曲線積分與曲面積分19246

1、第十章 曲線積分與曲面積分§10.1 對弧長的曲線積分教學目的：了解對弧長曲線積分的概念和性質，理解和掌握對弧長曲線積分的計算法和應用 教學重點：弧長曲線積分的計算 教學難點：弧長曲線積分的計算 教學內容：一、對弧長曲線積分的概念與性質1 曲線形構件質量設一構件占面內一段曲線弧，端點為，線密度連續(xù)求構件質量。解：（1）將分割（2），（3）（4）2定義 為面內的一條光滑曲線弧，在上有界，用將分成小段，任取一點 作和，令，當時，存在，稱此極限值為在上對弧長的曲線積分（第一類曲線積分）記為 注意：（1）若曲線封閉，積分號（2）若連續(xù)，則存在，其結果為一常數(shù).（3）幾何意義=1，則=L（L為

2、弧長）（4）物理意義 M=（5）此定義可推廣到空間曲線=（6）將平面薄片重心、轉動慣量推廣到曲線弧上重心：，。轉動慣量：， ， （7）若規(guī)定L的方向是由A指向B，由B指向A為負方向，但與的方向無關3對弧長曲線積分的性質a：設，則=+b：=c：=。二 對弧長曲線積分的計算定理：設在弧上有定義且連續(xù)，方程 （），在上具有一階連續(xù)導數(shù)，且，則曲線積分存在，且=。說明：從定理可以看出（1） 計算時將參數(shù)式代入，在上計算定積分。（2） 注意：下限一定要小于上限，< （恒大于零，>0）（3） ：, 時，=同理：，時，=(4) 空間曲線：， =例1計算曲線積分，其中是第一象限內從點到點的單位圓弧

3、解 () ：=() 若是象限從到的單位圓弧（1）=+=+=+ =(2) 若： () =+(3) ：，=例2計算：所圍成的邊界解 在上 = 在上 =在上 =+例3計算：解 ：，= 或=例4： 圍成區(qū)域的整個邊界解 = 交點=+=+ =+=+小結 1.對弧長曲線積分的概念和性質，2.對弧長曲線積分的計算法和應用作業(yè) P23 1 P24 2、3§10.2對坐標的曲線積分教學目的：了解對坐標曲線積分的概念和性質，理解和掌握對坐標曲線積分的計算法和應用 教學重點：對坐標曲線積分的計算 教學難點：對坐標曲線積分的計算 教學內容：一、對坐標的曲線積分定義和性質1引例：變力沿曲線所作的功。 設一質點

4、在面內從點沿光滑曲線弧移到點，受力，其中，在上連續(xù)。求上述過程所作的功解：（1）分割 先將分成個小弧段（2）代替 用近似代替，近似代替內各點的力，則沿所 做的功（3） 求和 （4）取極限 令的長度2 定義： 設L為面內從點A到點B的一條有向光滑曲線弧，函數(shù)在L 上有界.在L上沿L的方向任意插入一點列把L分成個有向小弧段設，點為 上任意取定的點.如果當個小弧段長度的最大值時，的極限總存在，則稱此極限為函數(shù)在有向曲線弧L上對坐標的曲線積分，記作.類似地，如果的極限值總存在，則稱此極限為函數(shù)在有向曲線弧L上對坐標曲線積分，記作.即，說明：（1）當在上連續(xù)時，則，存在 （2）可推廣到空間有向曲線上 （

5、3）為有向曲線弧，為與方向相反的曲線，則=，= （4）設=，則=+ 此性質可推廣到=組成的曲線上。二、計算定理：設，在上有定義，且連續(xù),當單調地從變到時，點從的起點沿變到終點，且在以，為端點的閉區(qū)間上具有一階連續(xù)導數(shù)，且，則存在，且=注意1）：起點對應參數(shù)，：終點對應參數(shù) 不一定小于 2）若由 給出 3）此公式可推廣到空間曲線：，：起點對應參數(shù)，：終點對應參數(shù)例1 計算：擺線，從點到點。解：原式= = = =例2：1）曲線 2）折線 起點為，終點為.解1）原式= 2） 原式=1故一般來說，曲線積分當起點、終點固定時，與路徑有關 例3設，計算由到直線練習：1計算，其中為（1）的拋物線上從到 一段

