思維特訓(十二)　全等與相似的綜合應用

1、.思維特訓十二全等與相似的綜合應用形狀一樣的兩個圖形稱為相似圖形假設兩個圖形不僅形狀一樣，而且大小也相等，那么二者是全等圖形全等是相似的特殊情況，全等圖形可以看作是相似比為1的特殊的相似圖形證明全等的方法有“SSS“SAS“ASA“AAS“HL，證明相似的方法有“三邊對應成比例的兩個三角形相似“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似“兩角分別相等的兩個三角形相似等類型一與相似有關的多結論問題1如圖12S1，在ABC中，ABBC，ABC90，BM是AC邊上的中線，點D，E分別在邊AC和BC上，DBDE，EFAC于點F，有以下結論：1DBMCDE；2SBDES四邊形BMFE；3CDENBNBD；4A

2、C2DF.其中正確的結論有A1個 B2個 C3個 D4個圖12S12如圖12S2，ABC和ADE都是等腰直角三角形，BACDAE90，四邊形ACDE是平行四邊形，連接CE交AD于點F，連接BD交CE于點G，連接BE.以下結論中：CEBD；ADC是等腰直角三角形；ADBAEB；CDAEEFCG.其中一定正確的有圖12S2A1個 B2個 C3個 D4個3如圖12S3，菱形ABCD中，ABAC，E，F(xiàn)分別為邊AB，BC上的點，且AEBF，連接CE，AF交于點H，那么以下結論：ABFCAE；AHC120；AEHCEA；AEADAHAF.其中正確的結論有圖12S3A1個 B2個 C3個 D4個類型二全等

3、三角形與相似三角形的綜合4ABC和DEF是兩個全等的等腰直角三角形，BACEDF90，DEF的頂點E與ABC的斜邊BC的中點重合，將DEF繞點E旋轉，旋轉過程中，線段DE與線段AB相交于點P，線段EF與射線CA相交于點Q.1如圖12S4，當點Q在線段AC上，且APAQ時，求證：BPECQE.2如圖12S4，當點Q在線段CA的延長線上時，求證：BPECEQ；并求當BP2，CQ9時BC的長圖12S45在AOB中，C，D分別是邊OA，OB上的點，將OCD繞點O順時針旋轉到OCD的位置1如圖12S5，假設AOB90，OAOB，C，D分別為OA，OB的中點，求證：ACBD；ACBD.2如圖，假設AOB為

4、任意三角形且AOB，CDAB，AC與BD相交于點E，猜測AEB是否成立，請說明理由圖12S562019襄陽 如圖12S6，在ABC中，ACB90，CD是中線，ACBC，一個以點D為頂點的45角繞點D旋轉，使角的兩邊分別與AC，BC的延長線相交，交點分別為E，F(xiàn)，DF與AC相交于點M，DE與BC相交于點N.1如圖，假設CECF，求證：DEDF.2如圖，在EDF繞點D旋轉的過程中：探究線段AB，CE，CF之間的數(shù)量關系，并說明理由；假設CE4，CF2，求DN的長圖12S67如圖12S7，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點過點E作AB的垂線，過點F作CD的垂線，兩垂線交于點G，連接GA

5、，GB，GC，GD，EF.假設AGDBGC.1求證：ADBC；2求證：AGDEGF；3如圖，假設AD，BC所在直線互相垂直，求的值圖12S7類型三與全等、相似三角形有關的探究型問題8在ABC中，ACB90，經(jīng)過點B的直線l不與直線AB重合與直線BC的夾角DBCABC，分別過點C，A作直線l的垂線，垂足分別為D，E.1問題發(fā)現(xiàn)假設ABC30，如圖，那么_；假設ABC45，如圖，那么_2拓展探究當0ABC90，的值有無變化？請僅就圖的情形給出證明3問題解決隨著ABC位置的變化，假設直線CE，AB相交于點F，且，CD4，請直接寫出線段BD的長圖12S8詳解詳析1C解析 DBDE，DBEDEB，DBM

6、MBCCDEC.ABBC，ABC90，BM是AC邊上的中線，C45，BMAC，MBCC45，DBMCDE，故1正確；DBMCDE，DMBEFD，DBDE，BMDDFE，SBMDSDFE，S四邊形BDFESDFES四邊形BDFESBMD，SBDES四邊形BMFE.故2錯誤；DBCBEN，DCBEBN，BCDEBN，CDENBNBD.故3正確；BMDDFE，BMDF.又ABC90，BM是AC邊上的中線，BMAC，AC2DF.故4正確應選C.2D解析 利用SAS證明CAEBAD，可得到CEBD；利用平行四邊形的性質(zhì)可得AECD，再結合ADE是等腰直角三角形可得到ADC是等腰直角三角形；利用SAS證明

