金融工程 鄭振龍 第3章 遠(yuǎn)期與期貨的定價(jià)

1、2022-3-51第三章第三章遠(yuǎn)期和期貨定價(jià)遠(yuǎn)期和期貨定價(jià) 2022-3-52一、一、遠(yuǎn)期價(jià)值、遠(yuǎn)期價(jià)格與期貨價(jià)格遠(yuǎn)期價(jià)值遠(yuǎn)期價(jià)值是指遠(yuǎn)期合約本身的價(jià)值。關(guān)于遠(yuǎn)期價(jià)值的討論要分遠(yuǎn)期合約簽訂時(shí)和簽訂后兩種情形。 在簽訂遠(yuǎn)期合約時(shí)，如果信息是對稱的，而且合約雙方對未來的預(yù)期相同，對于一份公平的合約，多空雙方所選擇的交割價(jià)格應(yīng)使遠(yuǎn)期價(jià)值在簽署合約時(shí)等于零。 在遠(yuǎn)期合約簽訂以后，由于交割價(jià)格不再變化，多空雙方的遠(yuǎn)期價(jià)值將隨著標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變化而變化。 第一節(jié)遠(yuǎn)期價(jià)格與期貨價(jià)格2022-3-53遠(yuǎn)期價(jià)格遠(yuǎn)期價(jià)格是指使遠(yuǎn)期合約簽訂時(shí)價(jià)值為零的交割價(jià)格。遠(yuǎn)期價(jià)格是理論上的交割價(jià)格。關(guān)于遠(yuǎn)期價(jià)格的討論也要分遠(yuǎn)

2、期合約簽訂時(shí)和簽訂后兩種情形。 一份公平合理的遠(yuǎn)期合約在簽訂的當(dāng)天應(yīng)使交割價(jià)格等于遠(yuǎn)期價(jià)格。如果實(shí)際交割價(jià)格不等于這個(gè)理論上的遠(yuǎn)期價(jià)格，該遠(yuǎn)期合約價(jià)值對于多空雙方來說就都不為零 ，實(shí)際上隱含了套利空間。在遠(yuǎn)期合約簽訂以后，交割價(jià)格已經(jīng)確定，遠(yuǎn)期合約價(jià)值不一定為零，遠(yuǎn)期價(jià)格也就不一定等于交割價(jià)格。 2022-3-54類似地，在期貨合約中，我們定義期貨價(jià)格（期貨價(jià)格（Futures Futures PricesPrices）為使得期貨合約價(jià)值為零的理論交割價(jià)格。但值得注意的是，對于期貨合約來說，一般較少談及“期貨合約價(jià)值”這個(gè)概念。基于期貨的交易機(jī)制，投資者持有期貨合約，其價(jià)值的變動(dòng)來源于實(shí)際期貨

3、報(bào)價(jià)的變化。由于期貨每日盯市結(jié)算、每日結(jié)清浮動(dòng)盈虧，因此期貨合約價(jià)值在每日收盤后都?xì)w零。 2022-3-55二、遠(yuǎn)期價(jià)格與期貨價(jià)格的關(guān)系當(dāng)無風(fēng)險(xiǎn)利率恒定且對所有到期日都相同時(shí)，交割日相同的遠(yuǎn)期價(jià)格和期貨價(jià)格應(yīng)相等。 當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格與利率呈正相關(guān)時(shí)，期貨價(jià)格高于遠(yuǎn)期價(jià)格。 這是因?yàn)楫?dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格上升時(shí)，期貨價(jià)格通常也會(huì)隨之升高，期貨合約的多頭將因每日結(jié)算制而立即獲利，并可按高于平均利率的利率將所獲利潤進(jìn)行再投資。而當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格下跌時(shí)，期貨合約的多頭將因每日結(jié)算制而立即虧損，但是可按低于平均利率的利率從市場上融資以補(bǔ)充保證金。相比之下，遠(yuǎn)期合約的多頭將不會(huì)因利率的變動(dòng)而受到上述影響。在此情況下，

