常見的相遇問題及追及問題等計算公式(非常實用)

1、小學(xué)常用公式 和差問題（和+差）十鼻大數(shù) （和一差）十鼻小數(shù)和倍問題和*倍數(shù)+1）=小數(shù) 差倍問題差*倍數(shù)-1）=小數(shù) 植樹問題1 單條線路上的植樹問題主要可分為以下三種情形 : 如果在非封閉線路的兩端都要植樹 ,那么 :棵數(shù)=全長斗可隔長+1=間隔數(shù)+1 全長=間隔長X棵數(shù)1） 間隔長=全長寧棵數(shù)1）如果在非封閉線路的一端要植樹 ,另一端不要植樹 ,那么 : 棵數(shù)=間隔數(shù)=全長斗可隔長全長=間隔長 棵數(shù) 間隔長=全長棵數(shù)如果在非封閉線路的兩端都不要植樹 ,那么 :棵數(shù)=全長斗可隔長一1=間隔數(shù)一1 全長=間隔長X棵數(shù)+ 1） 間隔長=全長十棵數(shù)+1）2 雙邊線路上的植樹問題主要也有三種情形：

2、 參考單條線路上的植樹問題，注意要除以 2。3 環(huán)形或叫封閉線路上的植樹問題的數(shù)量關(guān)系如下棵數(shù)=間隔數(shù)=全長斗可隔長全長=間隔長淋數(shù) 間隔長=全長咼棵數(shù) 盈虧問題（盈+虧）兩次分配量之差=參加分配的份數(shù) （大盈-小盈）兩次分配量之差=參加分配的份數(shù) （大虧-小虧）兩次分配量之差=參加分配的份數(shù)相遇問題相遇路程=速度和X目遇時間 相遇時間=相遇路程速度和 速度和=相遇路程 詩目遇時間 追及問題 追及距離二速度差 追及時間 追及時間=追及距離速度差 速度差二追及距離 地及時間 流水問題順流速度=靜水速度+水流速度逆流速度=靜水速度-水流速度靜水速度=（順流速度+逆流速度）寧2 水流速度二（順流速度

3、-逆流速度）-2 濃度問題溶質(zhì)的重量+溶劑的重量=溶液的重量溶質(zhì)的重量弓容液的重量X100%f濃度溶液的重量 濃度=溶質(zhì)的重量溶質(zhì)的重量 畝度二溶液的重量利潤與折扣問題利潤=售出價一成本利潤率二利潤 城本X 100%f （售出價 誠本1） x 100%漲跌金額二本金X 張跌百分比折扣二實際售價i原售價x 100%折扣v 1）利息=本金X利率X寸間稅后利息=本金 利率 時間x （ 20%）【題目】一游泳池道長 100 米，甲乙兩個運動員從泳道的兩端同時下水做往返訓(xùn) 練 15 分鐘，甲每分鐘游 81 米，乙每分鐘游 89 米。甲運動員一共從乙運動員身 邊經(jīng)過了多少次？【解答】從身邊經(jīng)過，包括 迎面

4、和追上兩種情況。能迎面相遇【（ 81 + 89） X 1 5+ 1 00】 i 200，取整是 13次。 第一次追上用100- （89 81）= 12.5分鐘，以后每次追上需要12.5 X = 25分鐘，顯然15分鐘只能追上一次。因此經(jīng)過 13+ 1 = 14 次。如果甲乙從A, B兩點出發(fā)，甲乙第n次迎面相遇時，路程和為全長的 2n-1 倍, 而此時甲走的路程也是第一次相遇時甲走的路程的 2n-1 倍（乙也是如此）。 總結(jié)：若兩人走的一個全程中甲走1份M米，? ? ? ? ?兩人走3個全程中甲就走3份M米。 （含義是說，第一次相遇時，甲乙實際就是走了一個全程，第二次相遇時，根據(jù) 上面的公式，

5、甲乙走了 2x2-1=3個全程，如果在第一次相遇時甲走了 m米，那 么第二次相遇時甲就走了 3個m米）下面我們用這個方法看一道例題。湖中有A，B兩島，甲、乙二人都要在兩島間游一個來回。兩人分別從A，B兩島同時出發(fā)，他們第一次相遇時距 A島700米，第二次相遇時距B島400米。問：兩島相距多遠？ 【解】從起點到第一次迎面相遇地點，兩人共同完成 1 個全長，從起點到第二次迎面相遇地點，兩人共同完成 3 個全長， 此時甲走的路程也為第一次相遇地點的 3 倍。畫圖可知，由3倍關(guān)系得到：A, B兩島的距離為？ ？700400=1700米小學(xué)奧數(shù)行程問題分類討論 2010-06-08 12:00:20 來

