數(shù)列中恒成立問題的研究續(xù)

1、專題：數(shù)列中恒成立問題的研究一、問題提出問題1：已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，若對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_. ，所以，所以對(duì)恒成立， 問題2：二、思考探究探究1：設(shè)首項(xiàng)不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若不等式對(duì)任意正整數(shù)都成立，則實(shí)數(shù)的最大值為_. 解析：a10時(shí)，不等式恒成立，當(dāng)a10時(shí)，將ana1(n1)d，Snna1代入上式，并化簡(jiǎn)得：2，max.探究2：已知常數(shù)0，設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足：a1 = 1，（）（1）若 = 0，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）若對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：（1） = 0時(shí)， 2分， ， 4分（2）， 5分則，（n2）相加，得則（n

2、2） 上式對(duì)n = 1也成立，（） 7分（） - ，得即 9分0，> 0，> 0對(duì)一切恒成立，對(duì)一切恒成立即對(duì)一切恒成立 12分記，則當(dāng)n = 1時(shí)，；當(dāng)n2時(shí)，； 是一切中的最大項(xiàng) 15分綜上所述，的取值范圍是 16分探究3：數(shù)列滿足：（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）當(dāng)時(shí)，是否存在互不相同的正整數(shù)，使得成等比數(shù)列？若存在，給出滿足的條件；若不存在，說(shuō)明理由；（3）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和若對(duì)任意，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍【解】（1）當(dāng)時(shí)，由 得 - 得，所以（）因?yàn)?，所以（）?）當(dāng)時(shí)，若存在成等比數(shù)列，則由奇偶性知所以，即，這與矛盾故不存在互不相同的正整數(shù)，使得成等比數(shù)列（3）三、

3、真題鏈接四、反思提升五、反饋檢測(cè)1. 設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足a4Sn4n1，nN*，且a2，a5，a14構(gòu)成等比數(shù)列數(shù)列滿足對(duì)于任意正整數(shù)m，是使得不等式成立的所有n中的最小值（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的前2m項(xiàng)的和；（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得，若存在，求出滿足條件的實(shí)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解 （1）當(dāng)n2時(shí)，4Sn1a4(n1)1，4an4Sn4Sn1aa4，即aa4an4(an2)2，又an>0，an1an2，當(dāng)n2時(shí)，an是公差為2的等差數(shù)列又a2，a5，a14成等比數(shù)列aa2·a14，即(a26)2a2·(a224)

4、，解得a23由(1)知a11又a2a1312，數(shù)列an是首項(xiàng)a11，公差d2的等差數(shù)列an2n1（2）由（1）得，對(duì)于正整數(shù)n，由，得根據(jù)的定義可知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， （3）不存在，理由如下：證法1：假設(shè)存在實(shí)數(shù)滿足條件，由不等式及得,根據(jù)的定義可知，對(duì)于任意的正整數(shù)m 都有，即對(duì)任意的正整數(shù)m都成立當(dāng)（或）時(shí)，得（或），這與上述結(jié)論矛盾當(dāng)，即時(shí)，得，解得且 不存在正實(shí)數(shù)，使得證法2：用“分離變量求最值”來(lái)做的，假設(shè)存在實(shí)數(shù)滿足條件，由不等式及得,根據(jù)的定義可知，對(duì)于任意的正整數(shù)m 都有由得對(duì)任意正整數(shù)都成立，所以，所以，矛盾，故不存在2. 設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn若，則稱an是“緊密數(shù)列”（1

5、）若數(shù)列an的前n項(xiàng)和，證明：an是“緊密數(shù)列”；（2）設(shè)數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列若數(shù)列an與Sn都是“緊密數(shù)列”， 求q的取值范圍【解】（1）由數(shù)列an的前n項(xiàng)和， 得ann+ ()2分 所以，1+， 4分 因?yàn)閷?duì)任意nN*，0 ，即11+， 所以，11+， 所以，2，即an是“緊密數(shù)列” 6分 （2）解法一：由數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列，得q， 因?yàn)閍n是“緊密數(shù)列”，所以q2 8分 當(dāng)q1時(shí)，Sn=na1，=1+， 所以，1<=1+2， 故q1時(shí)，數(shù)列Sn為“緊密數(shù)列”，故q1滿足題意 10分 當(dāng)q1時(shí)，Sn，則= 因?yàn)閿?shù)列Sn為“緊密數(shù)列”， 所以，=2對(duì)于任意恒成立 （i

6、）當(dāng)q1時(shí)，(1qn)1qn+12(1qn)即對(duì)于任 意恒成立 因?yàn)?qnq1，02q11，q21， 所以 qn(2q1)q1， qn(q2)q(q2)×()1， 所以，當(dāng)q1時(shí)，對(duì)于任意恒成立13分 （ii）當(dāng)1q2時(shí)，(qn1)qn+112(qn1)，即對(duì)于 任意恒成立 因?yàn)閝nq1，2q11，1q20 所以，解得q=1，又1q2，此時(shí)q不存在 綜上所述， q的取值范圍是 16分 解法二：因?yàn)閍n是“緊密數(shù)列”，所以q28分 當(dāng)q1時(shí)，Sn=na1，=1+， 所以，1<=1+2， 故q1時(shí)，數(shù)列Sn為“緊密數(shù)列”，故q1滿足題意 10分 當(dāng)q1時(shí)，Sn，則= 因?yàn)閿?shù)列Sn為“緊密數(shù)