第9節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用

1、第9節(jié)函數(shù)模型及其應(yīng)用考試要求 1.理解函數(shù)模型是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的重要數(shù)學(xué)語言 和工具.在實(shí)際情境中，會(huì)選擇合適的函數(shù)類型刻畫現(xiàn)實(shí)問題的變化規(guī)律；2.結(jié)合 現(xiàn)實(shí)情境中的具體問題，利用計(jì)算工具，比較對(duì)數(shù)函數(shù)、一元一次函數(shù)、指數(shù)函 數(shù)增長速度的差異，理解“對(duì)數(shù)增長” “直線上升” “指數(shù)爆炸”等術(shù)語的現(xiàn)實(shí) 含義；3.收集、閱讀一些現(xiàn)實(shí)生活、生產(chǎn)實(shí)際或者經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的數(shù)學(xué)模型，體會(huì) 人們是如何借助函數(shù)刻畫實(shí)際問題的，感悟數(shù)學(xué)模型中參數(shù)的現(xiàn)實(shí)意義.I墓幅如識(shí)讀跖 二里, 回顧教材.更尖勢(shì)礎(chǔ)廠知識(shí)梳理1.幾種常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)= ax+ b(a、b 為常數(shù)，

2、a w 0)二次函數(shù)模型f(x) = ax2 + bx+ c(a, b, c為常數(shù),aw0)與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的模型f(x) = bax + c(a, b, c為常數(shù)，a>0 且 a*1, bw0)與對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)的模型f(x) = blogax+ c(a, b, c 為常數(shù)，a>0 且 aw 1, b w0)與幕函數(shù)相關(guān)的模型f(x) = axn+b(a, b, n 為常數(shù),aw0)2.指數(shù)、對(duì)數(shù)、幕函數(shù)模型性質(zhì)比較函數(shù)性質(zhì)y=ax(a>1)y=logax(a>1)y= xn(n>0)在(0, +00)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢相對(duì)平穩(wěn)

3、圖象的變化隨x的增大逐漸表 現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表 現(xiàn)為與x軸平行隨n值及化而各有不同常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒1.“直線上升”是勻速增長，其增長量固定不變；“指數(shù)增長”先慢后快，其增 長量成倍增加，常用“指數(shù)爆炸”來形容；“對(duì)數(shù)增長”先快后慢，其增長量越 來越小.2 .充分理解題意，并熟練掌握幾種常見函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.3 .易忽視實(shí)際問題中自變量的取值范圍，需合理確定函數(shù)的定義域，必須驗(yàn)證數(shù) 學(xué)結(jié)果對(duì)實(shí)際問題的合理性.診斷自測(cè)那考辨析)1.判斷下列結(jié)論的正誤.(在括號(hào)內(nèi)打或“x”)(1)某種商品進(jìn)價(jià)為每件100元，按進(jìn)價(jià)增加10%出售，后因庫存積壓降價(jià)，若按九折出售，則每件還能獲

4、利.()(2)函數(shù)y= 2x的函數(shù)值比y= x2的函數(shù)值大.()(3)不存在 xo,使 ax0<x0<logax0.()(4)在(0, +°°)±,隨著x的增大，y=ax(a>1)的增長速度會(huì)超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于 y= xa(a>0)的增長速度.()9 一解析(1)9折出售的售價(jià)為100(1+10%)X99(兀).每件賠1元，(1)錯(cuò).(2)中，當(dāng)x = 2時(shí)，2x = x2=4.不正確.11(3)中，如a = x0=2, n = 4，不等式成立，因此(3)錯(cuò).答案 (1)x (2)x (3)x ，教材近化2 .(教材必修1P104練習(xí)T1改編)

5、在某個(gè)物理實(shí)驗(yàn)中，測(cè)得變量x和變量y的幾組 數(shù)據(jù)，如下表：x0.500.992.013.98y-0.990.010.982.00則對(duì)x, y最適合的擬合函數(shù)是()A.y= 2xB.y=x21C.y=2x 2D.y=log2x解析 根據(jù)x=0.50, y= 0.99,代入計(jì)算，可以排除A;根據(jù)x= 2.01, y= 0.98, 代入計(jì)算，可以排除B, C;將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)V= 10g2x,可知滿足題意.答案 D3 .(新教材必修第一冊(cè)P149例4改編)當(dāng)生物死亡后，其體內(nèi)原有的碳14的含量 大約每經(jīng)過5 730年衰減為原來的一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”.當(dāng)死亡生物 體內(nèi)的碳14含量不足死亡前的千