6、弧。（2）拋物線上從到的一段弧。（3）有向折線，這里依次是點，結論：起點，終點固定，沿不同路徑的積分值相等。2計算從點到點的直線段3 兩類曲線積分的關系設有向曲線弧的起點 終點 取弧長為曲線弧的參數(shù)。 則若在 上具有一階連續(xù)導數(shù)，在上連續(xù)，則=其中，是的切線向量的方向余弦，且切線向量與 的方向一致，又=同理對空間曲線：=為在點處切向量的方向角，用向量表示：，為上主單位切向量，為有向曲線元小結：1.對坐標的曲線積分概念和性質 2. 對坐標的曲線積分的計算 3.兩類曲線積分的關系作業(yè)：P2526，4§10.3Green公式教學目的：理解和掌握Green公式及應用 教學重點：Grenn公式

7、 教學難點：格林公式的應用 教學內容：一、Green公式1 單連通區(qū)域。設為單連通區(qū)域，若內任一閉曲線所圍的部分都屬于。稱為單連通區(qū)域（不含洞），否則稱為復連通區(qū)域（含洞）。規(guī)定平面的邊界曲線的方向，當觀看者沿行走時，內在他近處的那一部分總在他的左邊，如定理1. 設閉區(qū)域由分段光滑的曲線圍成，函數(shù)和在上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則有=。為的取正向的邊界曲線。即格林公式證：對既為- 型又為-型區(qū)域：連續(xù)，=： 又 =+ =對于-型區(qū)域，同理可證 =原式成立對于一般情況，可引進輔助線分成有限個符合上述條件區(qū)域，在上應用格林公式相加，由于沿輔助線積分是相互抵消，即可得證。幾何應用，在格林公式中，取，=說明

8、：1）格林公式對光滑曲線圍成的閉區(qū)域均成立 2）記法= 3）在一定條件下用二重積分計算曲線積分，在另外條件下用曲線積分計算二重積分。 4）幾何應用。 例1 計算： 解： 原式=， ，例2 計算星形線圍成圖形面積 =二 平面上曲線積分與路徑無關的條件1） 與路無關：是為一開區(qū)域，在內具有一階連續(xù)偏導數(shù)，若內任意指定兩點及內從到的任意兩條曲線恒成立，則稱在內與路徑無關。否則與路徑有關。 例1 ：從到的折線從到的直線 解：= 3：,即 =定理：設，在單連通區(qū)域內有連續(xù)的一階偏導數(shù)，則以下四個條件相互等價（1）內任一閉曲線，=。（2）對內任一曲線，與路徑無關（3）在內存在某一函數(shù)使在內成立。（4），在

9、內處處成立。證明：（1）（2） 在內任取兩點，及連接的任意兩條曲線，為內一閉曲線 由（1）知，即+=（2）（3）若在內與路徑無關。當起點固定在（）點，終點為后，則是的函數(shù)，記為。下證：=的全微分為=。，連續(xù)，只需證， 由定義=+ =+=， 即， 同理。（3）（4）若=，往證=， 由具有連續(xù)的一階偏導數(shù)故=（4）（1）設為內任一閉曲線，為所圍成的區(qū)域。=。例2曲線積分， 為過，和點的圓弧。解： 令，則，與路徑無關。 取積分路徑為。+=例3 計算， （1）為以為心的任何圓周。 （2）為以任何不含原點的閉曲線。解：（1）令，在除去處的所有點處有=，做以0為圓心，為半徑作足夠小的圓使小圓含在內，=，即

10、= （2）=02 二元函數(shù)的全微分求積與路徑無關，則為某一函數(shù)的全微分為=+注：有無窮多個。例4 驗證：是某一函數(shù)的全微分，并求出一個原函數(shù)。解：令，原式在全平面上為某一函數(shù)的全微分，取，=例5 計算， 為從到再到，是半圓弧 解：令， ， 添加直線，則，原式+= =原式=例6設在上連續(xù)可導，求，其中 為從點到的直線段。 解；令， =，故原積分與路徑無關，添構成閉路，原式+原式= 練習：1.證明：若為連續(xù)函數(shù)，而為無重點的按段光滑的閉曲線，則。 2.確定的值，使在不經過直線的區(qū)域上，與路徑無關，并求當為從點到點的路徑時的值。 ， 3設，為上的連續(xù)函數(shù)，證明小結： 1. 格林公式及應用，積分與路徑

