數(shù)學(xué)模型后詳細(xì)答案

1、數(shù)學(xué)模型作業(yè)六道題作業(yè)一一垂釣俱樂部鼓勵垂釣者將釣上的魚放生，打算按照放生的魚的重量給予獎勵，俱樂部只準(zhǔn)備了一把軟尺用于測量，請你設(shè)計按照測量的長度估計魚的重量的方法。假定魚池中只有一種鱸魚，并且得到8條魚的如下數(shù)據(jù)（胸圍指魚身的最大周長）： 身長/cm36.831.843.836.832.145.135.932.1質(zhì)量/g76548211627374821389652454胸圍/cm24.821.327.924.821.631.822.921.6先用機理分析建立模型，再用數(shù)據(jù)確定參數(shù)。解：要求魚的體重，我們利用質(zhì)量計算公式：M=V。我們假定魚池中是同一種魚，于是可以近似地考慮其密度是相同的。

2、至于魚的體積問題，由于是同一種類，可以假定這種魚在體型上是一致的。我們假設(shè)魚的體積和魚身長的立方成正比。即：V=k1L3，因此，模型為：模型一利用Eviews軟件，用最小二乘法估計模型中的參數(shù)K1，如下圖1所示：圖1從圖1結(jié)果可以得到參數(shù)K1=0.014591，所以模型為：上述模型存在缺陷，因為它把肥魚和瘦魚同等看待。因此，有必要改進模型。如果只假定魚的橫截面是相似的，假設(shè)橫截面積與魚身最大周長的平方成正比，即：V=k2d2L，因此，模型為：模型二利用Eviews軟件，用最小二乘法估計模型中的參數(shù)K2，如下圖2所示：圖2從圖2可以得到參數(shù)K2=0. 032248，所以模型為：將實際數(shù)據(jù)與模型結(jié)

3、果比較如表1所示：表1實際數(shù)據(jù)M76548211627374821389652454模型一M1727.165469.2141226.061727.165482.6291338.502675.108482.619模型二M2729.877465.2481099.465729.877482.9601470.719607.106483.9602.P131.2 一家出版社準(zhǔn)備在某市建立兩個銷售代理點，向7個區(qū)的大學(xué)生售書，每個區(qū)的大學(xué)生數(shù)量（單位：千人）已經(jīng)表示在圖上。每個銷售代理點只能向本區(qū)和一個相鄰區(qū)的大學(xué)生售書，這兩個代理點應(yīng)該建在何處，才能使所能供應(yīng)的大學(xué)生的數(shù)量最大？建立該問題的整數(shù)線性規(guī)劃模

4、型并求解。 解：1253476將大學(xué)生數(shù)量為34、29、42、21、56、18、71的區(qū)分別標(biāo)號為1、2、3、4、5、6、7區(qū)，畫出如下區(qū)域區(qū)之間的相鄰關(guān)系： 記r 為第i區(qū)的大學(xué)生人數(shù)，用0-1變量xij=1表示（i，j）區(qū)的大學(xué)生由一個代售點供應(yīng)圖書（i<j，且i，j相鄰），否則xij=0，建立該問題的整數(shù)線性規(guī)劃模型。即：將上述建立的模型輸入LINGO，如下： modle: max=63*x12+76*x13+71*x23+85*x25+63*x34+77*x45+39x*x46+74*x56+89*x67+92*x47 s.t. x12+x13+x23+x24+x25+x34+x

5、45+x46+x47+x56+x67<=2; x12+x13<=1; x12+x23+x24+x25<=1; x13+x23+x34<=1; x24+x45+x56<=1; x46+x56+x67<=1 gin(x12); gin(x13); gin(x23); gin(x25); gin(x34); gin(x45); gin(x46);gin(x47); gin(x67); End運行，得到的輸出如下： Local optirnal solution found at iteration Objective value: Vauable Value Re

6、duced Cost x12 0.000000 0000000 x13 0.000000 0000000 x23 0.000000 0000000 x24 0.000000 0000000 x25 1.000000 0000000 x34 0.000000 0000000 x45 0.000000 0000000 x46 0.000000 0000000 x47 1.000000 0000000 x56 0.000000 0.000000 x67 0.000000 0000000 從上述結(jié)果可以得到：最優(yōu)解 (其他的均為0)，最優(yōu)值為177人. 即：第2、5區(qū)的大學(xué)生由一個銷售代理點供應(yīng)圖書，

7、代理點在2區(qū)或者5區(qū)，第4、7區(qū)區(qū)的大學(xué)生由另一個銷售代理點供應(yīng)圖書，代理點在4區(qū)或者7區(qū)。作業(yè)二3.P181.14 在魚塘中投放n0尾魚苗，隨著時間的增長，尾數(shù)將減少而每尾的重量將增加。(1) 設(shè)尾數(shù)n(t) 的(相對)減少率為常數(shù);由于喂養(yǎng)引起的每尾魚重量的增加率與魚表面積成正比，由于消耗引起的每尾魚重量的減少率與重量本身成正比。分別建立尾數(shù)和每尾魚重的微分方程，并求解。(2) 用控制網(wǎng)眼的辦法不捕小魚，到時刻T才開始捕撈，捕撈能力用尾數(shù)的相對減少量|/n| 表示，記作E，即單位時間捕獲量是En(t)。問如何選擇T和E，使從T開始的捕獲量最大。解：（1）魚塘的初始魚苗為n0尾，且隨著時間的

