般步驟是，(1)建立空間直角坐標(biāo)系并寫(xiě)出相應(yīng)的點(diǎn)與向量的坐標(biāo)；(2)由法向量的定義求出平面的法向量；(3)由向量代數(shù)的有關(guān)知識(shí)判定平面的法向量與

22、對(duì)應(yīng)向量的關(guān)系(共線、垂直、夾角 及距離等):,根據(jù)鹿目前要求得出問(wèn)題的紹果，練習(xí)：L 如圖，在長(zhǎng)方體ABCDAiBiCiDj中，AD-AAi-1. AB三2,點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng), (1)證明：D】E，AD： (2)當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E到面ACD1的距禺；(3)AE等于何值時(shí)，二面角DlECD的大小為2.如圖.已知ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，E, F分別是AD, AB的中點(diǎn)，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC = 2,求點(diǎn)B到平面FEG的更甚 入DE A已知點(diǎn)P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，且PA1平面ABCD，Q是線段PA的中點(diǎn)，AB=3, BC=4. PA=6,求點(diǎn)P到平面BQD的

23、距離練習(xí)題（一）一、選擇題：1、已知a （Q i,i）,b （1,2, i）,則a與b的夾角等于90°B. 30°C. 60°D. 150°2、設(shè)M、O、A、B、C是空間的點(diǎn)，則使M、A、 B、C 一定共面的等式是A. OM OA OB OC 0B. OMC- OM - -OA Iqb- Iqc-d. MA2343、下列命題不正確的是A.過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與該平面垂直；2OA OB OCMB MC 0B.如果平面的一條斜線在平面內(nèi)的射影與某直線垂直，則這條斜線必與這條直線垂直;C.兩異面直線的公垂線有且只有一條；D.如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)

24、平面相交，則它們的交線平行。4、若m、n表示直線，表示平面，則下列命題中，正確的個(gè)數(shù)為m/nmn mnmm/mnm nnn/m nA. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)5、四棱錐成為正棱錐的一個(gè)充分但不必要條件是A.各側(cè)面是正三角形C.各側(cè)面三角形的頂角為45度B.底面是正方形D.頂點(diǎn)到底面的射影在底面對(duì)角線的交點(diǎn)上1+2 丫）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)是B （ 4入，9, 7 丫），則入，g 丫的值依次為B.2, 5,7、已知一個(gè)簡(jiǎn)單多面體的各個(gè)頂點(diǎn)處都有三條棱,C. - 3則頂點(diǎn)數(shù)-5, 8D. 2, 5, 8V與面數(shù)F滿足的關(guān)系式是A. 2F+V=4B. 2F-V=4C. 2F+V=2D. )

25、2F V=28、側(cè)棱長(zhǎng)為2的正三棱錐，若其底面周長(zhǎng)為A 93A .2-33B .49,則該正三棱錐的體積是c 3.3C.2c 9 3D.49、正方體 ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是棱 AB, BB1的中點(diǎn),A1E與C1F所成的角是九則B. 0 =450C. cosD. sin10、已知球面的三個(gè)大圓所在平面兩兩垂直，則以三個(gè)大圓的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的八面體的體積與球體積之比是A.2：nB.1：2 nC. 1：nD.4：3 n11、設(shè)A, B, C, D是空間不共面的四點(diǎn)，且滿足 AB AC 0 , AC AD 0 , AB AD 0,則4 BCD是A.鈍角三角形B.直角三角形C.銳角三角形D

26、.不確定，若 60 ° ,120 ° ,則折后兩條對(duì)角線之間12、將 B=600,邊長(zhǎng)為1的菱形ABCD沿對(duì)角線AC折成二面角的距離的最值為33丁，最大值為2B.最小值為 丁，最大值為4C.最小值為二、填空題：1_3_4 ,最大值為丁D.最小值為4 ,最大值為r13、已知向量a、|b| = 6, a與 b 的夾角為 萬(wàn)，則 31a| 2 ( a b ) +4|b | 二14、如圖，在四棱錐P-ABCD中,E為CD上的動(dòng)點(diǎn)，四邊形ABCD為時(shí)，體積Vp-aeb恒為定值(寫(xiě)上你認(rèn)為正確的一個(gè)答案即可).PB和圖心兒2215、右棱錐底面面積為 150cm ,平行于底面的截面面積是

