整式的乘除講義整章

1、 一 整式的乘除 一、同底數(shù)冪的乘法1同底數(shù)冪的乘法法則同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。即：（m，n都是正整數(shù)）。這個公式的特點(diǎn)是：左邊是兩個或兩個以上的同底數(shù)冪相乘，右邊是一個冪，指數(shù)相加。注意：（1）同底數(shù)冪的乘法中，首先要找出相同的底數(shù)，運(yùn)算時，底數(shù)不變，直接把指數(shù)相加，所得的和作為積的指數(shù).（2） 在進(jìn)行同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算時，如果底數(shù)不同，先設(shè)法將其轉(zhuǎn)化為相同的底數(shù)，再按法則進(jìn)行計(jì)算.公式拓展：= 。【典型例題】例1：計(jì)算：（1）； （2）； （3）例2：計(jì)算：（1） （2）（3） （4）總結(jié) 例3、計(jì)算： 例4：已知，用含m的代數(shù)式表示。【變式練習(xí)】 (1) 2·(-3)

2、 (2) ·(-)2·3 (3) 2·(-)2·(-)3 (4) ·(-2)·(-)2·(-3)·(-)3(5) (6)x4m ·x4+m·(-x)(7) x6·(-x)5-(-x)8 ·(-x)3 (8) -3·(-)4·(-)52 逆用同底數(shù)冪的法則逆用法則為：（m、n都是正整數(shù)）【典型例題】1（1）已知xm=3，xn=5，求xm+n。 （2）：已知xm=3，xn=5，求x2m+n；（3）：已知xm=3，x2m+n=36，求xn?！咀兪骄毩?xí)】1、已知，

3、 ，試求的值。2、已知，則，3、若為正整數(shù)，且求的值。二冪的乘方（重點(diǎn)）冪的乘方是指幾個相同的冪相乘，如是三個相乘，讀作a的五次冪的三次方。冪的乘方法則：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。即（m，n都是正整數(shù)）?！镜湫屠}】例1、填空：例2、計(jì)算： 例3、已知則例4、例5、，則，例6、將化成指數(shù)相同的冪的形式，并比較它們的大小。 若，試?yán)蒙鲜龇椒ū容^大小例7、已知，試求的值。例8、已知【變式練習(xí)】1、 填空： 2、 若，則3、 ，則4、 計(jì)算：5、 試比較的大小。三積的乘方（重點(diǎn)）1.積的乘方的意義：指底數(shù)是乘積形式的乘方。如：積的乘方法則：積的乘方，等于把積得每一個因式分別乘方，再把所得的冪相

4、乘。如：注：法則中的字母可以表示數(shù)，也可以表示單項(xiàng)式或多項(xiàng)式；運(yùn)用該法則時，注意系數(shù)為-1時的“-”號的確定；三個或三個以上因式的乘方，也具有這一性質(zhì)；該法則可逆用，即 ，逆向運(yùn)用可將算式靈活性變形或簡化計(jì)算。法則的推導(dǎo)【典型例題】例1、填空：例2、計(jì)算： 2. 逆用公式和推廣（1）公式可以逆用，（m，n是正整數(shù)），例如：（2）底數(shù)為三個或三個以上的因數(shù)時，也可以運(yùn)用此法則，即（n是正整數(shù)）（3）當(dāng)運(yùn)用積的乘方法則計(jì)算時，若底數(shù)互為倒數(shù)，則可適當(dāng)變形?！镜湫屠}】例3、已知，求的值例4、計(jì)算： 例5、已知例6、計(jì)算： 【變式練習(xí)】1：計(jì)算（1）； （2）； （3）2：已知，求的值。3：計(jì)算 （

5、1）； （2）四單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘（重點(diǎn)）法則：單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對于只在一個單項(xiàng)式例含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式。注意：1.單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘時，要先把各個單項(xiàng)式的系數(shù)相乘，作為積的系數(shù)，要注意系數(shù)的符號2.相同字母相乘時，實(shí)際上就是按照同底數(shù)冪的乘法法則進(jìn)行，即底數(shù)不變，指數(shù)相加3.對于只在一個單項(xiàng)式里含有的字母，一定要把它連同指數(shù)寫在積中，作為積的因式，切記不要將它漏掉4.單項(xiàng)式乘法法則對于三個以上的單項(xiàng)式相乘同樣適用5.單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的結(jié)果仍然是單項(xiàng)式【典型例題】例1：計(jì)算（1）; (2) ;(3) 【變式練習(xí)】1. 計(jì)算：（1） （2）

