高數(shù) 第二節(jié) 數(shù)列的極限課件

1數(shù)列的概念收斂數(shù)列的性質(zhì)數(shù)列極限的概念概念的引入第二節(jié)數(shù)列的極限第一章函數(shù)與極限2一、概念的引入

極限概念是從常量到變量,從有限到無限,

即從初等數(shù)學(xué)過渡到高等數(shù)學(xué)的關(guān)鍵.

極限的思想源遠流長.3莊子(約公元前355~275年)在《天下篇》“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”.意思是:一尺長的棍子,第一天取其一半,第二天取其剩下的一半,以后每天都取其剩下的一半,這樣永遠也取不完.

中寫道:5意思是:設(shè)給定半徑為1尺的圓,從圓內(nèi)接正6邊形開始,每次把邊數(shù)加倍.求出正12邊形、……等等正多邊形的邊長,正24邊形.邊數(shù)越多,圓內(nèi)接正多邊形越與圓接近,最后與圓周重合,則正多邊形周長與圓周長就沒有誤差了.6正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積7定義按照自然數(shù)的順序排列的一列數(shù)簡記為通項(generalterm),或者一般項.二、數(shù)列(sequenceofnumber)

的概念8如10(2)在平面上畫出自變量坐標軸和因變量坐標軸,注

不可將這串點連成曲線.onxn····1234則數(shù)列的幾何意義是平面上一串分離的點.12如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它.可以要多么小就多么小,則要看?“無限接近”意味著什么?只要n充分大,小到什么要求.當n無限增大時,無限接近于1.14定義如果對于任意給定的正數(shù)(不論它多么小),總存在正整數(shù)N,

使得對于時的一切不等式成立.

收斂于a(convergetoa).或稱數(shù)列記為或那末就稱常數(shù)a是數(shù)列的極限(limit),如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列發(fā)散(diverge).15{xn}有沒有極限,一般地說,但是一旦給出之后,它就是確定了;主要看“后面”的無窮多項.(1)(2)(3)(4)“前面”的有限項不起作用,注16定義

采用邏輯符號將的定義可縮寫為:17數(shù)列極限的幾何意義即18數(shù)列極限的定義通常是用來進行推理注需要預(yù)先知道極限值是多少.和證明極限,而不是用來求極限,因為這里20例證明數(shù)列以0為極限.證要使由于有用定義證數(shù)列極限存在時,關(guān)鍵是任意給定尋找N,但不必要求最小的N.

為了簡化解不等式的運算,常常把作適當?shù)胤糯?21例證所以,說明常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).231.有界性如,有界;無界.定義若存在正數(shù)M,數(shù)n,恒有稱為無界.則稱數(shù)列有界;否則,使得一切自然四、收斂數(shù)列的性質(zhì)

數(shù)軸上對應(yīng)于有界數(shù)列的點都落在閉區(qū)間上.24定理1證由定義,收斂的數(shù)列必定有界.262.唯一性定理2證由定義,故收斂數(shù)列極限唯一.每個收斂的數(shù)列只有一個極限.才能成立.使得27例證區(qū)間長度為1.

反證法假設(shè)數(shù)列收斂，

則有唯一極限a存在.28不可能同時位于長度為1的區(qū)間內(nèi).但卻發(fā)散.30推論如果數(shù)列從某項起有且那么用反證法31在數(shù)列中依次任意抽出無窮多項:所構(gòu)成的新數(shù)列這里是原數(shù)列中的第項,在子數(shù)列中是第k項,4.收斂數(shù)列與其子數(shù)列(subsequence)間的關(guān)系子數(shù)列.叫做數(shù)列?32證是數(shù)列的任一子數(shù)列.若則成立.定理4設(shè)數(shù)列收斂數(shù)列的任一子數(shù)列收斂于同一極限.*********************現(xiàn)取正整數(shù)

K,使于是當時,有從而有由此證明*********************正整數(shù)

K33

由此定理可知,但若已知一個子數(shù)列發(fā)散,或有兩個子數(shù)列收斂于不同的極限值,可斷定原數(shù)列是發(fā)散的.一般不能斷定原數(shù)列的收斂性;僅從某一個子數(shù)列的收斂斂于a.數(shù)列的奇子數(shù)列和偶子數(shù)列均收斂于同一常數(shù)a時,則數(shù)列也收34例試證數(shù)列不收斂.證因為的奇子數(shù)列不收斂.收斂于而偶子數(shù)列所以數(shù)列

收斂于35數(shù)列數(shù)列極限收斂數(shù)列的性質(zhì)收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系.五、小結(jié)研究其變化規(guī)律;極限思想,精確定義,幾何意義;有界性,唯一性,保號性,36思考題“”恒有是數(shù)列