27、54cm ,底面和這個(gè)截面的距離是 12cm,則棱錐的局16、一個(gè)四面體的所有棱長(zhǎng)都是五，四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則此球的表面積為三、解答題：(本大題共6題，共46分)17.在如圖7-26所示的三棱錐 P ABC中，PAL平面 ABC , PA=AC=1 , PC=BC , 平面ABC所成的角為30°。(1)求證：平面PBCL平面PAC;(2)比較三個(gè)側(cè)面的面積的算術(shù)平均數(shù)與底面積數(shù)值的大??；(3)求AB的中點(diǎn)M到直線PC的距離。18 .如圖8-32,在正三棱柱 ABCA1B1C1中，ECBBi,截面 AiECL側(cè)面 ACi。(1)求證：BE=EBi；(2)若AAi=AiBi,求平面

28、AiEC與平面A1B1C1所成二面角(銳角)的度數(shù)。19 .如圖7-29,在四棱錐 P-ABCD中，底面 ABCD是平行四邊形，/ BAD=60 ° , AB=4 ,AD=2 ,側(cè)棱 PB= v115 ， PD= J3。(1)求證：BD，平面PAD ;(2)若PD與底面ABCD成60°的角，試求二面角 P-BC-A的大小。20.如圖7-30,已知 VC是4ABC所在平面的一條斜線，點(diǎn) N是V在平面 ABC上的射影，且 N位于 ABC的 高CD上。AB=a,VC 與AB之間的距離為 h, M C VC。(1)證明/ MDC是二面角 MABC的平面角；(2)當(dāng)/ MDC= ZC

29、VN 時(shí)，證明 VCL平面 AMB ;(3)若/ MDC= ZCVN= 0 (0。一),求四面體 MABC 的體積。21.如圖7-31,已知矩形 ABCD , AB=2AD=2a,E是CD邊的中點(diǎn)，以 AE為棱，將 DAE向上折起，將 D變到 D'的位置，使面 D' AE與面ABCE成直二面角(圖 7-32)。(1)求直線D' B與平面ABCE所成的角的正切值；(2)求證：AD ' ± BE;(3)求四棱錐 D' -ABCE的體積；(4)求異面直線 AD '與BC所成的角。練習(xí)題(二)一、選擇題1 .設(shè)m，n是兩條不同的直線是兩個(gè)不同的

30、平面，下列命題中正確的是A.若n ，貝 U m n b .若 1I , mn ，則 m nC.若mn ，則D.若 m , m/n, n/ ,則2.已知正四棱錐ABCDABO 中,AA 2AB,則CD與平面BDCi所成角 的正弦值等于3.在空間中，過(guò)點(diǎn)A作平面的垂線,垂足為B ,記B f （A）.設(shè),是兩個(gè)不同的平面,對(duì)空間任意一點(diǎn)P, Qif f (P),Q2f f (P),恒有 PQi PQ2,則A.平面與平面 垂直B.平面 與平面所成的（銳）二面角為450C.平面與平面 平行D.平面 與平面所成的（銳）二面角為6004 ,若兩個(gè)球的表面積之比為 1:4，則這兩個(gè)球的體積之比為A. 1:2C

31、. 1:85 .某四棱臺(tái)的三視圖如圖所示，則該四棱臺(tái)的體積是1:16第5題圖A. 414B . 316C. 36.已知三棱柱ABCAB1。1的側(cè)棱與底面垂直，體積為4 ,底面是邊長(zhǎng)為J3的正三角形.若P為底面AB1C1的中心，則PA與平面ABC所成角的大小為A. 12C. 47.已知三棱柱ABCABQ1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球 O的球面上，若 AB 3, AC 4, AB AC, AA112 ,則球。的半徑為A.3 17D . 3.102，則（）8 .已知m,n為異面直線,m 平面 ,n 平面 .直線l滿足l m, l n,l , lA. /，且 l C. 與相交，且交線垂直于lB. ，且 lD. 與

