多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則（課堂PPT）

1、.1第四節(jié)第四節(jié) 多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分.2一、鏈?zhǔn)椒▌t一、鏈?zhǔn)椒▌t定理定理 dtdvvzdtduuzdtdz 且其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計(jì)算且其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計(jì)算 ( ),( )zftt t則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)可導(dǎo)，可導(dǎo)，),(vufz ),(vu函數(shù)函數(shù)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，可導(dǎo)，可導(dǎo)， ( )ut )(tv t如果函數(shù)如果函數(shù)及及都在點(diǎn)都在點(diǎn)一元復(fù)合函數(shù)一元復(fù)合函數(shù)( ),( )yf uux 求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則ddddddyyu

2、xuxuvtz.3( ),zzzuvouv ( )zzuzvotutvtt dudtd vd t證證()( ),uttt 則則);()(tttv tt 設(shè)設(shè) 有有增增量量，0lim.tdzzz duz dvdttu dtv dt 22()() )uv () o 22()() uvtt 0t0 時(shí)時(shí), ,取取“”號(hào)號(hào)0t 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)， 由于函數(shù)由于函數(shù)),(vufz 在點(diǎn)在點(diǎn)故可微，即故可微，即),(vu有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，.4例例1 設(shè)設(shè) 而而2,xyze ( )yt sin ,xt 其中其中 可導(dǎo)，求可導(dǎo)，求( ) t .dzdtxytzdzz dxz dydtx dty dt 解解z

3、 dxz dyx dty dt 22cos( 2)( )xyxyetet 2cos2( )xyett .51.1.上定理的結(jié)論可推廣到上定理的結(jié)論可推廣到dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz uvwtz以上公式中的導(dǎo)數(shù)以上公式中的導(dǎo)數(shù) 稱為稱為dtdz推廣推廣)(),(),(tttfz 中間變量多于兩個(gè)的情況中間變量多于兩個(gè)的情況: :.6,zzuzvxu xvx yvvzyuuzyz ),(yx的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在, ,且可用下列公式計(jì)算且可用下列公式計(jì)算: : ( , )ux y ),(yxv ),(yx如果如果及及都在點(diǎn)都在點(diǎn)),(vufz 具有對(duì)具有對(duì)x和和y 的偏

4、導(dǎo)數(shù)，且函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，且函數(shù) ( , ), ( , )zfx yx y 則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)),(vu在對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， 2.2.上定理還可推廣到上定理還可推廣到中間變量不是一元函數(shù)中間變量不是一元函數(shù)而是多元函數(shù)的情況：而是多元函數(shù)的情況：.7uvxzy復(fù)合結(jié)構(gòu)如圖示復(fù)合結(jié)構(gòu)如圖示 xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv ( , ), ( , )zfx yx y 鏈?zhǔn)椒▌t的規(guī)律：鏈?zhǔn)椒▌t的規(guī)律：“連線相乘，分線相加連線相乘，分線相加”.8解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu),cossin(vvyeu y

5、z uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cossin(vvxeu uvxzy.9zwvuyxxwwzxvvzxuuzxz ywwzyvvzyuuzyz ( , ), ( , ), ( , )zfx yx yx y ( , ), ( , ), ( , )zfx yx yx y ),(yx在對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，且可用下列公式計(jì)算的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，且可用下列公式計(jì)算鏈?zhǔn)椒▌t的規(guī)律：鏈?zhǔn)椒▌t的規(guī)律： “連線相乘，分線相加連線相乘，分線相加”( , ),vx y ( , ),ux y ( , )wx y 設(shè)設(shè)),(yx都在點(diǎn)都在點(diǎn)具有偏導(dǎo)數(shù)，具有偏導(dǎo)數(shù)，( , ,)zf u

6、 v w 在在則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)( , ,)u v w具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，.10),(yxufz ( , )ux y 即即 ( , ), , ,zfx yx y ,xfxuufxz .yfyuufyz 其中其中兩者的區(qū)別兩者的區(qū)別yyxzxu區(qū)別類似區(qū)別類似3.3.中間變量即有一元函數(shù)中間變量即有一元函數(shù), ,也有多元函數(shù)的情況：也有多元函數(shù)的情況：.11解解tzdtdvvzdtduuzdtdz ttuvetcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet uvtzt.12解解令令, zyxu ;xyzv 記記,),(1uvuff ,

7、),(212vuvuff xwxvvfxuuf ;21fyzf zywxvu.13 zxw2)(21fyzfz ;221zfyzf yzf zf1zvvfzuuf 11;1211fxyf zf2zvvfzuuf 22;2221fxyf 于是于是 zxw21211fxyf 2f y )(2221fxyfyz .)(22221211f yf zxyfzxyf 12wfyzfx zywxvu,21ff .14 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(vufz 具具有有連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，則則有有全全微微分分dvvzduuzdz ;當(dāng)當(dāng)),(yxu 、),(yxv 時(shí)時(shí)，有有dyyzdxxzdz .全微分形式不變性的實(shí)質(zhì)

8、：全微分形式不變性的實(shí)質(zhì)： 無(wú)論無(wú)論z是自變量是自變量x,y的函數(shù)或中間變量的函數(shù)或中間變量u,v 的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的.二、全微分形式不變性二、全微分形式不變性.15dxxvvzxuuz dyyzdxxzdz dyyvvzyuuz dyyudxxuuz dyyvdxxvvzduuz .dvvz .16例例5 設(shè)設(shè) 而而cos ,uzev ,uxy vxy ,.zzxy求求解解(cos )udzd ev cos( sin )uuevduev dv (),dud xyydxxdy (),dvd xydx dy ( cossin )( cossin )uuu

9、udzev y ev dxev x ev dy dyyzdxxzdz cos() sin()xyeyxyxy dx cos()sin()xyexxyxy dy 比較比較.171 1、鏈?zhǔn)椒▌t（連線相乘，分線相加）、鏈?zhǔn)椒▌t（連線相乘，分線相加）2 2、全微分形式不變性、全微分形式不變性（特別注意特殊情況：函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu)的層次）（特別注意特殊情況：函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu)的層次）小結(jié)zzdzdudvuv .18思考題思考題),(xvufz ( ),ux )(xv 設(shè)設(shè)，而，而.dzdx求求xfdxdvvfdxduufdxdz dxdzxf 試問(wèn)試問(wèn)與與是否相同？為什么？是否相同？為什么？uzvxx.19 xxvuxdxduufdxdz),(.),(),(xvuxxvuxfdxdvvf uzvxx( , , ),z