11、無關的四個等價命題，全微分求積。2. 格林公式使有些問題簡化，有時可計算不封閉曲線積分，只需添上一條線使之成為封閉曲線，再減去所添曲線的積分值即可。作業(yè)：P27 5 P28 6 P29 7，8§10.4 對面積的曲線積分 教學目的：理解和掌握對面積的曲線積分的概念性質及計算教學重點：對面積的曲線積分的計算教學難點：對面積的曲線積分的計算 教學內容：一：概念和性質1空間曲面質量在對平面曲線弧長的曲線積分中，將曲線換為曲面，線密度換為面密度，二元函數(shù)換為三元函數(shù)即可得對面積的曲面積分。設有一曲面。其上不均勻分布著面密度為上的連續(xù)函數(shù)，求曲面的質量。經分割，代替，求和，取極限四步，2定義

12、設曲面是光滑的，在上有界，把分成小塊，任取，作乘積，再作和，當各小塊曲面直徑的最大值時，這和的極限存在，則稱此極限為在上對面積的曲面積分或第一類曲面，記，即=說明：（1）為封閉曲面上的第一類曲面積分 （2）當連續(xù)時， 存在 （3）當為光滑曲面的密度函數(shù)時，質量 （4）=1時，為曲面面積 （5）性質同第一類曲線積分 （6）若為有向曲面，則與的方向無關。二、計算 定理：設曲面的方程，在面的投影，若在上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，在上連續(xù)，則=說明：（1）設為單值函數(shù) （2）若：或可得到相應的計算公式。 （3）若為平面里與坐標面平行或重合時=例1 計算，為立體的邊界解：設，為錐面，為上部分，在面投影為=，+

13、 = =例2 計算，由，的邊界 解：，：，：，：由對稱性= =。=原式=）+（）+（）=例3 計算，為被平面所割得部分解：設第一象限內的部分為：，=或 = =練習：，6（1）（3） ，4， 7小結：（1）對面積的曲線積分的概念和性質 （2）對面積的曲線積分的計算作業(yè)：P30，9 P31，10 §10.5對坐標的曲面積分教學目的：理解和掌握對坐標的曲面積分的概念和性質 教學重點：對坐標曲面積分的計算 教學難點：對坐標曲面積分的計算教學內容：一、定義、性質1有向曲面 側：設曲面，若取法向量朝上（與軸正向的夾角為銳角），則曲面取定上側，否則為下側；對曲面，若的方向與正向夾角為銳角，取定曲面

14、的前側，否則為后側，對曲面，的方向與正向夾角為銳角取定曲面為右側，否則為左側；若曲面為閉曲面，則取法向量的指向朝外，則此時取定曲面的外側，否則為內側，取定了法向量即選定了曲面的側，這種曲面稱為有向曲面2投影 設是有向曲面，在上取一小塊曲面，把投影到面上，得一投影域 （表示區(qū)域，又表示面積），假定上任一點的法向量與軸夾角的余弦同號，則規(guī)定投影為 實質將投影面積附以一定的符號，同理可以定義在面，面上的投影，3流向曲面一側的流量 設穩(wěn)定流動的不可壓縮的流體（設密度為1）的速度場為=+，為其中一片有向曲面，在上連續(xù)，求單位時間內流向指定側的流體在此閉域上各點處流速為常向量，又設為該平面的單位法向量，則