32、 相交，且交線平行于l4, AB AC, AA1 12,則球。的9.已知三棱柱 ABC AB1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，若AB 3, AC半徑為3,17 A.B. 2. 10C.13D. 3 1010.如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面上，且AB PCD ,正方體的六個(gè)面所在的平面與直線CE,EF相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為 m,n,那么m n( )A. 8B. 9C. 10D. 11圖時(shí)，以zOx平面為投影面，則得到正視圖可以為(11 .一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系O xyzH勺坐標(biāo)分別是（1,0,1）,（1,1,0）,（0,1,1）,鐫0）面體三視圖中的正視12 .在下列命題

33、中，不是公理 的是 A.平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面相互平行B.過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面C.如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi)D.如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么他們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線、填空題:13 .某四棱錐的三視圖如圖所示 ，該四棱錐白體積為 側(cè)（左）視圖14 .在xOy平面上，將兩個(gè)半圓弧（x 1）2 y2 1（x 1）和（x 3）2 y2 1（x 3）、兩條直線y 1和y 1圍成的封閉圖形記為 D,如圖中陰影部分.記D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體為，過(guò)（0, y）（|y| 1）作 的水平截面，所得截面面積為4也 y2 8

34、，試?yán)米娓絀原理、一個(gè)平放的圓柱和一個(gè)長(zhǎng)方體，得出的體積值為15 .某幾何體的三視圖如圖所示，則其體積為 16 .已知圓柱的母線長(zhǎng)為1,底面半徑為r,O是上地面圓心，A、B是下底面圓周上兩個(gè)不同的點(diǎn) ，BC是母線，如圖.若方線OA與BC所成角的大小為 ，則1.6 r解答題:17 .如圖，直四棱柱 ABCD - A1B1C1D 中,AB/CD,AD，AB,AB=2,AD=2,AA1=3,E 為 CD上一點(diǎn)，DE=1,EC=3(1)證明：BE,平面BBGC;(2)求點(diǎn)B1到平面EA1C1的距離C18 .如圖，四棱錐 P ABCD 中，PA 底面 ABCD,BC CD 2, AC 4, ACB A

35、CD ,F 為PC 的中 3點(diǎn)，AF PB.(1)求PA的長(zhǎng)；(2)求二面角B AF D的正弦值.君題Q9)圖19 .如圖，在四面體 A BCD中，AD 平面BCD,BC CD, AD 2, BD 2 J2 . M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上，且AQ 3QC .(1)證明：PQ/平面BCD;(2)若二面角C BM D的大小為600，求 BDC的大小.C(第19題圖)20 .如圖，在正三棱錐 ABC A B1C1中，AAi 6,異面直線BCi與AAi所成角的大小為一，求該三棱柱的體積 621如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-AB1C1D1中,AB=2,AD=1,AiA=1,證明直線BC平

36、行于平面 DAC,并求直線BC到平面DAC的距離.nBE Q O為BC的22.如圖1,在等腰直角三角形 ABC中，A 90 , BC 6, D,E分別是AC, AB上的點(diǎn)，CD 中點(diǎn).將 ADE沿DE折起，得到如圖2所示的四棱錐 A BCDE,其中AO J3 . (I)證明：AO 平面BCDE; ( n)求二面角 A CD B的平面角的余弦值.練習(xí)題(1)參考答案一、選擇題：1、D 2、D 3、B 4、C 5、A 6、B 7、B 8、B 9、C 10、C 11、C 12、B二、填空題：13、23 14、AB/ CD 15、30cm 16、3三、解答題17.解(1)由已知PAL平面ABC , P

