數(shù)分十七章復(fù)習(xí)題

1、第16章和第17章的復(fù)習(xí)自測題一、了解兩點(diǎn)間的距離的含義和點(diǎn)的鄰域（包括圓鄰域和方鄰域）和空心鄰域的含義，會(huì)用鄰域來描述點(diǎn)與點(diǎn)集的兩類分類關(guān)系（內(nèi)點(diǎn)，外點(diǎn)和邊界點(diǎn)關(guān)系；聚點(diǎn)，孤立點(diǎn)和外點(diǎn)關(guān)系）；理解點(diǎn)列收斂的含義，熟練掌握點(diǎn)列收斂與坐標(biāo)數(shù)列收斂的等價(jià)關(guān)系；并用上述內(nèi)容解決下面的問題：1、據(jù)理說明：設(shè)，（1）的內(nèi)點(diǎn) 的聚點(diǎn)；聚點(diǎn)包含內(nèi)點(diǎn)和非孤立點(diǎn)的邊界點(diǎn)，從而；（2）的孤立點(diǎn) 的邊界點(diǎn)；邊界點(diǎn)包含孤立點(diǎn)和非內(nèi)點(diǎn)的聚點(diǎn)，從而。2、根據(jù)1的結(jié)果證明（的閉包（記為）的兩種表示）：設(shè)，則；3、（聚點(diǎn)的等價(jià)關(guān)系）設(shè)，則下面的說法等價(jià)（1）是的聚點(diǎn)（即對(duì)的任意鄰域，總有）；（2）存在中的一個(gè)點(diǎn)列，使得；（3

2、）對(duì)的任意鄰域，總有為無限集。注：今后考慮聚點(diǎn)時(shí)，可根據(jù)具體問題選擇上面三種說法中的任何一種來反映聚點(diǎn)。二、了解開集（即），閉集（即），（道路）連通集，凸集，開域，閉域和區(qū)域的含義，并用這些集的含義解決下面的問題：1、（開集和閉集的對(duì)偶關(guān)系）是開集是閉集；是閉集是開集；注：此結(jié)果表明：開集和閉集的集合的余運(yùn)算（或稱補(bǔ)運(yùn)算）下，可相互轉(zhuǎn)化。2、開集和閉集的并交差運(yùn)算性質(zhì)：（1）若，為開集，則和仍為開集；（2）若，為閉集，則和仍為閉集；（3）若為開集，為閉集，則為開集（即開集減閉集的差集仍為開集），為閉集（即閉集減開集的差集仍為閉集）。3、設(shè)為上的連續(xù)函數(shù)，記，證明和是開集，和是開集。提示：（1）

3、利用連續(xù)函數(shù)的局部保號(hào)性和開集的定義證明和是開集；（2）注意到，利用開集和閉集的對(duì)偶關(guān)系證明和是開集。三、熟悉上的四個(gè)完備性定理（點(diǎn)列收斂的柯西準(zhǔn)則，閉集套定理，聚點(diǎn)定理（包括致密性定理），有限覆蓋定理）的內(nèi)容，并會(huì)用實(shí)數(shù)的完備性定理或其證明方法證明著四個(gè)定理。四、仔細(xì)體會(huì)二元函數(shù)的各種重極限的含義，清楚重極限與累次極限的區(qū)別和一定條件下的關(guān)系，熟練掌握重極限的常用性質(zhì)（局部保號(hào)性，局部有界性，四則運(yùn)算性，夾逼性），試用上面的內(nèi)容解決下面的問題：1、敘述并證明的局部保號(hào)性和局部有界性；2、證明（極限的夾逼性）：若，在點(diǎn)的某空心鄰域滿足：，且，則。3、證明：若，且對(duì)任意固定的，有存在，則，且。4

4、、歸納討論的（重）極限不存在的兩種方法（特殊路徑法和累次極限法），并用適當(dāng)方法討論下列函數(shù)在原點(diǎn)處的累次極限和重極限：（1）；（2）；（3）。提示：（2）取可得，用待定函數(shù)法取，其中可得，從而不存在。5、歸納并熟練掌握求重極限的常用方法（定義法，四則運(yùn)算法，夾逼性，選擇適當(dāng)變換轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極限），并用夾逼性求下列極限（包括非正常極限）：（1）； （2）；（3）； （4）。五、仔細(xì)體會(huì)二元函數(shù)連續(xù)的含義，了解二元初等函數(shù)的含義以及二元初等函數(shù)的連續(xù)性；熟練掌握連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)（局部保號(hào)性，局部有界性，四則運(yùn)算性，復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性），有界閉集上連續(xù)函數(shù)的整體性質(zhì)（有界性和最值性，一致連續(xù)性）

5、，連通集上連續(xù)函數(shù)的介值性。試用上面解決下面的問題：1、討論下列函數(shù)的連續(xù)性：（1）； （2）；（3）；（4），其中為狄利克雷函數(shù)。2、設(shè)（），試討論它在點(diǎn)的連續(xù)性。3、（復(fù)合函數(shù)的一致連續(xù)性）設(shè)合在平面上的點(diǎn)集上一致連續(xù)，在平面上的點(diǎn)集上一致連續(xù)，且，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)集上一致連續(xù)。六、掌握二元函數(shù)連續(xù)與對(duì)單變量連續(xù)的關(guān)系，仔細(xì)體會(huì)在一定的條件下，由單變量連續(xù)導(dǎo)出連續(xù)的方法，并用這些方法解決下面的問題：1、設(shè)在開域內(nèi)對(duì)，都連續(xù)，且對(duì)連續(xù)關(guān)于是一致的：即對(duì)任意以及任意，存在，當(dāng)時(shí)，對(duì)一切，都有。證明：在開域內(nèi)連續(xù)。2、設(shè)在開域內(nèi)對(duì)，都連續(xù)，且對(duì)任意固定的，是的單調(diào)函數(shù)，證明：在開域內(nèi)連續(xù)。七、熟練

