圓錐曲線-直線與雙曲線的位置關(guān)系

1、橢圓與直線的位置關(guān)系及判斷方法橢圓與直線的位置關(guān)系及判斷方法判斷方法判斷方法0（1）聯(lián)立方程組）聯(lián)立方程組（2）消去一個(gè)未知數(shù)）消去一個(gè)未知數(shù)（3）復(fù)習(xí)復(fù)習(xí): :相離相切相交直線與雙曲線位置關(guān)系：直線與雙曲線位置關(guān)系：XYO初步感知初步感知分類(lèi)分類(lèi):相離；相切；相交。相離；相切；相交。根據(jù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)判定根據(jù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)判定XYOXYO相離相離:0:0個(gè)交點(diǎn)個(gè)交點(diǎn)相交相交: :一個(gè)交點(diǎn)一個(gè)交點(diǎn)相交相交: :兩個(gè)交點(diǎn)兩個(gè)交點(diǎn)相切相切: :一個(gè)交點(diǎn)一個(gè)交點(diǎn)圖象法圖象法: :把直線方程代入雙曲線方程把直線方程代入雙曲線方程得到一元一次方程得到一元一次方程得到一元二次方程得到一元二次方程直線與雙曲線的直線與雙

2、曲線的漸近線平行漸近線平行相交（一個(gè)交點(diǎn)）相交（一個(gè)交點(diǎn)） 計(jì)計(jì) 算算 判判 別別 式式0=00 直線與雙曲線相交（兩個(gè)交點(diǎn)）直線與雙曲線相交（兩個(gè)交點(diǎn)） =0 直線與雙曲線相切直線與雙曲線相切 0 21,8 ,ABP弦的中點(diǎn)是 2k 8-k中點(diǎn)坐標(biāo)公式與韋達(dá)定理,得-=1 3k -4 22由1 3 得k = 12x直線AB的方程為y-81 = 即直線AB的方程為x-2y+15=0典型例題典型例題: :112222112222,44,44A x yB xyxx解法二:設(shè)則yy111112124,yyyyxxxx1,8 ,ABP弦的中點(diǎn)是12122,16.xxyy1112168,yyxx1112

3、1,2yyABxx直線的斜率為12x直線AB的方程為y-81 = 即直線AB的方程為x-2y+15=0典型例題典型例題: : 例例4 4 設(shè)兩動(dòng)點(diǎn)設(shè)兩動(dòng)點(diǎn)A A、B B分別在雙曲線分別在雙曲線 的兩條漸近線上滑動(dòng)，且的兩條漸近線上滑動(dòng)，且|AB|AB|2 2，求線段，求線段ABAB的中點(diǎn)的中點(diǎn)M M的軌跡方程的軌跡方程. .2214xy-=ox xy yB BA AM M22414xy+=1122212122,2,2222Ay yByyAByyyy設(shè)則由得典型例題典型例題: :22yx5.LC :1A,B35例例 已已知知直直線線與與雙雙曲曲線線相相交交于于兩兩點(diǎn)點(diǎn). .與與雙雙曲曲線線的的漸

4、漸近近線線相相交交于于C C, ,D D兩兩點(diǎn)點(diǎn), , 求求證證: :| |A AC C| |= =| |B BD D| | 分析：只需證明線段分析：只需證明線段AB、CD的中點(diǎn)重合即可。的中點(diǎn)重合即可。證明證明: (1)若若L有斜率，設(shè)有斜率，設(shè)L的方程為的方程為:y=kx+b22222y=kx+b(5k3)x10bkx5b150yx135 典型例題典型例題: :2AB210kbLCA,B,5k30,xx35k 與與相相交交于于兩兩點(diǎn)點(diǎn)22222y=kx+b(5k3)x10bkx5b0yx035 2CD210kbL,D,5k30,xx35k 與漸近線相交于C兩點(diǎn)與漸近線相交于C兩點(diǎn)可可見(jiàn)見(jiàn)A