6、分之一時(shí)，用一般的放射性探測(cè)器就測(cè)不到了 .若某死亡生物體內(nèi)的碳14用該放射性探測(cè)器探測(cè)不到，則它經(jīng)過的“半衰期” 個(gè)數(shù)至少是()A.8B.9C.10D.11解析 設(shè)該死亡生物體內(nèi)原有的碳14的含量為1,則經(jīng)過n個(gè)“半衰期”后的人日上1n ,1 n 1 /口含里為2 ,由2 <1000，得n> 10.所以，若某死亡生物體內(nèi)的碳14用該放射性探測(cè)器探測(cè)不到，則它至少需要經(jīng)過10個(gè)“半衰期”.答案 C彳縻承聆-4 .(2020 臨沂一中月考)已知 f(x) = x2, g(x) = 2x, h(x)=log2x,當(dāng) xC(4, +oo)時(shí),對(duì)三個(gè)函數(shù)的增長速度進(jìn)行比較，下列選項(xiàng)中正確的

7、是()A. f(x)>g(x)>h(x)B.g (x)>f(x)>h(x)C.g(x)>h(x)>f(x)D.f(x)>h(x)>g(x)解析 在同一坐標(biāo)系內(nèi)，根據(jù)函數(shù)圖象變化趨勢(shì)，當(dāng) x (4, +oo)時(shí)，增長速度 大小排列為g(x)>f(x)>h(x).答案 B5.(多填題)(2018浙江卷)我國古代數(shù)學(xué)著作張邱建算經(jīng)中記載百雞問題：“今 有雞翁一，值錢五；雞母一,值錢三；雞雛三，值錢一.凡百錢，買雞百只，問雞翁、母、雛各幾何？ ”設(shè)雞 翁、雞母、雞雛個(gè)數(shù) 分別為x, y, z,則x+ y+ z= 100,1 當(dāng) z= 81 時(shí)

8、，x=, y=.5x+ 3y + 32= 100,x+ y= 19,解析把2= 81代入方程組，化簡得5x+3y=73,解得 x=8, y=11.答案 8 11 6.(多填題)(2019北京卷)李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價(jià)格依次為 60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量，李明對(duì)這四種水果進(jìn)行促銷：一次購買水果的總價(jià)達(dá)到120元,顧客就少付x元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會(huì)得到支付款的80%.當(dāng)x=10時(shí)，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付元；在促銷活動(dòng)中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折， 則x的

9、最大值為.解析 顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，原價(jià)應(yīng)為60+80= 140（元），超過了 120元可以優(yōu)惠，所以當(dāng)x= 10時(shí)，顧客需要支付140 10= 130（元）.由題意知， 當(dāng)x確定后，顧客可以得到的優(yōu)惠金額是固定的，所以顧客支付的金額越少，優(yōu) 惠的比例越大.而顧客要想得到優(yōu)惠，最少要一次購買2盒草莓，此時(shí)顧客支付的金額為（120 x）元，所以（120 x）X80%>120X 0.7,所以x&15.即x的最大值 為15.答案13015I考點(diǎn)聚焦突破分二加法考點(diǎn)一利用函數(shù)的圖象刻畫實(shí)際問題【例11 （2017全國田卷）某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì) 量，收集

10、并整理了 2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬人） 的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖.根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在 7, 8月D.各年1月至6月的月接待游客量相對(duì)于7月至12月，波動(dòng)性更小，變化比較 平穩(wěn)解析 由題圖可知，2014年8月到9月的月接待游客量在減少，則 A選項(xiàng)錯(cuò)誤. 答案 A規(guī)律方法 1.當(dāng)根據(jù)題意不易建立函數(shù)模型時(shí)，則根據(jù)實(shí)際問題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn)，結(jié)合圖象的變化趨勢(shì)，驗(yàn)證是否吻合，從中排除不符合實(shí)際的情況, 選出符合實(shí)際情況的答案.2.圖形、表格能直觀刻畫兩變量間的依

