時(shí)指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算

1、第2課時(shí) 指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算(2)導(dǎo)入新課思路1.碳14測(cè)年法.原來(lái)宇宙射線在大氣層中能夠產(chǎn)生放射性碳14,并與氧結(jié)合成二氧化碳后進(jìn)入所有活組織,先為植物吸收,再為動(dòng)物吸收,只要植物和動(dòng)物生存著,它們就會(huì)不斷地吸收碳14在機(jī)體內(nèi)保持一定的水平.而當(dāng)有機(jī)體死亡后,即會(huì)停止吸收碳14,其組織內(nèi)的碳14便以約5 730年的半衰期開(kāi)始衰變并消失.對(duì)于任何含碳物質(zhì)只要測(cè)定剩下的放射性碳14的含量,便可推斷其年代(半衰期:經(jīng)過(guò)一定的時(shí)間,變?yōu)樵瓉?lái)的一半).引出本節(jié)課題:指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算之分?jǐn)?shù)指數(shù)冪.思路2.同學(xué)們,我們?cè)诔踔袑W(xué)習(xí)了整數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算性質(zhì),那么整數(shù)指數(shù)冪是否可以推廣呢？答案是肯定的.這就是

2、本節(jié)的主講內(nèi)容,教師板書(shū)本節(jié)課題指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算之分?jǐn)?shù)指數(shù)冪.推進(jìn)新課新知探究提出問(wèn)題(1)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)是什么？(2)觀察以下式子,并總結(jié)出規(guī)律：a0,=a2=a;=a4=a;=a3=a;=a5=a.(3)利用(2)的規(guī)律,你能表示下列式子嗎？,(x>0,m,nN*,且n>1).(4)你能用方根的意義來(lái)解釋(3)的式子嗎？(5)你能推廣到一般的情形嗎？活動(dòng)：學(xué)生回顧初中學(xué)習(xí)的整數(shù)指數(shù)冪及運(yùn)算性質(zhì),仔細(xì)觀察,特別是每題的開(kāi)始和最后兩步的指數(shù)之間的關(guān)系,教師引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)方根的意義,用方根的意義加以解釋,指點(diǎn)啟發(fā)學(xué)生類比(2)的規(guī)律表示,借鑒(2)(3),我們把具體推廣到一般,

3、對(duì)寫(xiě)正確的同學(xué)及時(shí)表?yè)P(yáng),其他學(xué)生鼓勵(lì)提示.討論結(jié)果：(1)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：an=a·a·a··a,a0=1(a0);00無(wú)意義;a-n=(a0);am·an=am+n;(am)n=amn;(an)m=amn;(ab)n=anbn.(2)a2是a10的5次方根；a4是a8的2次方根；a3是a12的4次方根；a5是a10的2次方根.實(shí)質(zhì)上=a,=a,=a,=a結(jié)果的a的指數(shù)是2,4,3,5分別寫(xiě)成了,形式上變了,本質(zhì)沒(méi)變.根據(jù)4個(gè)式子的最后結(jié)果可以總結(jié)：當(dāng)根式的被開(kāi)方數(shù)的指數(shù)能被根指數(shù)整除時(shí),根式可以寫(xiě)成分?jǐn)?shù)作為指數(shù)的形式（分?jǐn)?shù)指數(shù)冪形式）.

4、(3)利用(2)的規(guī)律,=5,=7,=a,=x.(4)53的四次方根是5,75的三次方根是7,a7的五次方根是a,xm的n次方根是x.結(jié)果表明方根的結(jié)果和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是相通的.(5)如果a>0,那么am的n次方根可表示為m=a,即a=m(a>0,m,nN*,n>1).綜上所述,我們得到正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義,教師板書(shū):規(guī)定:正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是a=m(a>0,m,nN*,n>1).提出問(wèn)題負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義是怎樣規(guī)定的?你能得出負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義嗎?你認(rèn)為應(yīng)怎樣規(guī)定零的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義?綜合上述,如何規(guī)定分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義?分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義中,為什么規(guī)定a0,

5、去掉這個(gè)規(guī)定會(huì)產(chǎn)生什么樣的后果?既然指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù),那么整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)是否也適用于有理數(shù)指數(shù)冪呢?活動(dòng)：學(xué)生回想初中學(xué)習(xí)的情形,結(jié)合自己的學(xué)習(xí)體會(huì)回答,根據(jù)零的整數(shù)指數(shù)冪的意義和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義來(lái)類比,把正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義與負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義融合起來(lái),與整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)類比可得有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì),教師在黑板上板書(shū),學(xué)生合作交流,以具體的實(shí)例說(shuō)明a0的必要性,教師及時(shí)作出評(píng)價(jià).討論結(jié)果：負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義是:a-n=(a0),nN*.既然負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義是這樣規(guī)定的,類比正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義可得正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義.規(guī)定:正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意