7、BADBAE可得到ADBAEB；利用得出GFDAFE，結合得GDFGFD90.由平行四邊形的性質(zhì)得GCDAEF，進而得出CGDEAF，得出比例式3D解析 由菱形ABCD中，ABAC，易證得ABC是等邊三角形，那么可得BEAC60，由SAS即可證得ABFCAE，那么可得BAFACE；利用三角形外角的性質(zhì)，即可求得AHC120；由BAFACE，AECAEC，推出AEHCEA；在菱形ABCD中，ADAB，由于AEHCEA，ABFCAE，于是AEHAFB，得到AEADAHAF.4解：1證明：ABC是等腰直角三角形，BC45，ABAC.APAQ，BPCQ.E是BC的中點，BECE.在BPE和CQE中，B

8、ECE，BC，BPCQ，BPECQESAS2證明：ABC和DEF是兩個全等的等腰直角三角形，BCDEF45.BEQEQCC，即BEPDEFEQCC，BEP45EQC45，BEPEQC，BPECEQ，.BP2，CQ9，BECE，BE218，BECE3，BC6.5解：1證明：OCD旋轉到OCD，OCOC，ODOD，AOCBOD.OAOB，C，D分別為OA，OB的中點，OCOD，OCOD.在AOC和BOD中，OAOB，AOCBOD，OCOD，AOCBODSAS，ACBD.延長AC交BD于點E，交BO于點F，如下圖AOCBOD，OACOBD.又AFOBFE，OACAFO90，OBDBFE90，BEA9

9、0，ACBD.2AEB成立，理由如下：設AC交BO于點F.OCD旋轉得到OCD，OCOC，ODOD，AOCBOD.CDAB，即.又AOCBOD，AOCBOD，OACOBD.又AFOBFE，AEBAOB.6解：1證明：ACB90，ACBC，ADBD，BCDACD45，BCEACF90，DCEDCF135.在DCE和DCF中，CECF，DCEDCF，CDCD，DCEDCF，DEDF.2AB24CECF.理由：DCFDCE135，CDFF18013545.又CDFCDE45，F(xiàn)CDE，CDFCED，即CD2CECF.ACB90，ACBC，ADBD，CDAB，AB24CECF.如圖，過點D作DGBC于

10、點G，那么DGNECN90，CGDG.當CE4，CF2時，由CD2CECF得CD2.在RtDCG中，CGDG2.ECNDGN，ENCDNG，CENGDN，2，GNCG，DN.7解：1證明：GE是AB的垂直平分線，GAGB.同理GDGC.在AGD和BGC中，GAGB，AGDBGC，GDGC，AGDBGC，ADBC.2證明：AGDBGC，AGBDGC.由1知AGDBGC，得.在AGB和DGC中，AGBDGC，AGBDGC，即.又易知AGEDGF，AGDEGF，AGDEGF.3如圖，延長AD交GB于點M，交BC的延長線于點H，那么AHBH.由AGDBGC，得GADGBC.在GAM和HBM中，GADG

11、BC，GMAHMB，AGBAHB90，AGEAGB45，.又AGDEGF，.8解：1如圖，CDBD，CDB90.DBCABC30，CDBC.在ABC和BAE中，ACBAEB90，BAEABC30，ABBA，ABCBAEAAS，BCAE，CDAE，.如圖，過點C作CFAB于點F，ABC45，ACB90，ACB是等腰直角三角形CBD45，ABD90.又AEBD，點B與點E重合，EFAE.CDBD，四邊形CDEF為矩形，EFCD，CDAE，.2的值無變化理由：如圖，延長AC與直線l交于點G，ACB90，DBCABC，AGBBAG，BABG.又BCAG，C是AG的中點AEl，CDl，CDAE，GCDGAE，.3分兩種情況：如圖，當點F在線段AB上時，過點C作CGl交AE于點H，交AB于點G，DBCHCB.DBCCBF，CBFHCB，CGBG.ACB90，CAGCBFHCBACG90，ACGCAG，CGAGBG.CGl，CFGEFB，.設CG5x，BE6x，那么AB10x.AEB90，AE8x，由2得AE