11、存關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)直觀想象核心素養(yǎng)【訓(xùn)練11高為H,滿缸水量為V的魚缸的軸截面如圖所示，具 底部破了一個(gè)小洞，滿缸水從洞中流出，若魚缸水深為h時(shí)水的(體積為v,則函數(shù)v=f(h)的大致圖象是()18解析 由題意知，水深h越大，水的體積v就越大.當(dāng)h = 0時(shí)，v=0,故可排除A, C;當(dāng)hC0, H時(shí)，不妨將水“流出”設(shè)想為“流入”.每當(dāng)h增加一個(gè)單位增量Ah時(shí)，根據(jù)魚缸形狀可知，函數(shù)v的變化，開始其增 量越來越大，經(jīng)過中截面后增量越來越小，故 v = f(h)的圖象是先凹后凸的，故 選B.答案 B考點(diǎn)二已知函數(shù)模型求解實(shí)際問題【例2】 為了降低能源損耗，某體育館的外墻需要建造隔熱層，體育館要

12、建造 可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元.該建筑物每年的能 源消耗費(fèi)用 C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系：C(x) =?三3X. I 5(0<x< 10, k為常數(shù))，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為 8萬元，設(shè)f(x)為隔 熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和.求k的值及f(x)的表達(dá)式；隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最??？并求最小值.解(1)當(dāng) x=0 時(shí)，C=8,*=40,C(x) = 3x+ 5(0 & x& 10)'f(x)= 6x +20X403x 56x+8003x 5(0<x< 10

13、).(2)由(1)得 f(x) = 2(3x+ 5) + 38005-10.3x I 5令 3x+ 5 = t, te 5, 35,800則 y = 2t+-p 10>10=70(當(dāng)且僅當(dāng) 為=等，即t=20時(shí)等號(hào)成此時(shí)x=5,因此f(x)的最小值為70.隔熱層修建5 cm厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，最小值為70萬元.規(guī)律方法 1.求解已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題的關(guān)注點(diǎn).認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù).(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)2.利用該函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實(shí)際問題，并進(jìn)行檢驗(yàn).【訓(xùn)練2】(2019全國H卷)2019年1月3日嫦娥四號(hào)探測(cè)器

14、成功實(shí)現(xiàn)人類歷史.實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸.為解決這個(gè)問題，發(fā)L2點(diǎn)的軌道運(yùn)行.L2月球質(zhì)量為M2,地月上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就 需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測(cè)器的通信聯(lián)系 射了嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位于地月連線的延長線上.設(shè)地球質(zhì)量為M1距離為R, L2點(diǎn)到月球的距離為r,根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬有引力定律，r滿足 方程：M1 M2Mi(R+r) 2+ r2 =(R+ r)R3.a的值很小，因此在近似計(jì)算中3o3+3o4+o5322 23 O3,則r的近似值(1 十 a)為()A.M2M1RB.M2 2M1RC.3M2M1RD.M

15、2 3M1R解析由.L /日R,彳可r= a M1 M2M1代入EV +苫=(R+)得擊6T由/曰 3 3 04+ a5 M2 整理得(1+aJ =而3o3+3 o4+ 5 oo M2-又(i) 2 ",即3c3 =而，所以故r= a后答案 D考點(diǎn)三構(gòu)建函數(shù)模型的實(shí)際問題多維探究 角度1構(gòu)建二次函數(shù)、分段函數(shù)模型【例31 (2020濟(jì)南一中月考)響應(yīng)國家提出的“大眾創(chuàng)業(yè)，萬眾創(chuàng)新”的號(hào)召，小王大學(xué)畢業(yè)后決定利用所學(xué)專業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè).經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)研，生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本 2萬元，每生產(chǎn)x萬件，需另投入流動(dòng)成本 W(x)1 C萬兀，在年產(chǎn)量不足 8萬件時(shí)，W(x) = 1x2

16、+2x.在年產(chǎn)量不小于8萬件時(shí)，W(x)3= 7x+ 100-37.每件產(chǎn)品售價(jià)6元通過市場(chǎng)分析，小王生產(chǎn)的商品能當(dāng)年全部售 x占兀.(1)寫出年利潤P(x)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬件)的函數(shù)解析式；(注：年利潤=年銷售收入固定成本流動(dòng)成本)(2)年產(chǎn)量為多少萬件時(shí)，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？最大利潤是多少？解(1)因?yàn)槊考唐肥蹆r(jià)為6元，則x萬件商品銷售收入為6x萬元.依題意得當(dāng)0<x<8時(shí)，P(x) = 6x 3x2 +2x 2= 1* + 4x 2, 當(dāng)x8時(shí),P(x) = 6x 7x+100 100故 P(x) =1 2 ,即2+4x 2, 0<x<8