6、義是a=(a>0,m,nN*,n>1).規(guī)定:零的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是:零的正分?jǐn)?shù)次冪等于零,零的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義.教師板書(shū)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義就是:正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是a=(a>0,m,nN*,n>1),正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是a=(a>0,m,nN*,n>1),零的正分?jǐn)?shù)次冪等于零,零的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義.若沒(méi)有a0這個(gè)條件會(huì)怎樣呢?如(-1)=3-1=-1,(-1)=6(-1)2=1具有同樣意義的兩個(gè)式子出現(xiàn)了截然不同的結(jié)果,這只說(shuō)明分?jǐn)?shù)指數(shù)冪在底數(shù)小于零時(shí)是無(wú)意義的.因此在把根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)時(shí),切記要使底數(shù)大于零,如無(wú)a0的

7、條件,比如式子3a2=|a|,同時(shí)負(fù)數(shù)開(kāi)奇次方是有意義的,負(fù)數(shù)開(kāi)奇次方時(shí),應(yīng)把負(fù)號(hào)移到根式的外邊,然后再按規(guī)定化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,也就是說(shuō),負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪在有意義的情況下總表示正數(shù),而不是負(fù)數(shù),負(fù)數(shù)只是出現(xiàn)在指數(shù)上.規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義后,指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù).有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì):對(duì)任意的有理數(shù)r,s,均有下面的運(yùn)算性質(zhì):（1）ar·as=ar+s(a>0,r,sQ),（2）(ar)s=ars(a>0,r,sQ),（3）(a·b)r=arbr(a>0,b>0,rQ).我們利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義和有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可以解決一些問(wèn)題

8、,來(lái)看下面的例題.應(yīng)用示例思路1例1求值:8;25()-5;().活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生考慮解題的方法,利用冪的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算出數(shù)值或化成最簡(jiǎn)根式,根據(jù)題目要求,把底數(shù)寫(xiě)成冪的形式,8寫(xiě)成23,25寫(xiě)成52, 寫(xiě)成2-1,寫(xiě)成()4,利用有理數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可以解答,完成后,把自己的答案用投影儀展示出來(lái).解：8=(23)=2=22=4;25=(52)=5=5-1=;()-5=(2-1)-5=2-1×(-5)=32;()=()=()-3=.點(diǎn)評(píng)：本例主要考查冪值運(yùn)算,要按規(guī)定來(lái)解.在進(jìn)行冪值運(yùn)算時(shí),要首先考慮轉(zhuǎn)化為指數(shù)運(yùn)算,而不是首先轉(zhuǎn)化為熟悉的根式運(yùn)算,如8=4.例2用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示下

9、列各式.a3·a2·(a>0).活動(dòng)：學(xué)生觀察、思考,根據(jù)解題的順序,把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,再由冪的運(yùn)算性質(zhì)來(lái)運(yùn)算,根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪時(shí),要由里往外依次進(jìn)行,把握好運(yùn)算性質(zhì)和順序,學(xué)生討論交流自己的解題步驟,教師評(píng)價(jià)學(xué)生的解題情況,鼓勵(lì)學(xué)生注意總結(jié).解：a3·=a3·a=a=a;a2·=a2·a=a=a;=(a·a)=(a)=a.點(diǎn)評(píng)：利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義和有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行根式運(yùn)算時(shí),其順序是先把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,再由冪的運(yùn)算性質(zhì)來(lái)運(yùn)算.對(duì)于計(jì)算的結(jié)果,不強(qiáng)求統(tǒng)一用什么形式來(lái)表示,沒(méi)有特別要求,就用分?jǐn)?shù)指數(shù)

10、冪的形式來(lái)表示,但結(jié)果不能既有分?jǐn)?shù)指數(shù)又有根式,也不能既有分母又有負(fù)指數(shù).例3計(jì)算下列各式（式中字母都是正數(shù)）:（1）(2ab)(-6ab)÷(-3ab);（2）(mn)8.活動(dòng)：先由學(xué)生觀察以上兩個(gè)式子的特征,然后分析,四則運(yùn)算的順序是先算乘方,再算乘除,最后算加減,有括號(hào)的先算括號(hào)內(nèi)的,整數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)及運(yùn)算規(guī)律擴(kuò)充到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪后,其運(yùn)算順序仍符合我們以前的四則運(yùn)算順序,再解答,把自己的答案用投影儀展示出來(lái),相互交流,其中要注意到（1）小題是單項(xiàng)式的乘除運(yùn)算,可以用單項(xiàng)式的乘除法運(yùn)算順序進(jìn)行,要注意符號(hào),第（2）小題是乘方運(yùn)算,可先按積的乘方計(jì)算,再按冪的乘方進(jìn)行計(jì)算,熟悉后可以