6、掌握函數(shù)可微的定義（兩種形式的定義）和偏導(dǎo)數(shù)的定義，熟習(xí)用定義討論函數(shù)在一點(diǎn)可微的程序，并用這一程序解決下面的問題：1、簡述討論函數(shù)在一點(diǎn)可微的程序；2、設(shè)，試討論（1）在原點(diǎn)處的連續(xù)性；（2）和的存在；（3）在在原點(diǎn)處的可微性。八、簡述在一點(diǎn)的連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)和可微之間的關(guān)系（具體包括可微與連續(xù)的關(guān)系；可微與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的關(guān)系；在一定條件下偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的細(xì)致關(guān)系，偏導(dǎo)數(shù)與可微的細(xì)致關(guān)系）。九、仔細(xì)體會(huì)并熟練掌握多元函數(shù)微分中值公式（包括證明方法：插項(xiàng)法和一元函數(shù)的微分中值公式），并用微分中值公式或證明方法解決下面的問題：1、若在點(diǎn)的內(nèi)存在偏導(dǎo)函數(shù)，在點(diǎn)連續(xù)，且存在，則在點(diǎn)可微。提示

7、：用微分中值公式的證明方法和可微的定義。2、若在點(diǎn)的內(nèi)存在偏導(dǎo)函數(shù)，有界，且在點(diǎn)處對(duì)連續(xù)，則在點(diǎn)連續(xù)。提示：用微分中值公式的證明方法和連續(xù)的定義。3、設(shè)函數(shù)定義在平面上，（1）若，探索與的關(guān)系；提示：考慮對(duì)用一元函數(shù)的微分中值公式可得，它表明不受的影響，即實(shí)質(zhì)上是的一元函數(shù)。（2）若，探索與的關(guān)系；（3）若，則有何特點(diǎn)？十、仔細(xì)體會(huì)偏導(dǎo)數(shù)的求法（包括定義法，即偏導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)是適當(dāng)一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法，運(yùn)算法則），并能并熟練運(yùn)用這些方法求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。試用上述內(nèi)容解決下面的問題：1、設(shè)，求，。注意：其中和的計(jì)算必須用定義2、設(shè)，求，以及，。3、設(shè)，求，。提示：用定義法比較簡單。十一、仔細(xì)體會(huì)并熟練

8、掌握復(fù)合函數(shù)的微分法（注意復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則記憶的復(fù)合關(guān)系圖法或矩陣法），并用復(fù)合函數(shù)微分法解決下面的問題：1、設(shè)具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且，求（1）和；（2）探索，和的關(guān)系提示：（1）在兩邊對(duì)求導(dǎo)得，。（2）在的兩邊再對(duì)求導(dǎo)。2、設(shè)，其中和具有二階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則，其中。3、設(shè)，其中和具有二階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則，其中。十二、仔細(xì)體會(huì)并掌握可微的齊次函數(shù)的微分等式（包括證明方法）（課本P123頁第6題），試用齊次函數(shù)的微分等式或證明方法解決下面的問題：1、設(shè)是次齊次函數(shù)，且具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，證明：，特別，當(dāng)時(shí)，其中。提示：用證明方法。在兩邊對(duì)求二階導(dǎo)數(shù)得，再取即可。2、設(shè)是次齊次函數(shù)，且具有二階連續(xù)

9、的偏導(dǎo)數(shù)，證明：，都是次齊次函數(shù)，即，。提示：用齊次函數(shù)的微分等式，在此式兩邊分別對(duì)，求偏導(dǎo)即可。3、設(shè)可微，且滿足：（），證明：（1）（提示：取記即可）；（2）。提示：在兩邊對(duì)求導(dǎo)，再取即可。十三、我們知道二元函數(shù)的二階混合偏導(dǎo)數(shù)和實(shí)際上可歸結(jié)為函數(shù)，的兩種不同順序的累次極限，因此和的有關(guān)問題實(shí)際上取決于函數(shù)的特性。請(qǐng)仔細(xì)體會(huì)函數(shù)的變形過程，并解決下面的有關(guān)混合偏導(dǎo)數(shù)的問題：1、若，和都在內(nèi)存在（其中），且在點(diǎn)連續(xù)，則存在，且。2、若，都在內(nèi)存在（其中），且，都在點(diǎn)可微，則。3、若在平面上滿足：，探索的特征。提示：記，連續(xù)兩次對(duì)適當(dāng)函數(shù)運(yùn)用一元函數(shù)的微分中值公式可得，存在，使得，從而，表明函數(shù)可表示成的一元函數(shù)和的一元函數(shù)的和。十四、仔細(xì)體會(huì)二元函數(shù)的泰勒公式，試用泰勒公式解決下面的問題1、若函數(shù)在凸開域內(nèi)可微，且和在內(nèi)有界，則在內(nèi)一致連續(xù)。2、試將函數(shù)按，的正數(shù)冪展開，其中。十五、仿照課本P137頁的定理17.11，類似地寫出具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的三元函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)是否為極值點(diǎn)的一個(gè)充分條件。十六、運(yùn)用課本P137頁的定理17.11解決下面的問題（調(diào)和函數(shù)的最值性）：1、設(shè)函數(shù)在開域內(nèi)具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，滿足：（稱為內(nèi)的調(diào)和函數(shù)），且，證明：在開域內(nèi)沒