17、,-37-2=35- x+ x>8.當(dāng) 0<x<8 時(shí)，P(x)=或x 6)2+10.3此時(shí)，當(dāng)x= 6時(shí)，P(x)取最大值，最大值為10萬元.w7100100當(dāng) x>8 時(shí)，P(x) = 35 x + <35 - 2 /x 女=15當(dāng)且僅當(dāng)乂=100, BPx= 10時(shí)，取等號(hào). x此時(shí)，當(dāng)x= 10時(shí)，P(x)取得最大值，最大值為15萬元.因?yàn)?0<15,所以當(dāng)年產(chǎn)量為10萬件時(shí)，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最 大，最大利潤為15萬元.角度2構(gòu)建指數(shù)(對(duì)數(shù))型函數(shù)模型【例3-2】一片森林原來面積為a,計(jì)劃每年砍伐一些樹，且每年砍伐面積的 百分比相等，當(dāng)

18、砍伐到面積的一半時(shí)，所用時(shí)間是10年，為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，森林面積至少要保留原面積的4,已知到今年為止，森林剩余面積為原來的42 (1)求每年砍伐面積的百分比；(2)到今年為止，該森林已砍伐了多少年？解 設(shè)每年砍伐面積的百分比為x(0<x<1),11則 a(1x) =a,即(1x) =2，1解得 x=1 2 101故每年砍伐面積的百分比為121°2(2)設(shè)經(jīng)過m年剩余面積為原來的 V，1一.21 1。，、則 a(1x)m=,a,把 x=1 2 代入， m 11 101 m 1整理得2 = 22，即1?= 1,解得m=5.故到今年為止，該森林已砍伐了 5年.規(guī)律方法 1.實(shí)際問

19、題中有些變量間的關(guān)系不能用同一個(gè)關(guān)系式給出， 而是由幾 個(gè)不同的關(guān)系式構(gòu)成，如出租車計(jì)價(jià)與路程之間的關(guān)系，應(yīng)構(gòu)建分段函數(shù)模型求 解.但應(yīng)關(guān)注以下兩點(diǎn)：(1)分段要簡潔合理，不重不漏；(2)分段函數(shù)的最值是各 段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值.2.指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型解題，關(guān)鍵是對(duì)模型的判斷，先設(shè)定模型，將有關(guān)數(shù)據(jù)代入驗(yàn)證，確定參數(shù)，求解時(shí)要準(zhǔn)確進(jìn)行指、對(duì)數(shù)運(yùn)算，靈活進(jìn)行指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化 .【訓(xùn)練3】 （1）（角度 1）某汽車銷售公司在A， B 兩地銷售同一種品牌的汽車，在A地的銷售利潤（單位：萬元）為yi = 4.1x 0.1x2,在B地的銷售利潤（單位：萬元） 為y2=2x,其中x

20、為銷售量（單位：輛），若該公司在兩地共銷售16輛該種品牌的 汽車，則能獲得的最大利潤是（）A.10.5 萬元B.11 萬元C.43萬元D.43.025萬元（2）（角度2）已知一容器中有A， B 兩種菌， 且在任何時(shí)刻 A， B 兩種菌的個(gè)數(shù)乘積均為定值1010,為了簡單起見，科學(xué)家用 Pa= lg nA來記錄A菌個(gè)數(shù)的資料，其 中nA為A菌的個(gè)數(shù).現(xiàn)有以下幾種說法：Pa1;若今天的Pa值比昨天的Pa值增加1,則今天的A菌個(gè)數(shù)比昨天的A菌個(gè)數(shù)多 10；假設(shè)科學(xué)家將B菌的個(gè)數(shù)控制為5萬，則此時(shí)5<Pa<5.5（注：lg 2弋0.3）.則正確的說法為 （寫出所有正確說法的序號(hào)）.（3）（

21、角度2）某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該公司2019 年全年投入研發(fā)資金130 萬元， 在此基礎(chǔ)上， 每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200 萬元的年份是（參考數(shù)據(jù)：lg 1.12弋0.05, lg 1.3弋0.11, lg 2弋0.30）（）A.2020 年B.2021 年C.2022 年D.2023 年解析 （1）設(shè)在 A 地銷售該品牌的汽車x 輛，則在 B 地銷售該品牌的汽車（16 x）輛，所以可得利潤y= 4.1x- 0.1x2+2（16x）= 0.1x2 +2.1x+ 32=0.1（x 10.5）2+0.1 X 10.52 +