8、增長，尾數(shù)將減少。設(shè)尾數(shù)n(t) 的(相對)減少率為為k1，因此由題意建立微分方程為：求解得： 在魚塘里，由于喂養(yǎng)引起的每尾魚重量的增加率與魚表面積成正比，即：在魚塘里，由于消耗引起的每尾魚重量的減少率與重量本身成正比，即：所以每尾魚重量的凈增長率r(t)為：因此，建立微分方程為：因為該微分方程涉及多個變量間的數(shù)量關(guān)系，所以我們暫時無法求解該微分方程。但是要想解決此微分方程還需要更多的信息，例如，每尾魚表面積與其重量間的關(guān)系，一旦此關(guān)系確定，便可輕松解出每尾魚的質(zhì)量隨時間的變化，即m(t)。（2）用控制網(wǎng)眼的辦法不捕小魚，假設(shè)t=T時開始捕撈，且單位時間的捕撈率為E，依題意建立微分方程：因此得

9、:所以單位時間的捕撈魚的尾數(shù)為En(t)，因此從T時刻開始的總捕撈量為：問題就轉(zhuǎn)化為求E和的值，使得y最大，由于條件不足導(dǎo)致m(t)求解不出，因此無法求出y的具體解釋式。4.P213.2 雨滴的速度v與空氣密度、粘滯系數(shù)和重力加速度g有關(guān)，其中粘滯系數(shù)的定義是：運動物體在空氣中受的摩擦力與速度梯度和接觸面積的乘積成正比，比例系數(shù)為粘滯系數(shù)，用量綱分析方法給出速度v的表達式。解：雨滴速度問題中涉及的物理量：雨滴的速度，空氣密度，粘滯系數(shù),重力加速度，長度。要尋找的關(guān)系是：更一般的將各個物理量之間的關(guān)系寫作：這里沒有因變量與自變量之分，進而設(shè)：其量綱表達式為：其中L，M，T是基本量綱。因此量綱表達

10、式可以寫成:根據(jù)量綱原則可寫成：量綱矩陣為：解得方程的基本解為：將（2）代入（1）可得兩個相互獨立的無量綱量為了得到形如的關(guān)系，取，其中是某個函數(shù)，所以（2）式為：于是：作業(yè)三5.P248.13 一個島嶼上棲居著食肉爬行動物和哺乳動物，又長著茂盛的植物。爬行動物以哺乳動物為食物，哺乳動物又依賴植物生存。在適當(dāng)假設(shè)下建立三者關(guān)系的模型，求其平衡點。解：、分別表示植物、哺乳動物、食肉爬行動物在時刻的數(shù)量。假設(shè)不考慮植物、哺乳動物和食肉爬行動物對自身的阻滯增長作用。 設(shè)為植物的固有增長率，而哺乳動物的存在使植物的增長率減少，設(shè)減小的程度與捕食者數(shù)量成正比，于是建立植物數(shù)量的模型：比例系數(shù)反映了哺乳動

11、物消耗植物的能力。哺乳動物離開植物無法生存，設(shè)其死亡率為，則哺乳動物獨自存在時有：而植物的存在可以為哺乳動物提供食物，但是食肉爬行動物的存在使哺乳動物數(shù)量減少，設(shè)減少的程度與食肉爬行動物數(shù)量成正比，于是建立哺乳動物數(shù)量模型： 其中比例系數(shù)反映了植物對哺乳動物的供養(yǎng)能力，反映了食肉爬行動物掠取哺乳動物的能力。食肉爬行動物離開動物無法生存，設(shè)其死亡率為，則食肉爬行動物獨自存在時有：而哺乳動物的存在可以為食肉爬行動物提供食物，于是(4)式右端應(yīng)加上哺乳動物對食肉爬行動物的增長作用，設(shè)為，于是建立食肉爬行動物的數(shù)量模型：比例系數(shù)反映了哺乳動物對食肉爬行動物的供養(yǎng)能力。綜上所述，建立如下微分方程組模型

12、求得微分方程組的平衡點為其中平衡解對是沒有意義的。6.P437.9 一個服務(wù)網(wǎng)絡(luò)由k個工作站v1，v2，vk依次串接而成，當(dāng)某種服務(wù)請求到達工作站vi 時， vi 能夠處理的概率為 pi ，轉(zhuǎn)往下一站vi+1處理的概率為 qi（i=1,2,. ,k-1,設(shè) qk=0），拒絕處理的概率為 ri ，滿足pi + qi + ri =1。試構(gòu)造馬氏鏈模型，確定到達 vi的請求平均經(jīng)過多少工作站才能獲得接受或拒絕處理的結(jié)果，被接受和拒絕的概率各多大。解：用隨機變量表示第站對請求服務(wù)的處理方式，表示接受請求表示拒絕請求，用表示第站接受請求的概率，表示第站拒絕請求的概率。表示第站轉(zhuǎn)移至下一站的轉(zhuǎn)移概率。分析可知，第站處理請求的概率和第站處理請求的概率以及轉(zhuǎn)移概率有關(guān)，由此可得 其中， ，由（1）可以計算出個站各自接受和拒絕服務(wù)請求的概率如下表1所示：站次概率 1234 k由獨立重復(fù)事件概率和公式可得服務(wù)請求被接受處理的概率為:服務(wù)請求被拒絕處理的概率為將服務(wù)請求到達工作站記做狀態(tài)，設(shè)表示請求被拒絕，表示請求被接受，于是轉(zhuǎn)移概率矩陣為:轉(zhuǎn)移矩陣的狀態(tài)稱為吸收狀態(tài)，如果馬氏鏈中至少含有一個吸收狀態(tài)，并且從每一個非吸收狀態(tài)出發(fā)，能以正的概率經(jīng)有限次轉(zhuǎn)移到達某一個吸收狀態(tài)，那么這個馬氏鏈稱為吸收鏈。吸收鏈可以寫成簡單的