“宇振杯”上海市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽及答案

1、1“宇振杯”上海市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽、填空題（15題每小題6分，610題每小題8分，共70分）若這五位數(shù)能被7整除，則嵌入的數(shù)碼1.在2002當(dāng)中嵌入一個(gè)數(shù)碼組成五位數(shù)20W02設(shè)“W中數(shù)字為a,那么五位數(shù)20W02的數(shù)值為2 因?yàn)?002除以7的余數(shù)為3,所以，要使得五位數(shù)10000 a 100 2 20002 a 100,20W02能被7整除，那么a 100除以7的余數(shù)必須為4 ,而0即a 2或者9,所以,100, 200, 300,嵌入的數(shù)碼“L , 900中，被7除余數(shù)為4的只有200和900,是2或92.若實(shí)數(shù)a滿足a3ax解為【解析】已知a(1 a)/ 2 a(a1)(1)如果a 0,上

2、不等式組等價(jià)于即,個(gè)矛盾不等式組，所以這種情況應(yīng)舍去。(2)如果a 0 ,上不等式組等價(jià)于a2 11或者a 1此時(shí)，不等式x a 1 ax等價(jià)于（1 a）x 1因?yàn)閍1a么（1 a）x 1 a等價(jià)于x a,所以，原不等式的解為 x1 a3.如圖，一張矩形紙片沿BC折疊，頂點(diǎn) A落在點(diǎn)A處，第二次過(guò)1 aA再折疊，使折痕DE PBC若AB 2. AC 3,則梯形BDEC的面積為A C E【解析】9由紙片的折疊方式知，ABC ABC,所以，過(guò) A點(diǎn)到BC的高等于過(guò) A點(diǎn)到BC的高，即ABC中BC上的高與 ADE中DE上的高的比例為 1:2,又因?yàn)镈E P BC所以 ABC : ADE ,由相似三角

3、形的性質(zhì)得ABC的面積： ADE的面積 ,24從而，梯形BDEC的面積為 ABC的面積的3倍，已知AB 2, AC 3,所以， ABC1的面積為2 3 3從而梯形BDEC的面積為3 3 9。 24 .已知關(guān)于正整數(shù)n的二次式y(tǒng) n2 an(n為實(shí)常數(shù))，若當(dāng)且僅當(dāng)n 5, y最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是【解析】 11 a 95 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有一個(gè)正方形ABCD,它的4個(gè)頂點(diǎn)A(10,0)、B(0,10)、橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn))C( 10,0)、D(0, 10),則該正方形內(nèi)及邊界上共有 個(gè)整點(diǎn)(即縱、【解析】 221已知A(10,0)、B(0,10),所以，直線 AB的方程為y x

4、 10在 ABO內(nèi)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 1時(shí)，如果這個(gè)點(diǎn)在直線 AB上，那么這個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1 10 9,所以，只要橫坐標(biāo)為1,縱坐標(biāo)大于等于0小于等于9的點(diǎn)都在 ABO的內(nèi)部 或者AB邊或者AO邊上，共10個(gè)點(diǎn)，顯然這些點(diǎn)均符合題意。同理，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2時(shí)，如果這個(gè)點(diǎn)在直線AB上，那么這個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2 10 8,所以，只要橫坐標(biāo)為 2,縱坐標(biāo)大于等于0小于等于8的點(diǎn)都在 ABO的內(nèi) 部或者AB邊或者AO邊上，共9個(gè)點(diǎn)，顯然這些點(diǎn)均符合題意。L L當(dāng)一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 9時(shí)，如果這個(gè)點(diǎn)在直線 AB上，那么這個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 9 10 1, 所以，只要橫坐標(biāo)為 9,縱坐標(biāo)大于等于 0小于等于

5、1的點(diǎn)都在 ABO的內(nèi)部或者 AB邊或 者AO邊上，共2個(gè)點(diǎn)，顯然這些點(diǎn)均符合題意。當(dāng)一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為10時(shí)，只有(10, 0)點(diǎn)符合題意，所以，在 ABO內(nèi)共有 10 9 8 L 1 11 5 55個(gè)點(diǎn)符合題意，由正方形的對(duì)稱性知，BOC、 DOC、AOD中各有55個(gè)點(diǎn)符合題意，顯然，(0, 0)點(diǎn)也符合題意。綜上，符合題意的點(diǎn)共有 55 4 1 221個(gè)。6.如圖，P為 ABC形內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)D、E、F分別在BC、CA、AB上，過(guò)A、C分另IJ作PD、PE、PF的平行線,PD交對(duì)邊或?qū)叺难娱L(zhǎng)線于點(diǎn) X、Y、Z若PAB、 1 4，PE 1BY 3PFCZ【解析】5127.若ABC的三邊兩兩不等