22、32.因?yàn)閤C0, 16且xCN,所以當(dāng)x= 10或11時(shí)，總利潤取得最大值43萬元. 當(dāng)nA=1時(shí)，Pa=0,故錯(cuò)誤.若 Pa= 1, WJ nA= 10;若 Pa= 2, WJ nA= 100,故錯(cuò)誤.設(shè)B菌的個(gè)數(shù)為nB=5X104,1010nA=5X 104 = 2 X 10，則 PA=lg(nA) = 5+lg 2.又1g 2 = 0.3,因此5<Pa<5.5,正確.(3)設(shè)經(jīng)過n年資金開始超過200萬元， 即 130(1+12%)n>200.兩邊取對(duì)數(shù)，得 n1g1.12>1g 2-lg 1.3,- lg 2-lg 1.3 0.30 0.11 19所以n>

23、;=m 少 n 1g 1.120.055'又n C N ,所以n4,所以從2023年開始，該公司投入的研發(fā)資金開始超過200萬元.答案 (1)C (2)(3)DI分層限用調(diào)煉 ：一一2分屋上；押蜂力A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1 .一根蠟燭長20 cm,點(diǎn)燃后每小時(shí)燃燒5 cm,燃燒時(shí)剩下的高度h(cm)與燃燒 時(shí)間t(小時(shí))的函數(shù)關(guān)系用圖象表示為()解析由題意得關(guān)系式為h = 20 5t(0&t&4).圖象應(yīng)為B項(xiàng).答案 B2 .根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為3361,而可觀測(cè)宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080.則下列各數(shù)中與M最接近的是() (參考數(shù)據(jù)：

24、lg 3 = 0.48)A.1033B.1053C.1073D.1093M3361解析 由題意，lg N"=lg 1080= lg 3361 Ig 1080= 361lg 3-80lg 10=93.所以MJio93,故與n最接近的是io93答案 D3 .汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1 L汽油行駛的里程，如圖描述了甲、乙、內(nèi)三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況.下列斜述中正確的是（）A.消耗1 L汽油，乙車最多可行駛5 kmB.以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多C.甲車以80 km/h的速度行駛1小時(shí)，消耗10 L汽油D.某城市機(jī)動(dòng)車最高限速80 km/h,相同條件下

25、，在該市用丙車比用乙車更省油 解析 對(duì)于A,消耗1 L汽油，乙車行駛的最大距離大于 5 km,故A錯(cuò)；對(duì)于 B,以相同速度行駛時(shí)，甲車燃油效率最高，因此以相同速度行駛相同路程時(shí)， 甲車消耗汽油最少，故B錯(cuò)；對(duì)于C,甲車以80 km/h行駛1小時(shí)，里程為80 km, 燃油效率為10 km/L,消耗8 L汽油，故C錯(cuò)；對(duì)于D,因?yàn)樵谒俣鹊陀?0 km/h 時(shí)，內(nèi)車的燃油效率高于乙車，故 D正確.答案 D4.（2020武漢卞g擬）復(fù)利是一種計(jì)算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一 起算作本金，再計(jì)算下一期的利息.某同學(xué)有壓歲錢1 000元，存入銀行，年利率 為2.25%,若放入微信零錢通或者支付

26、寶的余額寶，年利率可達(dá)4.01%.如果將這1 000元選擇合適方式存滿5年，可以多獲利息（）（參考數(shù)據(jù):1.022 54=1.093, 1.022 55=1.118, 1.040 15=1.217）A.176 元 B.99 元C.77 元D.88 元解析 將1 000元錢存入微信零錢通或者支付寶的余額寶，選擇復(fù)利的計(jì)算方法， 則存滿5年后的本息和為1 000X（1 +4.01%）/ 1 217（元），故共得利息1 217 1 000= 217（元）.將1 000元存入銀行，則存滿 5年后的本息和為1 000X （1 + 2.25%）5=1 118（元）,即獲利息1 1181 000=118（元