5、 AB B, ,C CD D的的中中點(diǎn)點(diǎn)橫橫坐坐標(biāo)標(biāo)都都相相同同, ,從從而而中中點(diǎn)點(diǎn)重重合合. .(2)若直線L的斜率不存在,由對(duì)稱(chēng)性知結(jié)論亦成立.若直線L的斜率不存在,由對(duì)稱(chēng)性知結(jié)論亦成立.證明證明: (1)若若L有斜率，設(shè)有斜率，設(shè)L的方程為的方程為:y=kx+b22222y=kx+b(5k3)x10bkx5b150yx135 典型例題典型例題: : 2222練練習(xí)習(xí)題題: :已已知知雙雙曲曲線線C:2x -y =2C:2x -y =2與與點(diǎn)點(diǎn)P 1,2 .P 1,2 .1 1 求求過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)P 1,2P 1,2 的的直直線線l l的的斜斜率率k k的的取取值值范范圍圍, ,使使l l與與

6、C C有有一一個(gè)個(gè)交交點(diǎn)點(diǎn)? ?兩兩個(gè)個(gè)交交點(diǎn)點(diǎn)? ?沒(méi)沒(méi)有有交交點(diǎn)點(diǎn)? ?2 2 是是否否存存在在過(guò)過(guò)P P的的弦弦AB,AB,使使ABAB的的中中點(diǎn)點(diǎn)為為P?P?3 3 若若Q 1,1 ,Q 1,1 ,試試判判斷斷以以點(diǎn)點(diǎn)Q Q為為中中點(diǎn)點(diǎn)的的弦弦是是否否存存在在? ? 312;223.kk 或存在直線y=x+1;不存在練習(xí)題練習(xí)題: :典型例題典型例題: : 2222222222222222xyxy例例6 6 雙雙曲曲線線C:-=1 a0,b0C:-=1 a0,b0 的的離離心心率率為為2,2,abab4 4且且 OA+ OB=OAOB ,OA+ OB=OAOB ,其其中中A 0,-b

7、,B a,0 .A 0,-b ,B a,0 .3 31 1 求求雙雙曲曲線線C C的的方方程程. .2 2 若若雙雙曲曲線線存存在在關(guān)關(guān)于于直直線線l: y = kx+4l: y = kx+4的的對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)點(diǎn)點(diǎn), ,求求實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)k k的的取取值值范范圍圍. . 22113yCx 雙曲線 的方程為 2:0,.k 解 當(dāng)時(shí) 顯然不成立0,k 當(dāng)時(shí) 設(shè)雙曲線上關(guān)于直線l:y=kx+4對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)為P,Q.1lxbk 由PQ,可設(shè)直線AB的方程為y=-2211 ,3yxbxk將y=-代入中 得222231230kxkbxbk2310,k 顯然222222224 3130,310kbkbkk bk =即典型

8、例題典型例題: :0002202,31331xykbxkk byk又由根與系數(shù)的關(guān)系,得PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為00,xylM在直線 上2222234,313131k bkbk bkkk即 222210k bk b把代入得01bb 解得或2222313101kkkk 或31,0.32kkk即或且3,3311,00,.322k 的取值范圍是典型例題典型例題: :已知直線已知直線y=ax+1與雙曲線與雙曲線3x2-y2=1相交于相交于A、B兩點(diǎn)兩點(diǎn).是否存在這樣的實(shí)數(shù)是否存在這樣的實(shí)數(shù)a,使使A、B關(guān)于關(guān)于y=2x對(duì)稱(chēng)？對(duì)稱(chēng)？若存在，求若存在，求a;若不存在，說(shuō)明理由若不存在，說(shuō)明理由.練習(xí)題練習(xí)題:

9、 :解：將解：將y=ax+1代入代入3x2-y2=1(6, 6),a 又設(shè)方程的兩根為又設(shè)方程的兩根為x1,x2，A(x1,y1),B(x2,y2), 得得(3-a2)x2-2ax-2=0,它有兩個(gè)實(shí)根，必須它有兩個(gè)實(shí)根，必須0,原點(diǎn)原點(diǎn)O（0，0）在以）在以AB為直徑的圓上，為直徑的圓上，例例7、直線、直線y-ax-1=0和曲線和曲線3x2-y2=1相相交，交點(diǎn)為交，交點(diǎn)為A、B，當(dāng)，當(dāng)a為何值時(shí)，以為何值時(shí)，以AB為為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。1212222a2xx,x x3a3a 典型例題典型例題: :解：將解：將y=ax+1代入代入3x2-y2=1(6, 6),a 又