37、A=AC=1 ,得 PAC為等腰直角三角形， PC=CB= J2在RtA PAB中，/ PBA=30 ° ,. PB=2 ,. PCB為等腰直角三角形。. PA，平面 ABC , AC ± BC ,又 ACAPC=C, PCX BC ,BC，平面 PAC, .BC三平面PBC,平面 PBC,平面 PAC。(2)三個(gè)側(cè)面及底面都是直角三角形，求得側(cè)面 PAC的面積為1 ,側(cè)面PAB面積值為22,側(cè)面PCB面積值為1,底面積值為匚。三個(gè)側(cè)面面積的算術(shù)平均數(shù)為23.36.3 、3 、2 _ 33 3、26- 2 -6，其中 3+J3- 3& （3-2、/2） + （雜-鬼

38、）=（廢-黑）+ （串-?） >0,三個(gè)側(cè)面面積的算術(shù)平均數(shù)大于底面積的數(shù)值。（3）如圖，過(guò)M作MDLAC,垂足為D。平面 PACL平面 ABC且相交于 AC,，MD，平面PAC。過(guò)D作DEL PC,垂足為 E,連結(jié) ME ,則DE是ME在平面PBC上的射影，. DEXPC,MEXPC, ME的長(zhǎng)度即是 M至U PC的距離。在 RtA ABC 中，MD / BC,. MD= 1BC= ° 在等腰 RtA PAC 中，DE=DCsin45 ° =,224在 RtA ABC 中，MD / BC,. MD= 1BC=出。在等腰 RtA PAC 中，DE=DCsin45 &#

39、176; =, 224ME= JMD 2DE2 = J1 1 =q0 ,即點(diǎn)M至ij PC的距離為 占"。,2 84418.解(1)在截面 AiEC內(nèi)，過(guò)E作EG± AiC, G是垂足。二.面 AiECL面ACi,EG,側(cè)面 ACi,取AC的中點(diǎn) F,連結(jié) BF, FG,由 AB=BC 得 BFAC。二.面 ABC，側(cè)面 AC1，. BFL側(cè)面 ACi,得 BF/EG。由 BF, EG確定一個(gè)平面，交側(cè)面 ACi于FG。.BE/側(cè)面ACi ,BE/ FG,四邊形BEGF是平行四邊形，BE=FG。; BE II AA 1, FG / AAi。又' AA iCA FGC

40、,且 AF=FC ,. FG=-AAi = - BBi,即 BE= 1BB 1,故 BE=EB 1。222(2)分別延長(zhǎng) CE、C1B1 交于點(diǎn) D,連結(jié) AiD。. EB1/CC1, EBi= 1 BBi= 1 CC1 ,DBi = - DCi=BiCi=AiBio222 Z BiAiCi = Z BiCiAi=60° , / DAiBi= / A1DB 1= 1 (180° -/DBiAi)=30° , . . / DA iCi= / DA 1B1+/ B1AiCi=90° ,2即DAiAiCi。CCd平面A1C1B1,即AiCi是AiC在平面AiC

41、iD上的射影，根據(jù)三垂線定理得DAAiCi,/ CA1C1 是所求二面角的平面角。.CCi= AA i=AiBi=AiCi, / A iCiC=90 °/ CA iCi=45 ° ,即所求二面角為 45° 。19.解 (1)由已知 AB=4 , AD=2 , / BAD=601得 BD2=AD 2+AB 2-2AD - ABcos60 =4+16-2 X2X4X =12。2AB 2=AD 2+BD2,ABD是直角三角形，/ ADB=90 ° , 即 AD ±BDo在 PDB 中，PD= <3 , PB= v,15 , BD= <12

42、 ,. . PB2=pd2+BD2,故得 PDXBDo 又 PD A AD=D , BD，平面 PAD。(2) . BD,平面 PAD , BD平面 ABCD ,，平面 PAD，平面 ABCD 。作PEXAD于E,又PES平面PAD,PEL平面 ABCD / PDE是PD與底面BCD所成的角，PDE=60 ° ,PE=PDsin60 ° = *后 =3O 22作 EFXBC 于 F,連 PF,則 PF± BC ,/ PFE 是二面角P-BC-A的平面角。又 EF=BD=照，.,.在 RtPEF 中,tan/PFE=3_PE 2.3= OEF 234故二面角P BC