27、）.故可以多獲利息217 118 = 99（元）.答案 B5 .我們處在一個(gè)有聲世界里，不同場(chǎng)合，人們對(duì)聲音的音量會(huì)有不同要求.音量大 小的單位是分貝（dB）,對(duì)于一個(gè)強(qiáng)度為I的聲波，其音量的大小”可由如下公式 計(jì)算：“=101gA（其中I0是人耳能聽到聲音的最低聲波強(qiáng)度），則70 dB的聲音的 聲波強(qiáng)度I1是60 dB的聲音的聲波強(qiáng)度12的（ ）A.7B.106倍C.10 倍D.1n7 倍解析由101g 10得口。1端，所以I1=I0107, I2=I0106,所以$10,所以 70 dB的聲音的聲波強(qiáng)度I1是60 dB的聲音的聲波強(qiáng)度I2的10倍.答案 C二、填空題6 .某公司一年購買某種

28、貨物600噸，每次購買x噸，運(yùn)費(fèi)為6萬元/次，一年的總 存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬元.要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則 x的值是解析一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和為丫=6*等+4x =3 600十x4x> 2J3-600X4x = 240,當(dāng)且僅當(dāng)答案 303 600= 4x,即x=30時(shí)，y有最小值240.7 .“好酒也怕巷子深”，許多著名品牌是通過廣告宣傳進(jìn)入消費(fèi)者視線的.已知某 品牌商品廣告銷售的收入 R與廣告費(fèi)A之間滿足關(guān)系R=a4A（a為常數(shù)），廣告 效應(yīng)為D=a曲一A.那么精明的商人為了取得最大的廣告效應(yīng)，投入的廣告費(fèi)應(yīng) 為.州常數(shù)a表示） 解析 令 t=6(00),則 A=t2

29、,.D = at t2 t2a + 422, 11 c當(dāng)t = 11a,即A=4a2時(shí)，D取得最大值.答案：a28.一個(gè)容器裝有細(xì)沙a cm3,細(xì)沙從容器底下一個(gè)細(xì)微的小孔慢慢地勻速漏出， t min后剩余的細(xì)沙量為y= ae-bt(cm3),經(jīng)過8 min后發(fā)現(xiàn)容器內(nèi)還有一半的沙子， 則再經(jīng)過 min,容器中的沙子只有開始時(shí)的八分之一.11斛析 當(dāng)t= 8時(shí)，y=ae =/a,所以e 8 =2.容器中的沙子只有開始時(shí)的八分之一時(shí)，即丫= ae bt= 1a,e bt= (e 8b)3=e 24b, 88則 t=24.所以再經(jīng)過16 min容器中的沙子只有開始時(shí)的八分之一.答案 16三、解答題

30、9.候鳥每年都要隨季節(jié)的變化而進(jìn)行大規(guī)模的遷徙，研究某種鳥類的專家發(fā)現(xiàn)， 該種鳥類的飛行速度v(單位：m/s)與其耗氧量Q之間的關(guān)系為v = a+blog3；0(其 中a, b是實(shí)數(shù)).據(jù)統(tǒng)計(jì)，該種鳥類在靜止時(shí)其耗氧量為30個(gè)單位，而其耗氧量為90個(gè)單位時(shí)，其飛行速度為1 m/s.(1)求出a, b的值；(2)若這種鳥類為趕路程，飛行的速度不能低于2 m/s,則其耗氧量至少要多少個(gè)單位？解(1)由題意可知，當(dāng)這種鳥類靜止時(shí)，它的速度為0 m/s,此時(shí)耗氧量為30個(gè)單位，-30_故有 a+blog310= 0,即 a+b = 0.當(dāng)耗氧量為90個(gè)單位時(shí)，速度為1 m/s,故有 a+blog300

31、= 1,即 a +2b=1.a+b = 0,a= 1,解方程組得a + 2b= 1,b=1.(2)由知,v=1 + log3M所以要使飛行速度不低于2 m/s,則有v>2,_Q即1 + log310>2,解得 Q>270.所以若這種鳥類為趕路程，飛行的速度不能低于2 m/s時(shí)，其耗氧量至少要270個(gè)單位.10 .某醫(yī)藥機(jī)構(gòu)測(cè)定，某種藥品服用后每毫升血液中的含 藥量y（微克）與時(shí)間t（小時(shí)）之間近似滿足如圖所示的曲 線.寫出服用藥品后y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）據(jù)進(jìn)一步測(cè)定，每毫升血液中含藥量不少于0.50微克時(shí)治療有效，求服用藥品后的有效時(shí)間.kt, 0<t<