6、源：網(wǎng)絡(luò)資源 進入論壇行程問題是小升初考試和小學(xué)四大杯賽四大題型之一 （計算、數(shù)論、幾何、 行程）。具體題型變化多樣，形成 10多種題型，都有各自相對獨特的解題方法。 現(xiàn)根據(jù)四大杯賽的真題研究和主流教材將小題型總結(jié)如下， 希望各位看過之后給 予更加明確的分類。一、一般相遇追及問題。 包括一人或者二人時 （同時、異時）、地（同地、異地 ）、 向（同向、相向 ）的時間和距離等條件混合出現(xiàn)的行程問題。在杯賽中大量出現(xiàn)， 約占80%左右。建議熟練應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)解法，即 s=vX結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)畫圖（基本功）解答。 由于只用到相遇追及的基本公式即可解決， 并且要就題論題， 所以無法展開， 但 這是考試中最常碰到的，希

7、望高手做更為細致的分類。二、復(fù)雜相遇追及問題。（1）多人相遇追及問題。比一般相遇追及問題多了一個運動對象，即一般我 們能碰到的是三人相遇追及問題。 解題思路完全一樣， 只是相對復(fù)雜點， 關(guān)鍵是 標(biāo)準(zhǔn)畫圖的能力能否清楚表明三者的運動狀態(tài)。（2）多次相遇追及問題。即兩個人在一段路程中同時同地或者同時異地反復(fù) 相遇和追及，俗稱反復(fù)折騰型問題。分為標(biāo)準(zhǔn)型 （如已知兩地距離和兩者速度，求 n 次相遇或者追及點距特定地點的距離或者在規(guī)定時間內(nèi)的相遇或追及次數(shù)）和純周期問題 （少見，如已知兩者速度，求一個周期后，即兩者都回到初始點時 相遇、追及的次數(shù) ）。標(biāo)準(zhǔn)型解法固定， 不能從路程入手， 將會很繁，最好一

8、開始就用求單位相遇、 追及時間的方法， 再求距離和次數(shù)就容易得多。 如果用折線示意圖只能大概有個 感性認(rèn)識，無法具體得出答案，除非是非考試時間仔細畫標(biāo)準(zhǔn)尺寸圖。一般用到的時間公式是 （只列舉甲、乙從兩端同時出發(fā)的情況，從同一端出 發(fā)的情況少見，所以不贅述 ）：單程相遇時間：t單程相遇=s/（v甲+v乙）單程追及時間：t單程追及=s/（v甲-V乙）第n次相遇時間：Tn= t單程相遇X （2n-1）第m次追及時間：Tm= t單程追及x （2m-1）限定時間內(nèi)的相遇次數(shù)：N相遇次數(shù)=（Tn+ t單程相遇）/2 t單程相遇限定時間內(nèi)的追及次數(shù)：M追及次數(shù)=（Tm+ t單程追及）/2 t單程追及注： 是

9、取整符號之后再選取甲或者乙來研究有關(guān)路程的關(guān)系，其中涉及到周期問題需要注 意，不要把運動方向搞錯了。簡單例題：甲、乙兩車同時從 A地出發(fā)，在相距300千米的A、B兩地之間 不斷往返行駛，已知甲車的速度是每小時 30千米，乙車的速度是每小時 20千米， 問（1）第二次迎面相遇后又經(jīng)過多長時間甲、乙追及相遇 ?（2）相遇時距離中點多少 千米?（3）50小時內(nèi)，甲乙兩車共迎面相遇多少次 ?三、火車問題。特點無非是涉及到車長，相對容易。小題型分為：（1）火車vs點（靜止的，如電線桿和運動的，如人）s火車=（v火車±v人）x經(jīng) 過（2）火車vs線段（靜止的，如橋和運動的，如火車）s火車+s橋=