6、4y（2xy2）； （3）（2m2n）2+（mn）（m3n） （4）.(-3/2ab)·(-2a)·(-2/3a2b2)（5）.(2×105)2·(4×103) （6）.(-4xy)·(-x2y2)·(1/2y3)（7） .(-1/2ab2c)2·(-1/3ab3c2)3·(12a3b) （8）.(-2xn+1yn)·(-3xy)·(-1/2x2z)（9） x2y·（3xy2z）·（2xy2） （10）（x3）2·（3xy）·（2y2）3 五.單

7、項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘（重點(diǎn)）法則：單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。用式子表示為（m，a，b，c都是單項(xiàng)式）。注意：1.法則中的每一項(xiàng)的含義是不重不漏的2.在運(yùn)算過程中，要注意各項(xiàng)的符號，尤其是負(fù)號的情形3.非零單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的結(jié)果仍是一個多項(xiàng)式，積的項(xiàng)數(shù)與因式中多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同【典型例題】例1.計(jì)算 （1） （2）（3） 例2.化簡 例3.已知：，求代數(shù)式的值. 例4.已知：，求m. 【變式練習(xí)】1.(1)(3a5b-4a2b3-6ab4)·； (2) ；（3）(3x2myn-3-5xmy2n+1)·(-4xm-2y5)；2化簡求值：-

8、ab·（a2b5-ab3-b），其中ab2=-2。6；多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式（1）多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則是由單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則求出，因此兩個多項(xiàng)式相乘只要把其中一個多項(xiàng)式看作單項(xiàng)式即可。例如(a+b)(c+d)可以將(a+b)看成單項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則去計(jì)算。如： =(a+b)c+(a+b)d=ac+bc+ad+bd。（2）為避免丟項(xiàng)，也可以用第一個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)依次去乘第二個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，在沒有合并同類項(xiàng)之前，積的項(xiàng)數(shù)等于這兩個多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)之積。如： =ac+bc+ad+bd。項(xiàng)數(shù)為2×2=4項(xiàng)。（3）對于型如(x+a)(x+b)的積要注意它的特殊性，即(x+a)(

9、x+b)=x2+bx+ax+ab=x2+(a+b)x+ab, 這就是說，含有一個相同字母的兩個一次二項(xiàng)式相乘，得到的積是同一個字母的二次三項(xiàng)式。注意：1.必須做到不重不漏，計(jì)算時按一定的順序2.應(yīng)確定積中每一項(xiàng)的符號3.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘時，如有同類項(xiàng)要合并【典型例題】例1 計(jì)算：( a- b)( a+ b)例2化簡求值：(x+2)(x-3)-2(x-6)(x+5)-3(x2-5x+17) ，其中 x=5 .例3當(dāng)(x2+mx+8)(x2-3x+n)展開后，如果不含x2和x3的項(xiàng)，求出(-m)3n的值。 例4計(jì)算：(3x3-2-5x)(6-7x+2x2)【變式練習(xí)】1.計(jì)算：(1) ； (2)

10、；(3)； (4) ； (5)； (6) .2先化簡，再求值：，其中3.某同學(xué)在計(jì)算一個多項(xiàng)式乘以-3x2時，因抄錯符號，算成了加上-3x2，得到的答案是x2-0.5x+1，那么正確的計(jì)算結(jié)果是多少？4.已知：，且 異號，是絕對值最小的負(fù)整數(shù)，求3A·B-A·C的值.5若（x2+mx+8）（x2-3x+n）的展開式中不含x3和x2項(xiàng)，求m和n的值二、乘法公式1平方差公式（重點(diǎn)）平方差公式：即兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差。這個公式叫做平方差公式。歸納小結(jié)公式的變式，準(zhǔn)確靈活運(yùn)用公式： 位置變化，(x+y)(-y+x)=x2-y2 符號變化，(-x+y)(