32、1,解（1）由題中圖象，設(shè)y=1 t a，t>1.4t0<t<1,t 3,t>1.t>1t-3>0.50,當(dāng)t= 1時(shí)，由y= 4,彳3k= 4;1 a，1，i一,當(dāng)2=4,得a= 3.所以y=0<t< 1, (2)由 y>0.50,得或40 0.50一1ri i 解得1&t&4,因此服用藥品后的有效時(shí)間為84-g = 31（小時(shí)）. 8 8B級(jí)能力提升11 .將甲桶中的a L水緩慢注入空桶乙中，t min后甲桶中剩余的水量符合指數(shù)衰 減曲線y= aent.假設(shè)過5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再過 m min甲桶中的a

33、 水只有4 L,則m的值為（）A.5B.8C.9D.10解析V 5 min后甲桶和乙桶的水量相等，1 函數(shù) y= f（t） = aent¥兩足 f（5）= ae5n=2a,t一1111 5可行 n = 5“2， f（t）= a，2 ,因此，當(dāng)k min后甲桶中的水只有a L時(shí)， kk1 5 115 1f（k） = a 2 =a,即 2 =0 .k= 10,由題可知 m=k5=5. 答案 A12 .某位股民購進(jìn)某支股票，在接下來的交易時(shí)間內(nèi)，他的這支股票先經(jīng)歷了n次漲停（每次上漲10%）,又經(jīng)歷了 n次跌停（每次下跌10%）,則該股民這支股票 的盈虧情況（不考慮其他費(fèi)用）為（）A.略有

34、盈利B.略有虧損C.沒有盈利也沒有虧損D.無法判斷盈虧情況解析 設(shè)該股民購這支股票的價(jià)格為 a元，則經(jīng)歷n次漲停后的價(jià)格為a（1 + 10%）n = ax 1.1n元，經(jīng)歷 n 次跌停后的價(jià)格為 ax 1.1nx（1 10%）n=ax 1.1nx 0.9n = aX（1.1X0.9）n = 0.99n a<a,故該股民這支股票略有虧損.答案 B13 .物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻規(guī)律來描述：設(shè)物體的初始溫度是 t1 hT0,經(jīng)過一定時(shí)間t（單位：min）后的溫度是T,則T Ta= （T。一Ta）萬，其中Ta 稱為環(huán)境溫度，h稱為半衰期.現(xiàn)有一杯用85 C熱水沖的速溶咖啡，放在21

35、c的 房間中，如果咖啡降到37 c需要16 min,那么這杯咖啡要從37 c降到29 C, 還需要 min.解析由題意知Ta=21 C.令 To=85 C , T= 37 C ,16得 37 21 = (85 21) 2 h,解得 h = 8.令 T0=37 C , T= 29 C , t貝U 29 21 = (37 21) 2 8,解得 t=8.答案 814.(2020佛山一中月考)近年來，“共享單車”的出現(xiàn)為市民“綠色出行”提供了極大的方便，某共享單車公司計(jì)劃在甲、乙兩座城市共投資 240萬元.根據(jù)行 業(yè)規(guī)定，每個(gè)城市至少要投資 80萬元，由前期市場(chǎng)調(diào)研可知：甲城市收益 P與 投入a(單位

36、：萬元)滿足P = 472a-6,乙城市收益Q與投入a(單位：萬元)滿足1V VQ= 4a+2, 80、a、120,設(shè)甲城市的投入為乂(單位：萬元)，兩個(gè)城市的總收益 32, 120<a<160,為f(x)(單位：萬元).(1)當(dāng)投資甲城市128萬元時(shí)，求此時(shí)公司的總收益；(2)試問：如何安排甲、乙兩個(gè)城市的投資，才能使公司總收益最大？解(1)當(dāng)x=128,即甲城市投資128萬元時(shí)，乙城市投資112萬元，1所以 f(128)=4X/2>H2B6 + 4X 112+ 2=88(萬兀).因此，此時(shí)公司的總收益為88萬元.(2)由題意知，甲城市投資x萬元，則乙城市投資(240x)萬元， x>80,依題意得解得80< x< 160,240 x> 80,當(dāng) 800 x<120,即 120<240 x< 160 時(shí),f(x) = 4V2x 6+ 32=4而+26<26+ 16715.當(dāng) 120&x&160,即 80W240 x< 120 時(shí)，f(x) = 4 收一6+ 4(240 -x)+2=-4x+ 4"72x+ 56.令 t=Vx,貝