15、在單位時間內流過這閉區(qū)域的流體組成一底面積為，斜高為的斜柱體，斜柱體體積為時，此即為通過區(qū)域流向所指一側的流量。當時，流量為0，當時，流量為負任稱為流體通過閉區(qū)域流向所指一側的流量均稱為。 解：但所考慮的不是平面閉區(qū)域而是一片曲面，且流速也不是常向量，故采用元素法。把分成小塊，設光滑，且連續(xù)，當很小時，流過的體積近似值為以為底，以為斜高的柱體，任，為處的單位法向量，故流量，= 又，最大曲面直徑4定義 設為光滑的有向曲面，在上有界，把分成塊，在面上投影，是上任一點，若，存在，稱此極限值為在上對坐標的曲面積分，或在有曲面上的第二類曲面積分，記為。類似對及曲面積分分別為=說明：（1）有向，且光滑 （

16、2）在上連續(xù)，即存在相應的曲面積分 （3）+= （4）穩(wěn)定流動的不可壓縮流體，流向指定側的流量= （5）若，則+ （6）設為有向曲面，表示與相反的側 則=二、計算 定理：設由給出的曲面的上側，在面上的投影為，在內具有一階連續(xù)偏導數(shù)，在上連續(xù)，則=。取上側，則，即，又為上的點，則，=，令，取極限則= 說明：（1）將用代替，將投影到面上，再定向，則= （2）若：取下側，則，= （3），與此類似：時，右側為正，左側為負：時，前側為正，后側為負例1 計算，為，的上側解：將向面投影為半圓，= =由對稱性=，=原式=注意： 必須為單值函數(shù)，否則分成片曲面 例2為與圍成，取外側。解：；園錐面上底，上側 園錐

17、面?zhèn)让妫瑸榍皞龋?為后側=， ， ， += =+=原式=三、兩類曲面積分間的關系 若：，在面的投影域，在上有一階連續(xù)偏導數(shù)，在上連續(xù)，取上側=，= =若取下側，= =類似=， =為在點處的法向量的方向余弦。例2 計算是介于和之間部分的下側解： ， = = =原式= =練習： 設是球面的外側，投影域： ，下面等式是否成立？將錯的更正 （1）= （2） （3）兩類曲面積分間的關系用向量形式表示如下：其中 =，為有向曲面上點，處的單位法向量，=稱為有向曲面元，為向量在向量上的投影小結：（1）對坐標的曲面積分的感念和性質 （2）對坐標的曲面積分的計算 （3）兩類曲面積分的聯(lián)系作業(yè)：P32，11 P33

18、 ，12§10.6高斯公式，通量與散度教學目的：理解和掌握高斯公式及應用，了解通量與散度的概念 教學重點：高斯公式 教學難點：高斯公式的應用 教學內容：一. Gauss公式定理，設空間閉區(qū)域是有分片光滑的閉曲面所圍成的，函數(shù)，在上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則= =其中是的整個邊界曲面的外側，是上點處的法向量的方向余弦，稱之為高斯公式。證明：設在面上證明：設在面上的投影域，且過內部且平行于軸的直線與的邊界曲面的交點恰好兩個，則由組成，取下側，取上側，是以的邊界曲線為準線，母線平行于軸的柱面的一部分，取外側，類似：若過內部且平行于x軸，y 軸的直線與的邊界曲面的交點也且由兩個時有(1)+(2)

19、+(3)即可證得高斯公式若不滿足上述條件，可添加輔助面將其分成符號條件的若干塊，且在輔助面兩側積分之和為零例1 的外側解：令例2 計算的上側解：添上與構成封閉曲面令而原式=二、通量與散度高斯公式：右端物理意義：為單位時間內（流體經過流向指定側的流體的質量）離開閉域的流體的總質量流體不可壓縮且流動是穩(wěn)定的，有流體離開的同時，其部必須有產生流體的“源頭”產生同樣多的流體來進行補充，故左端可解釋為分布在內的源頭在單位時間內所產生的流體的總質量高斯公式可用向量形式表示：同除閉區(qū)域的體積:左端為內的源頭在單位時間、單位體積內所產生流體質量的平均值，應用中值定理得：，令縮為一點取極限得，稱為在點M的散度，記，即散度可看成穩(wěn)定流動的不可壓縮流體在點M的源頭強度單位時間內、單位體積所產生的流質的質量.如果為負時，表示點M處流體在消失一般：若向量場，有一階連續(xù)偏導數(shù)，為場內一片有向曲面，為上點處的單位法向量，則稱為向量場通過