11、簡(jiǎn)化步驟.解：（1）原式=2×(-6)÷(-3)ab=4ab0=4a;（2）(mn)8=(m)8(n)8=mn=m2n-3=.點(diǎn)評(píng)：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪不表示相同因式的積,而是根式的另一種寫(xiě)法.有了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,就可把根式轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式,用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算了.本例主要是指數(shù)冪的運(yùn)算法則的綜合考查和應(yīng)用.變式訓(xùn)練求值:(1)3··(2).解：(1)3··=3·3·3·3=3=32=9；(2)=(=(=.例4計(jì)算下列各式:（1）()÷（2）(a0）.活動(dòng)：先由學(xué)生觀察以上兩個(gè)式子的特征,然后

12、分析,化為同底.利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪計(jì)算,在第（1）小題中,只含有根式,且不是同次根式,比較難計(jì)算,但把根式先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪再計(jì)算,這樣就簡(jiǎn)便多了,第（2）小題也是先把根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪后再由運(yùn)算法則計(jì)算,最后寫(xiě)出解答.解：（1）原式=(25-125)÷25=(5-5)÷5=5-5=5-5=-5;（2）=a=a=.思路2例1比較,的大小.活動(dòng)：學(xué)生努力思考,積極交流,教師引導(dǎo)學(xué)生解題的思路,由于根指數(shù)不同,應(yīng)化成統(tǒng)一的根指數(shù),才能進(jìn)行比較,又因?yàn)楦笖?shù)最大的是6,所以我們應(yīng)化為六次根式,然后,只看被開(kāi)方數(shù)的大小就可以了.解：因?yàn)?,=,而125123121,所以>>

13、.所以>>.點(diǎn)評(píng)：把根指數(shù)統(tǒng)一是比較幾個(gè)根式大小的常用方法.例2求下列各式的值:(1);(2)2××.活動(dòng)：學(xué)生觀察以上幾個(gè)式子的特征,既有分?jǐn)?shù)指數(shù)冪又有根式,應(yīng)把根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪后再由運(yùn)算法則計(jì)算,如果根式中根指數(shù)不同,也應(yīng)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,然后分析解答,對(duì)(1)應(yīng)由里往外=,對(duì)(2)化為同底的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,及時(shí)對(duì)學(xué)生活動(dòng)進(jìn)行評(píng)價(jià).解：(1)=34×(3)=(3)=(3)=3=;(2)=2×3×()×(3×22)=2·3=2×3=6.例3計(jì)算下列各式的值:（1）(ab2)-1·(a

14、b-3)(b)7;（2）;(3).活動(dòng)：先由學(xué)生觀察以上三個(gè)式子的特征,然后交流解題的方法,把根式用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪寫(xiě)出,利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)去計(jì)算,教師引導(dǎo)學(xué)生,強(qiáng)化解題步驟,對(duì)(1)先進(jìn)行積的乘方,再進(jìn)行同底數(shù)冪的乘法,最后再乘方,或先都乘方,再進(jìn)行同底數(shù)冪的乘法,對(duì)（2）把分?jǐn)?shù)指數(shù)化為根式,然后通分化簡(jiǎn),對(duì)（3）把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù),進(jìn)行積的乘方,再進(jìn)行同底數(shù)冪的運(yùn)算.解：(1)原式=(ab2)(ab-3)·(b)=ababb=ab=ab0=a;另解：原式=(ab-2ab·b)=(ab)=(a2b0)=a;（2）原式=;（3）原式=（ab）-3÷(b-4a-1)=ab

15、-2÷b-2a=ab-2+2=a-1=.例4已知a0,對(duì)于0r8,rN*,式子()8-r·r能化為關(guān)于a的整數(shù)指數(shù)冪的情形有幾種？活動(dòng)：學(xué)生審題,考慮與本節(jié)知識(shí)的聯(lián)系,教師引導(dǎo)解題思路,把根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪后再由運(yùn)算法則計(jì)算,即先把根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,再進(jìn)行冪的乘方,化為關(guān)于a的指數(shù)冪的情形,再討論,及時(shí)評(píng)價(jià)學(xué)生的作法.解：()8-r·r=a·a=a=a.16-3r能被4整除才行,因此r=0,4,8時(shí)上式為關(guān)于a的整數(shù)指數(shù)冪.點(diǎn)評(píng)：本題中確定整數(shù)的指數(shù)冪時(shí),可由范圍的從小到大依次驗(yàn)證,決定取舍.利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進(jìn)行根式運(yùn)算時(shí),結(jié)果可以化為根式形式或保留

