無(wú)窮大量與無(wú)窮小量極限的運(yùn)算法則

1、第五講 授課題目：2.4無(wú)窮大量與無(wú)窮小量；2.5極限的運(yùn)算法則。 教學(xué)目的與要求：1、理解無(wú)窮大與無(wú)窮小的概念，弄清無(wú)窮大與無(wú)窮小的關(guān)系；2、掌握極限的運(yùn)算法則。 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：1、無(wú)窮大與無(wú)窮小的概念、相互關(guān)系；2、用極限的運(yùn)算法則求極限。 講授內(nèi)容：2.4無(wú)窮大量與無(wú)窮小量一、無(wú)窮大的概念：引例：討論函數(shù) ，當(dāng) 時(shí)的變化趨勢(shì)。當(dāng) 時(shí)， 越來(lái)越大(任意大)，即：，要 ，也即：，當(dāng) 時(shí)，有：。定義2.9：，變量在其變化過(guò)程中，總有一時(shí)刻，在那個(gè)時(shí)刻以后，成立，則稱(chēng)變量是無(wú)窮大量，或稱(chēng)變量趨于無(wú)窮大，記：。如：，。注 1. 若：，則習(xí)慣地稱(chēng)此時(shí)的極限為無(wú)窮(大)；2.無(wú)窮大不能與很大的數(shù)混淆

2、； 3.無(wú)窮大與無(wú)界變量的區(qū)別；例如： 當(dāng)時(shí)，無(wú)界，但非無(wú)窮大，時(shí)，為有限數(shù)。例1 函數(shù) 又當(dāng) 時(shí)，此函數(shù)是否為無(wú)窮大？為什么？ 解 用反證法若：當(dāng)時(shí)，非無(wú)窮大，取，當(dāng)充分大時(shí)必有，而 與(1)式矛盾。 時(shí)，非無(wú)窮大。4.無(wú)窮大運(yùn)算的結(jié)論： (1)有界變量與無(wú)窮大量之和是無(wú)窮大量；(2)兩個(gè)無(wú)窮大量之積是無(wú)窮大量；(3)有限個(gè)無(wú)窮大量之積是無(wú)窮大量。二、無(wú)窮小量：1.概念：定義2.10 以零為極限的變量稱(chēng)為無(wú)窮小量。例如：，則稱(chēng) 時(shí)，變量 是無(wú)窮小量。注 無(wú)窮小量非很小的數(shù)，但零是可作為無(wú)窮小量的唯一的數(shù)。2.兩個(gè)重要結(jié)論：結(jié)論1 定理2.9 ，。例如： ，而：，。結(jié)論2定理2.10 若：，且

3、：， 推論 若：為常數(shù)，。例如： ，。三、無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的關(guān)系：定理2.11 若：， ；若：。例如：， 。注 無(wú)窮大、無(wú)窮小與極限過(guò)程有關(guān)。四、無(wú)窮小的階(無(wú)窮小的比較)：1.概念：定義2.11 設(shè)是關(guān)于同一過(guò)程的無(wú)窮小，也是關(guān)于同一過(guò)程的極限，若：，則稱(chēng)是比較高階的無(wú)窮小，記：；若：，則稱(chēng)是比低階的無(wú)窮?。蝗簦?，則稱(chēng)是與同階的無(wú)窮小；特別地：時(shí)，稱(chēng)與是等價(jià)的無(wú)窮小，記：。例如：， 時(shí)，與是同階無(wú)窮小。注 1.同一過(guò)程的無(wú)窮小方能比較；2.存在，方能比較。2.重要結(jié)論：定理2.12 若：，且： ，則 =。常用的等價(jià)無(wú)窮?。簳r(shí)，。例2 設(shè)：時(shí)，是比高階的無(wú)窮小，而是比高階的無(wú)窮小，則 解 ，

4、 ；又：， ，即：，故：。2.5 極限的運(yùn)算法則定理2.13 若：，。推論1 ， 。推論2 ， 注 可推廣到有限個(gè)。定理2.14 若：， 推論1 ， 推論2 ， 注 可推廣到有限個(gè)。推論3 ， 推論4 ，為常數(shù) 推論5 ， ()，。定理2.15 若：，。例1 求：。解 注 若：是一多項(xiàng)式，則：。例2 求：若：是。解 注 若： 是多項(xiàng)式，則：=。例3 研究：解 ， 。例4 求：。解 例5 求：。() 解 例6 求：。解 例7 求：。解 例8 求：。解 例9 求：。解 注(是常數(shù)，且：，)。例10 已知：，研究：，。解 ， ；又：；。例11 求：解 。例12 求：解 =。 小結(jié)與提問(wèn):1. 無(wú)窮小與無(wú)窮大是相對(duì)于過(guò)程而言的主要內(nèi)容：兩個(gè)定義，三個(gè)定理，一個(gè)推論；幾點(diǎn)注意：五點(diǎn)注意。2.無(wú)窮小的階意義：同一過(guò)程的無(wú)窮小的比較，比較趨于零的快慢；應(yīng)用：等價(jià)無(wú)窮小在求極限中有非常巧妙