6、，面積為,15且中線AD、BE的長(zhǎng)分別為1和2,則中線CF的長(zhǎng)為【解析】、.68.計(jì)算:1212 100 5000f2-L22 200 5000k2 k2 100k5000L 992992 9900 5000【解析】 999. 若正數(shù)x、y、z 滿足 xyz(x則(xy)(y z)的最小可能值為【解析】 4因?yàn)閤、y、z 0,則(x y)(y z)xy yy xz yz(x y z)y yz令(xz)yyz b(x y)(y z) xy yyxz yz (x yz) y yz a b又因?yàn)閍b(x y z)xyz 、. 42,所以a b的最小值為4 ,即(xy)( y z)的最小值為4。10.

7、若關(guān)于x的方程Vx7 1藪123c恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍3【斛析】 a 0或a 一16令收 y ,則夕 y2,那么原方程等價(jià)于已知原方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，因?yàn)?X2a0必有一個(gè)實(shí)數(shù)解，未完二、（16 分）已知p為質(zhì)數(shù)，使二次方程2px p25 P 1 0的兩根都是整數(shù),求出p的所以可能值?！窘馕觥恳?yàn)橐阎畏匠逃姓麛?shù)2/24p 4( p 5p1)4（5 p 1）為完全平方，從而， 5p1為完全平方,令5p1n2,注意到p2,故n 4,且n為整數(shù)，于是5p(n 1)(n 1)則n 1中至少有一個(gè)是5的倍數(shù),n 5k 1 （k為正整數(shù)），因此,5p 125k2 10kk(5k

8、2)p為質(zhì)數(shù),5k 2 1,知 k 1 , p 3或7;當(dāng)p 3時(shí)，已知方程變成x26x 7X11 ， x27；當(dāng)p 7時(shí)，已知方程變成x214x 13 0 ,解得 x11 ， X213,所以p 3或7。三、（16分）已知它的3個(gè)頂點(diǎn)分別在等腰90)，l的等腰直角三角形（ZXYZ是直角邊長(zhǎng)為Rt ABC(頂點(diǎn)Z在斜邊AB上，取XY的中點(diǎn)M ,選CM、ZM、CCZ并作邊AB上的高CN ,則CZ CM MZ 1XY 1XY XY ,2CA 2CN 2如圖頂點(diǎn)Z在直角邊CA（或CB）上，由對(duì)稱性，不妨設(shè) Z在CA上，設(shè)CX過(guò)Y作YH CA于H ,易證 ZYH XZC ,得HZAHY為等腰三角形，則中

9、，由勾股定理有y2AH y ,設(shè) AC b ,則 2y_22-2(b 2y)1 ，即 5y 4byCX x,HY CZ y,又顯然x b,則 x b 2y,在 CXZb2 1 0 ,因?yàn)閥為實(shí)數(shù)，則16b2 20(b2 1) 20 4b2 0, b V5,當(dāng) b V5 時(shí)，y 綜合（1）、（2）知，b的最大值為押。四、（18分）平面上有7個(gè)點(diǎn)，他們之間可以連一些線段，使7點(diǎn)中的任意3點(diǎn)必存在2點(diǎn)有線段相連，問(wèn)至少要連多少條線段？證明你的結(jié)論?！窘馕觥浚?） 若7個(gè)點(diǎn)中，有一點(diǎn)孤立（即它不與其他點(diǎn)連線），則剩下6點(diǎn)每2點(diǎn)必須連線， 此時(shí)至少要連15條。（2） 若7個(gè)點(diǎn)中，有一點(diǎn)只與另一點(diǎn)連線，則剩下5點(diǎn)每2點(diǎn)必須連線，此時(shí)至少要連11條。7 3（3） 若每點(diǎn)至少引出3條線段，則至少要連 7條線段，由于線段數(shù)為整數(shù)，故此2 時(shí)至少要連11條。（4） 若每點(diǎn)至少引出