10、v火車x經(jīng)過 和s火車1+s火車2=（v火車1土火車2） x經(jīng)過合并和（2）來理解即s和=v相對x經(jīng)過把電線桿、人的水平長度想象為 0 即可?；疖噯栴}足見基本公式的應(yīng)用廣度， 只要略記公式， 火車問題一般不是問 題。（3）坐在火車?yán)?。本身所在火車的車長就形同虛設(shè)了，注意的是相對速度的計算。電線桿、橋、隧道的速度為 0（弱智結(jié)論 ）。四、流水行船問題。理解了相對速度，流水行船問題也就不難了。理解記住1 個公式 （順?biāo)?=靜水船速 +水流速度 ）就可以順勢理解和推導(dǎo)出其他公式 （逆水 船速=靜水船速-水流速度，靜水船速=（順?biāo)?逆水船速）水流速度=（順?biāo)?船速-逆水船速）-2）對于流水問題

11、也就夠了。技巧性結(jié)論如下：（1）相遇追及。水流速度對于相遇追及的時間沒有影響，即對無論是同向還是相向的兩船的速度差不構(gòu)成 “威脅”，大膽使用為善。（2）流水落物。 漂流物速度 =水流速度， t1= t2（t1 ：從落物到發(fā)現(xiàn)的時間段， t2： 從發(fā)現(xiàn)到拾到的時間段 ）與船速、水速、順行逆行無關(guān)。此結(jié)論所帶來的時間等 式常常非常容易的解決流水落物問題，其本身也非常容易記憶。例題：一條河上有甲、乙兩個碼頭，甲碼頭在乙碼頭的上游 50 千米處。一 艘客船和一艘貨船分別從甲、 乙兩碼頭同時出發(fā)向上游行駛， 兩船的靜水速度相 同?？痛霭l(fā)時有一物品從船上落入水中， 10分鐘后此物品距客船 5 千米?？?

12、船在行駛 20 千米后掉頭追趕此物品，追上時恰好和貨船相遇。求水流速度。五、間隔發(fā)車問題?？臻g理解稍顯困難，證明過程對快速解題沒有幫助。一 旦掌握了 3 個基本公式，一般問題都可以迎刃而解。（1）在班車?yán)?。即柳卡問題。不用基本公式解決，快速的解法是直接畫時間-距離圖，再畫上密密麻麻的交叉線，按要求數(shù)交點個數(shù)即可完成。如果不畫圖， 單憑想象似乎對于像我這樣的一般人兒來說不容易。例題：A、B是公共汽車的兩個車站，從 A站到B站是上坡路。每天上午8 點到11點從A、B兩站每隔30分同時相向發(fā)出一輛公共汽車。已知從 A站到B 站單程需要105分鐘，從B站到A站單程需要80分鐘。問8： 30、9： 00

13、從A 站發(fā)車的司機分別能看到幾輛從 B站開來的汽車？（2）在班車外。聯(lián)立 3 個基本公式好使。汽車間距=（汽車速度+行人速度）沫目遇事件時間間隔 1汽車間距=（汽車速度-行人速度）追及事件時間間隔 2汽車間距=汽車速度汽車發(fā)車時間間隔-31、 2合并理解，即汽車間距=相對速度用寸間間隔分為2個小題型： 1、一般間隔發(fā)車問題。用 3個公式迅速作答 ;2、求到達 目的地后相遇和追及的公共汽車的輛數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)方法是：畫圖 -盡可能多的列 3個 好使公式-結(jié)合s全程=vX結(jié)合植樹問題數(shù)數(shù)。例題：小峰在騎自行車去小寶家聚會的路上注意到， 每隔 9 分鐘就有一輛公 交車從后方超越小峰。 小峰騎車到半路車壞了，

14、 于是只好坐出租車去小寶家。 這 時小峰又發(fā)現(xiàn)出租車也是每隔 9分鐘超越一輛公交車， 已知出租車的速度是小峰 騎車速度的 5 倍，如果這 3 種車輛在行駛過程中都保持勻速， 那么公交車站每隔 多少分鐘發(fā)一輛車 ?六、平均速度問題。相對容易的題型。大公式要牢牢記住：總路程 =平均速 度總時間。用S=vx寫出相應(yīng)的比要比直接寫比例式好理解并且規(guī)范，形成行 程問題的統(tǒng)一解決方案。七、環(huán)形問題。是一類有挑戰(zhàn)性和難度的題型，分為 “同一路徑 ”、“不同路 徑”、“真實相遇”、“能否看到”等小題型。 其中涉及到周期問題、 幾何位置問題 （審 題不仔細容易漏掉多種位置可能 ）、不等式問題 （針對“能否看到