16、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式.例5已知f（x）=exe-x,g（x）=ex+e-x.（1）求f（x）2g（x）2的值；（2）設(shè)f（x）f（y）=4,g（x）g（y）=8,求的值.活動(dòng)：學(xué)生觀察題目的特點(diǎn),說(shuō)出解題的辦法,整體代入或利用公式,建立方程,求解未知,如果學(xué)生有難度,教師可以提示引導(dǎo),對(duì)（1）為平方差,利用公式因式分解可將代數(shù)式化簡(jiǎn),對(duì)(2)難以發(fā)現(xiàn)已知和未知的關(guān)系,可寫(xiě)出具體算式,予以探求.解：(1)f（x）2g（x）2=f（x）+g（x）·f（x）g（x）=（exe-x+ex+e-x）（exe-xexe-x）=2ex（2e-x）=4e0=4;另解：(1)f（x）2g（x）2=(ex-

17、e-x)2-(ex+e-x)2=e2x-2exe-x+e-2x-e2x-2exe-x-e-2x=-4ex-x=-4e0=-4;(2)f（x）·f（y）=（exe-x）（eye-y）=ex+y+e-(x+y)ex-ye-(x-y)=g（x+y）g（xy）=4,同理可得g（x）g（y）=g（x+y）+g（xy）=8,得方程組解得g（x+y）=6,g（xy）=2.所以=3.點(diǎn)評(píng)：將已知條件變形為關(guān)于所求量g（x+y）與g（xy）的方程組,從而使問(wèn)題得以解決,這種處理問(wèn)題的方法在數(shù)學(xué)上稱之為方程法,方程法所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想即方程思想,是數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)思想.知能訓(xùn)練課本P54練習(xí) 1、2、3.

18、補(bǔ)充練習(xí)教師用實(shí)物投影儀把題目投射到屏幕上讓學(xué)生解答,教師巡視,啟發(fā),對(duì)做得好的同學(xué)給予表?yè)P(yáng)鼓勵(lì).1.(1)下列運(yùn)算中,正確的是( )A.a2·a3=a6B.(-a2)3=(-a3)2C.(-1)0=0D.(-a2)3=-a6(2)下列各式,（各式的nN,aR）中,有意義的是( )A. B. C. D.(3)等于( )A.a B.a2 C.a3 D.a4(4)把根式2改寫(xiě)成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式為( )A.-2(a-b) B.-2(a-b)C.-2(a-b) D.-2(a-b)(5)化簡(jiǎn)（ab）（-3ab）÷（ab）的結(jié)果是( )A.6a B.-a C.-9a D.9a2.計(jì)算：

19、(1)0.027（）-2+2563-1+（21）0=_.(2)設(shè)5x=4,5y=2,則52x-y=_.3.已知x+y=12,xy=9且xy,求的值.答案：1.(1)D (2)B (3)B (4)A (5)C 2.(1)19 (2)83.解：=.因?yàn)閤+y=12,xy=9,所以(x-y)2=(x+y)2-4xy=144-36=108=4×27.又因?yàn)閤y,所以x-y=-2×33=-63.所以原式=.拓展提升1.化簡(jiǎn).活動(dòng)：學(xué)生觀察式子特點(diǎn),考慮x的指數(shù)之間的關(guān)系可以得到解題思路,應(yīng)對(duì)原式進(jìn)行因式分解,根據(jù)本題的特點(diǎn),注意到:x-1=(x)3-13=(x-1)·(x+

20、x+1);x+1=(x)3+13=(x+1)·(x-x+1);x-x=x(x)2-1=x(x-1)(x+1).構(gòu)建解題思路教師適時(shí)啟發(fā)提示.解：=x-1+x-x+1-x-x=-x.點(diǎn)撥:解這類題目,要注意運(yùn)用以下公式,(a-b)(a+b)=a-b,(a±b)2=a±2ab+b,(a±b)(aab+b)=a±b.2.已知a+a=3,探究下列各式的值的求法.(1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3).解：(1)將a+a=3,兩邊平方,得a+a-1+2=9,即a+a-1=7;(2)將a+a-1=7兩邊平方,得a2+a-2+2=49,即a2+a-2=47;(3)由于a-a=(a)3-(a)3,所以有=a+a-1+1=8.點(diǎn)撥:對(duì)“條件求值”問(wèn)題,一定