10、設(shè)方程的兩根為又設(shè)方程的兩根為x1,x2，A(x1,y1),B(x2,y2), 得得(3-a2)x2-2ax-2=0,它有兩個(gè)實(shí)根，必須它有兩個(gè)實(shí)根，必須0,原點(diǎn)原點(diǎn)O（0，0）在以）在以AB為直徑的圓上，為直徑的圓上， OAOB，即，即x1x2+y1y2=0, 即即x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0, (a2+1) x1x2 +a(x1+x2 )+1=0,解得解得a=1.1212222a2xx,x x3a3a 22222a (a +1) +a+1=03a3a 典型例題典型例題: : 2 22 21212121212121212y y例例8:8:已已知知雙雙曲曲線線方方程程: x -=

11、1.: x -=1.2 21 1 過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)A 0,1A 0,1 作作直直線線l l交交雙雙曲曲線線于于P ,PP ,P 兩兩點(diǎn)點(diǎn), ,1 1若若線線段段P PP P 的的中中點(diǎn)點(diǎn)在在直直線線x =x =上上, ,求求直直線線l l斜斜率率k k的的取取值值范范圍圍, ,2 22 2 過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)B 0,bB 0,b 作作斜斜率率為為k kk k0 0 直直線線, ,交交雙雙曲曲線線于于Q ,QQ ,Q 兩兩點(diǎn)點(diǎn), ,1 1若若線線段段Q QQ Q 的的中中點(diǎn)點(diǎn)在在直直線線x =x =上上, ,求求b b的的取取值值范范圍圍. .2 20k 解:設(shè)直線l的方程為y=kx+12222,2230.12k

12、xkxyy=kx+1由得x22220.412 20kkk 33,2k 解得-k1 21.2PP的中點(diǎn)在直線x=上12211.222kxxk=13.k 典型例題典型例題: : 12121112221202,1,.2bx yxyMy解:設(shè)直線Q Q 的方程為y=k x-1直線Q Q 與雙曲線交于Q,QQ Q 的中點(diǎn) 12345則2211222212121212yx-=1 2yx-=1 2x +x =1 y +y =-k+2b y -y=k x -x 12 ,345,11202kkb 并把代入 得2220kbk即2280b因關(guān)于k的方程應(yīng)有兩個(gè)解,故=22bb 或典型例題典型例題: : 例例9 9

13、過(guò)雙曲線過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)的右焦點(diǎn)F F作傾斜角為作傾斜角為6060的直線的直線l，若直線，若直線l與雙與雙曲線右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求雙曲線離心率的曲線右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求雙曲線離心率的取值范圍取值范圍.222210,0 xyababoF Fx xy yle22，）2222222222222222222222xyxy-=1-=1abab由由, ,得得y =3 x-cy =3 x-cb -3ax +6a cx- 3c +ba =0b -3ax +6a cx- 3c +ba =0典型例題典型例題: :練習(xí)練習(xí): : 2222直直線線m: y = kx+1m: y = kx+1和和雙雙曲曲線線x

14、 -y =1x -y =1的的左左支支交交于于A,BA,B兩兩點(diǎn)點(diǎn), ,直直線線l l過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)P -2,0P -2,0 和和線線段段ABAB的的中中點(diǎn)點(diǎn). .1 1 求求k k的的取取值值范范圍圍. .2 2 是是否否存存在在k k值值, ,使使l l在在y y軸軸上上的的截截距距為為1?1?若若存存在在, ,求求出出k k的的值值; ;若若不不存存在在, ,說(shuō)說(shuō)明明理理由由. . 1 12;2.kk不存在例例9、由雙曲線、由雙曲線 上的一點(diǎn)上的一點(diǎn)P與左、右與左、右兩焦點(diǎn)兩焦點(diǎn) 構(gòu)成構(gòu)成 ，求，求 的內(nèi)切圓與的內(nèi)切圓與邊邊 的切點(diǎn)坐標(biāo)。的切點(diǎn)坐標(biāo)。22194xy12FF、12PFF12PFF