43、 A的大小為arctan33。420.解 （1）由已知,VN，平面 ABC , N CD, AB墓平面ABC得 VN LAB。又 CDAB , DC n VN=NAB，平面 VNC。又V、M、N、D都在VNC所在平面內(nèi)，所以,DM 與VN必相交，且 AB ± DM , AB ± CD ,/ MDC為二面角 MABC的平面角。(2)由已知，/ MDC= / CVN ,在4VNC 與4DMC 中，/ NCV= / MCD ,且/ VNC=90 ./ DMC= /VNC=90,故有DM±VCo 又 AB ±VC ,VC，平面 AMB 。(3)由(1)、 ( 2

44、)得 MD ±AB , MD=h。又. / MDC= 0 .二在 RtAMDC 中，CM=h tan。. V 四面體 MABC =V 三棱錐 C ABM = CM -3MD ±VC ,且 DC ABS ABM1=h 321.解，平面作D'tan 0 ah = ah2tan 026(1) D AEB 是直二面角，D' AE,平面 ABCE。O±AE于。，連OB,則D' O,平面ABCE 。./D' BO是直線D' B與平面ABCE所成的角。. D' A=D ' E=a,且 D ' OAE 于 O, /

45、AD ' E=90.O是AE的中點(diǎn)，AO=OE=D ' O= - a, / D ' AE= / BAO=452在4 OAB 中，OB= Joa2 AB2 2 OA ABcos45、2222210；(ya)2 (2a)2 2 (a)(2a)= 在直角 D' OB 中，tan/D' BO= -D_O-=2L5OB 5(2)如圖，連結(jié)BE,/ AED= / BEC=45 ° , / BEA=90 ° ,即 BE LAE 于 E。. D' O,平面 ABCE ,.D' O±BE,BE,平面BE, AD '(3

46、)四邊形.o 1Sabce =一2AD E,oABCE是直角梯形,(a+2a) - a= a2o 2D'。是四棱錐的高且D' O= a,V D ABCE= ( a)323 2、(一a )2123a °4(4)作AK / BC交CE的延長(zhǎng)線于K,D' AK是異面直線AD '與BC所成的角,四邊形ABCK是矩形， . AK=BC=EK=a 。連ZOK , D ' K,OK=D 7 O= - a, /D，OK=90, D 7 K=a, AK=AD ' =D 7 K=a。.D' AK 是正三角形，D' AK=60 °

47、,即異面直線 AD '與BC成60 °練習(xí)題(2)參考答案、選擇題：1. D 2. A 3. A 4.C5. B 6. B 7. C 8. D 9. C 10. A 11. A 12. A二、填空題：13. 314. 2 2 16 .15. 16.顯3三、解答題：17.解：(1)證明：過(guò)B作CD的垂線交 CD于F,則BF AD .2, EF AB DE 1,FC 2在 Rt BFE 中，BE=%/3 , Rt BFC中，BC=娓.在 BCE 中，因?yàn)?BE2 BC2= 9= EC2,故 BE BC由BB1 平面ABCD,得BE BB1,所以BE 平面BB1cle1(2)二棱鋸 E AB1C1 的體積 V=-AA?S a131G =短在 Rt AD1C1 中，ACi= 7ADi2 DiCi2=3/2 ,同理，EC1: JEC2 CG2=3V2 , EA= JAD_ED2 AA12=2V3因此S A1C1E 3J5 .設(shè)點(diǎn)B1到平面EAG的距離為d,則三棱錐B1 EAC 1的體積18.1V= ?d?S3A1EC1=J5d，從而 J5d2d40【解析】工I）如答ci9）圖.連接四口文月亡于a 因?yàn)楸萓IUBUQ為等腰三角形，W.4C平分故AC ® 一以。為坐林原點(diǎn)，麗.uCi的方向分別為工釉】刖M軸的正方向,建江空間門(mén)角坐標(biāo)系則。, S4 ,肉AO= A