11、-x-y)=(-x)2-y2= x2-y2 指數(shù)變化，(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4 系數(shù)變化，(2a+b)(2a-b)=4a2-b2 換式變化，xy+(z+m)xy-(z+m) 增項(xiàng)變化，(x-y+z)(x-y-z) =(xy)2-(z+m)2 =(x-y)2-z2 =x2y2-(z+m)(z+m) =(x-y)(x-y)-z2 =x2y2-(z2+zm+zm+m2) =x2-xy-xy+y2-z2 =x2y2-z2-2zm-m2 =x2-2xy+y2-z2 連用公式變化，(x+y)(x-y)(x2+y2) 逆用公式變化，(x-y+z)2-(x+y-z)2 =(x2-y2)(x2+

12、y2) = (x-y+z)+(x+y-z)(x-y+z)-(x+y-z) =x4-y4 =2x(-2y+2z) =-4xy+4xz一、：平方差公式及其逆用【典型例題】1：求解下列各式.（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） 6(7+1)(7+1)(7+1)(7+1)+1 （8）（9）例題2：1949²-1950²+1951²-1952²+1999²-2000²【變式練習(xí)】1 計(jì)算: (1)； (2)； (3)； (4) ； (5) ； (6) ；7） （8） ； (9) 402398； (10) 79.980.1.2.如果，

13、且，則= 2完全平方公式（重點(diǎn)）完全平方公式即兩數(shù)和（或差）的平方，等于它們的平方和，加（或減）它們的積得2倍。這兩個公式叫做（乘法的）完全平方公式1：完全平方公式其逆用【典型例題】例題1：求解下列各式.（1）位置變化： （2）符號變化：（3）數(shù)字變化： （4）方向變化：（5）項(xiàng)數(shù)變化： （6）公式變化2完全平方公式的運(yùn)用例題4：已知：，求：；例題5例題6已知=0， 求的值； 求的值.例題7若，則 .【變式練習(xí)】1234563逆用1、若，則.2、若是關(guān)于的完全平方式，則.3、多項(xiàng)式x2+kx+25是另一個多項(xiàng)式的平方，則k= .4、已知， 求的值.5、已知，求的值4配方法例題1：已知：x

14、78;+y²+4x-2y+5=0，求x+y的值.【變式練習(xí)】1.已知x²+y²-6x-2y+10=0，求的值.2.已知x²+y²+6x+8y+25=0，求x²-y²的值.3.已知：x²+y²+z²-2x+4y-6z+14=0，求：x+y+z的值.4.已知：x²+y²+=2x+y,求：的值. 5解方程 6如果(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63，求a+b的值.7已知：，求：的值.考點(diǎn)連接題型一：乘法公式在解方程和不等式組中的應(yīng)用解方程：題型二：應(yīng)用完全平方公式求值設(shè)m+n

15、=10，mn=24，求的值。題型三：巧用乘法公式簡算計(jì)算：（1）； （2）題型四：利用乘法公式證明對任意整數(shù)n，整式是不是10的倍數(shù)？為什么？題型五：乘法公式在幾何中的應(yīng)用已知ABC的三邊長a，b，c滿足，試判斷ABC的形狀。整式的除法1.同底數(shù)冪的除法法則: 同底數(shù)冪相除,底數(shù) ,指數(shù) . 即 (a0,m,n都是正整數(shù),并且mn) 零指數(shù)冪: 任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于 . 即 ，其中要求a不能為 ?！窘?jīng)典例題】（1）. . . . 若，則x= .（2）. （3）. （4）. （5）. （6）2.若，求。2單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商式的因式，對于只在被除式里含有的

16、字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式注：系數(shù)先相除，所得的結(jié)果作為商的系數(shù)，特別注意系數(shù)包括前面的性質(zhì)符號被除式里單獨(dú)有的字母及其指數(shù)，作為商的一個因式，不要遺漏要注意運(yùn)算的順序，有乘方先算乘方，有括號先算括號里特別是同級運(yùn)算一定要從左至右，【經(jīng)典例題】(1)14a3÷2a （2)-8ab3÷2ab2 (3)-16a3c÷4a3 (4)-2a2b2c 3÷（-3ab）2 (5)（6×106) ÷（2×104） (6)【變式練習(xí)】(1) (2)(-0.5a2bx2) 3÷(-ax2) 2； (3)(4×109)÷(-2×103) (4