微分中值定理證明題

1、微分中值定理的證明題1. 若在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，證明：，使得：。 證：構(gòu)造函數(shù)，則在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，由羅爾中值定理知：，使即：，而，故。2. 設(shè)，證明：，使得。 證：將上等式變形得：作輔助函數(shù)，則在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日定理得： ， 即 ， 即： 。 3. 設(shè)在內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，且，有證明：在 內(nèi)至少存在一點，使得：。 證：顯然在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，又，故由羅爾定理知：，使得 又，故，于是在上滿足羅爾定理條件，故存在， 使得：，而，即證4. 設(shè)函數(shù)在0,1上連續(xù)，在(0,1)上可導(dǎo)，.證明：(1)在(0,1)內(nèi)存在，使得 (2) 在(0,1)內(nèi)存在兩個不同的點，【分析】 第一部分顯然用閉

2、區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理；第二部分為雙介值問題，可考慮用拉格朗日中值定理，但應(yīng)注意利用第一部分已得結(jié)論.【證明】 （I） 令，則F(x)在0，1上連續(xù)，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在 使得，即.（II）在和上對f(x)分別應(yīng)用拉格朗日中值定理，存在兩個不同的點，使得，于是，由問題（1）的結(jié)論有 5. 設(shè)在0，2a上連續(xù)，證明在0,a上存在使得 .【分析】在0,2a上連續(xù)，條件中沒有涉及導(dǎo)數(shù)或微分，用介值定理或根的存在性定理證明。輔助函數(shù)可如下得到【證明】令，在0,a上連續(xù)，且當(dāng)時，取，即有；當(dāng)時，由根的存在性定理知存在使得，即6. 若在上可導(dǎo)，且當(dāng)

3、時有，且，證明：在 內(nèi)有且僅有一個點使得證明：存在性構(gòu)造輔助函數(shù)則在上連續(xù)，且有，由零點定理可知：在內(nèi)至少存在一點，使得，即：唯一性：（反證法）假設(shè)有兩個點，且，使得在上連續(xù)且可導(dǎo)，且在上滿足Rolle定理條件 必存在一點，使得： 即：，這與已知中矛盾 假設(shè)不成立，即：在內(nèi)僅有一個根， 綜上所述：在內(nèi)有且僅有一個點，使得7. 設(shè)在0，1上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且=0，=1。試證至少存在一個(0，1)，使=1。分析：=1=1=x=0 令 ()= 證明： 令 F()= ()在0，1上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，(1)= ()= 由介值定理可知，一個(，1)，使 ()=0 又 (0)=0=0對()

4、在0，1上用Rolle定理，一個(0，)(0，1)使 =0 即 =18. 設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且試證存在和.滿足，使。證 由拉格朗日中值定理知， 9. 設(shè)在上連續(xù),內(nèi)可導(dǎo)證明: 使得                                  

5、;                (1)  證:  (用乘于(1)式兩端,知)(1)式等價于                         

6、0;              (2)                             為證此式,只要取取和在上分別應(yīng)用Cauchy中值定理,則知 &#

7、160;             其中.10. 已知函數(shù)在0 ,1上連續(xù)，在（0 ，1）內(nèi)可導(dǎo)，證明存在，使解：利用柯西中值定理而 則（后面略）11. 設(shè)在時連續(xù)，當(dāng)時，則在內(nèi)有唯一的實根解：因為，則在上單調(diào)增加（中值定理）而故在內(nèi)有唯一的實根12. 試問如下推論過程是否正確。對函數(shù)在上應(yīng)用拉格朗日中值定理得： 即： 因，故當(dāng)時，由 得：，即 解：我們已經(jīng)知道，不存在，故以上推理過程錯誤。 首先應(yīng)注意：上面應(yīng)用拉格朗日中值的是個中值點，是由和區(qū)間的端點而定的，具體地說，與有關(guān)系，是依賴于的，當(dāng)時，不一定連續(xù)地趨于零，它可以跳躍地取某些值趨于零，從而使成立，而中要求是連續(xù)地趨于零。故由推不出13. 證明：成立。 證明：作輔助函數(shù)，則在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)， 由拉格朗日定理知： 即：，因在內(nèi)單調(diào)遞減，故在內(nèi)單調(diào)遞增，故即： 即：。 注：利用拉格朗日中值定理證明不等式，首先由不等式出發(fā)，選擇合適的函數(shù)及相應(yīng)的區(qū)間，然后驗證條件，利用定理得 ，再根據(jù)在內(nèi)符號或單調(diào) 證明不等式。14. 證明：當(dāng)時，。 證明：作輔助函數(shù)則 故在上單調(diào)遞減，又因，在上連續(xù)， 故 =0，即：，即：。 注：利用單調(diào)性證明不等式是常用方法