15、”問題，即問甲能 否在線段的拐角處看到乙 ）。仍舊屬于就題論題范疇，不展開了。八、鐘表問題。是環(huán)形問題的特定引申?；娟P(guān)系式：v分針=12v時針（1）總結(jié)記憶：時針每分鐘走 1/12 格， 0.5°分針每分鐘走 1 格， 6°。時針和 分針“半”天共重合 11 次，成直線共 11 次，成直角共 22次（都在什么位置需要自 己拿表畫圖總結(jié) ）。（2）基本解題思路：路程差思路。即格或角（分針）=格或角 （時針）+格或角（差）格：x=x/12+（開始時落后時針的格+終止時超過時針的格）角：6x=x/2+（開始時落后時針的角度+終止時超過時針的角度）可以解決大部分時針問題的題型，

16、包括重合、 成直角、成直線、成任意角度、 在哪兩個格中間，和哪一個時刻形成多少角度。例題：在 9點 23分時，時針和分針的夾角是多少度 ?從這一時刻開始， 經(jīng)過 多少分鐘，時針和分針第一次垂直 ?（3）壞鐘問題。所用到的解決方法已經(jīng)不是行程問題了，變成比例問題了， 有相應(yīng)的比例公式。這里不做討論了，我也討論不好，都是考公務(wù)員的題型，有 難度。九、自動扶梯問題。仍然用基本關(guān)系式 s扶梯級數(shù)=（v人速度±v扶梯速度）Xt 上或下解決最漂亮。這里的路程單位全部是 “級”，唯一要注意的是 t 上或下要表 示成實際走的級數(shù)/人的速度?？梢訮K掉絕大部分自動扶梯問題。例題：商場的自動扶梯以勻速由

17、下往上行駛， 兩個孩子在行駛的扶梯上上下 走動，女孩由下向上走，男孩由上向下走，結(jié)果女孩走了 40 級到達樓上，男孩 走了 80級到達樓下。如果男孩單位時間內(nèi)走的扶梯級數(shù)是女孩的2倍，則當(dāng)該扶梯靜止時，可看到的扶梯梯級有多少級 ?十、十字路口問題。即在不同方向上的行程問題。沒有特殊的解題技巧，只要老老實實把圖畫對，再通過幾何分析就可以解決。十一、校車問題。就是這樣一類題：隊伍多，校車少，校車來回接送，隊伍 不斷步行和坐車，最終同時到達目的地 (即到達目的地的最短時間，不要求證明 ) 分 4 種小題型：根據(jù)校車速度 (來回不同 )、班級速度 (不同班不同速 ) 、班數(shù)是否 變化分類。(1)車速不

18、變 -班速不變 -班數(shù) 2 個(最常見 )(2)車速不變 -班速不變 -班數(shù)多個(3) 車速不變-班速變-班數(shù) 2個(4) 車速變-班速不變-班數(shù) 2個標(biāo)準(zhǔn)解法：畫圖 -列 3 個式子： 1、總時間=一個隊伍坐車的時間 +這個隊伍步 行的時間 ;2、班車走的總路程 ;3、一個隊伍步行的時間 =班車同時出發(fā)后回來接它 的時間。最后會得到幾個路程段的比值， 再根據(jù)所求代數(shù)即可。 此類問題可以得 到幾個公式，但實話說公式無法記憶， 因為相對復(fù)雜， 只能臨考時抱佛腳還管點 兒用。孩子有興趣推導(dǎo)一下倒可以，不要死記硬背。簡單例題：甲班與乙班學(xué)生同時從學(xué)校出發(fā)去 15 千米外的公園游玩，甲、 乙兩班的步行速度都是每小時 4 千米。學(xué)校有一輛汽車，它的速度是每小時 48 千米，這輛汽車恰好能坐一個班的學(xué)生。 為了使兩班學(xué)生在最短時間內(nèi)到達公園， 那么甲班學(xué)生與乙班學(xué)生需要步行的距離是多少千米 ?十二、保證往返類。簡單例題： A、B 兩人要到沙漠中探險，他們每天向沙 漠深處走 20 千米，已知每人最多可以攜帶一個人 24 天的食物和水。如果不準(zhǔn)將 部分食物存放于途中，其中一個人最遠可深入沙漠多少千米(要求兩人返