15、12FF說(shuō)明：雙曲線上一點(diǎn)說(shuō)明：雙曲線上一點(diǎn)P與雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)與雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn) 構(gòu)成構(gòu)成的三角形稱(chēng)之為焦點(diǎn)三角形，其中的三角形稱(chēng)之為焦點(diǎn)三角形，其中 和和 為三角形的三邊。解決與這個(gè)三角形有關(guān)的問(wèn)題，要充分為三角形的三邊。解決與這個(gè)三角形有關(guān)的問(wèn)題，要充分利用雙曲線的定義和三角形的邊角關(guān)系、正弦定理、余弦利用雙曲線的定義和三角形的邊角關(guān)系、正弦定理、余弦定理。定理。 12FF、12| |PFPF、12|FF典型例題典型例題: :練習(xí)、設(shè)雙曲線練習(xí)、設(shè)雙曲線C： 與直線與直線相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B。（1）求雙曲線）求雙曲線C的離心率的離心率e的取值范圍。的取值范圍。（2）

16、設(shè)直線）設(shè)直線l與與y軸的交點(diǎn)為軸的交點(diǎn)為P，且，且 求求a的值。的值。2221(0)xyaa:1l xy5,12PAPB 練習(xí)練習(xí): : 6 61 e1 e, 2, 2 2,+2,+2 217172 a =2 a =13131 .1 .直線與雙曲線位置的判定方法有幾何法和代數(shù)法；直線與雙曲線位置的判定方法有幾何法和代數(shù)法；2. 2. 中點(diǎn)弦問(wèn)題可通過(guò)設(shè)出直線與雙曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，中點(diǎn)弦問(wèn)題可通過(guò)設(shè)出直線與雙曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)在曲線上代點(diǎn)作差后結(jié)合韋達(dá)定理整體運(yùn)算，利用點(diǎn)在曲線上代點(diǎn)作差后結(jié)合韋達(dá)定理整體運(yùn)算，使問(wèn)題獲解，但須注意檢驗(yàn)直線與雙曲線是否相交。使問(wèn)題獲解，但須注意檢驗(yàn)直線與雙曲線

17、是否相交。3.3.涉及雙曲線的參數(shù)范圍問(wèn)題，求解的辦法是利用問(wèn)涉及雙曲線的參數(shù)范圍問(wèn)題，求解的辦法是利用問(wèn)題的存在性，如直線與雙曲線相交時(shí)；或是運(yùn)用判別題的存在性，如直線與雙曲線相交時(shí)；或是運(yùn)用判別式大于零列不等式求解。式大于零列不等式求解。小結(jié)：小結(jié)： 221.直線l:y =kx+1與雙曲線C:2x -y =1右支交于不同的兩點(diǎn)A,B1 求實(shí)數(shù)k的取值范圍;2 是否存在實(shí)數(shù)k,使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)F?若存在,求出k的值;若不存在,說(shuō)明理由.2.已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且互相垂直，又知C的一個(gè)焦點(diǎn)與點(diǎn)A 1, 2-1 關(guān)于直線y = x-1對(duì)稱(chēng)

18、.1 求雙曲線C的方程.2 是否存在直線y =kx+b與雙曲線C交于P,Q兩點(diǎn),使 2PQ恰被點(diǎn),1 平分?33 設(shè)直線y =mx+1與雙曲線C的右支交于B,C兩點(diǎn),另一直線l經(jīng)過(guò)M -2,0及CB的中點(diǎn),求直線l在y軸上的截距t的取值范圍.作業(yè)：作業(yè)：3課本 組題2 22 2y y.(B4).(B4)給給定定雙雙曲曲線線x-= 1,x-= 1,過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)P(1,1)P(1,1)2 2能能否否作作直直線線L L使使L L與與所所給給雙雙曲曲線線交交于于兩兩點(diǎn)點(diǎn)A,B,A,B,且且P P是是線線段段ABAB的的中中點(diǎn)點(diǎn)? ?說(shuō)說(shuō)明明理理由由. .11221122解解 : : 假假設(shè)設(shè)存存在在A(x ,y ),B(x ,y )A(x ,y ),B(x ,y )為為直直線線L L上上的的兩兩點(diǎn)點(diǎn), ,且且ABAB的的中中點(diǎn)點(diǎn)為為P,P,則則有有 : :2 22 21 11 12 22 22 22 2y yx-= 1x-= 12 2y yx-= 1x-= 12 212121212121212122(x + x )(x - x ) = (y + y )(y - y )2(x + x )(x - x ) = (y + y )(y - y )作業(yè)：作業(yè)：12121212y - yy - y= 2= 2，即即k = 2k = 2x - xx - x L L方方程程為為 : y - 1 = 2(x