4、期貨多頭比遠(yuǎn)期多頭更具吸引力，期貨價(jià)格自然就大于遠(yuǎn)期價(jià)格當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格與利率呈負(fù)相關(guān)時(shí)，遠(yuǎn)期價(jià)格就會(huì)高于期貨價(jià)格。 (dao)2022-3-56遠(yuǎn)期價(jià)格和期貨價(jià)格的差異幅度還取決于合約有效期的長短。當(dāng)有效期只有幾個(gè)月時(shí)，兩者的差距通常很小。此外，稅收、交易費(fèi)用、保證金的處理方式、違約風(fēng)險(xiǎn)、流動(dòng)性等方面的因素或差異都會(huì)導(dǎo)致遠(yuǎn)期價(jià)格和期貨價(jià)格的差異。遠(yuǎn)期價(jià)格與期貨價(jià)格的定價(jià)思想在本質(zhì)上是相同的，其差別主要體現(xiàn)在交易機(jī)制和交易費(fèi)用的差異上，在很多情況下常常可以忽略，或進(jìn)行調(diào)整。因此在大多情況下，我們可以合理地假定遠(yuǎn)期價(jià)格與期貨價(jià)格相等，并都用F來表示。 2022-3-57為分析簡便起見，本章的分析是

5、建立在如下假設(shè)前提下的：1沒有交易費(fèi)用和稅收。2市場參與者能以相同的無風(fēng)險(xiǎn)利率借入和貸出資金。3遠(yuǎn)期合約沒有違約風(fēng)險(xiǎn)。4允許現(xiàn)貨賣空。5當(dāng)套利機(jī)會(huì)出現(xiàn)時(shí)，市場參與者將參與套利活動(dòng)，從而使套利機(jī)會(huì)消失，我們得到的理論價(jià)格就是在沒有套利機(jī)會(huì)下的均衡價(jià)格。 6期貨合約的保證金賬戶支付同樣的無風(fēng)險(xiǎn)利率。這意味著任何人均可不花成本地取得遠(yuǎn)期和期貨的多頭和空頭地位。三、基本的假設(shè)與符號(hào)2022-3-58本章將要用到的符號(hào)主要有：T：遠(yuǎn)期和期貨合約的到期時(shí)間，單位為年。t：現(xiàn)在的時(shí)間，單位為年。變量T 和t 是從合約生效之前的某個(gè)日期開始計(jì)算的，T-t 代表遠(yuǎn)期和期貨合約中以年為單位的距離到期的剩余時(shí)間。S

6、：遠(yuǎn)期（期貨）標(biāo)的資產(chǎn)在時(shí)間t時(shí)的價(jià)格。ST：遠(yuǎn)期（期貨）標(biāo)的資產(chǎn)在時(shí)間T時(shí)的價(jià)格（在t時(shí)刻這個(gè)值是個(gè)未知變量）。K：遠(yuǎn)期合約中的交割價(jià)格。f：遠(yuǎn)期合約多頭在t時(shí)刻的價(jià)值，即t時(shí)刻的遠(yuǎn)期價(jià)值。2022-3-59F：t時(shí)刻的遠(yuǎn)期合約和期貨合約中的理論遠(yuǎn)期價(jià)格和理論期貨價(jià)格，在本書中如無特別注明，我們分別簡稱為遠(yuǎn)期價(jià)格和期貨價(jià)格。r：T時(shí)刻到期的以連續(xù)復(fù)利計(jì)算的t時(shí)刻的無風(fēng)險(xiǎn)利率（年利率），在本書中，如無特別說明，利率均為連續(xù)復(fù)利的年利率。2022-3-510第二節(jié) 無收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約的定價(jià)2022-3-511本章所用的定價(jià)方法為無套利定無套利定價(jià)法價(jià)法。基本思路為：構(gòu)建兩種投資組合，令其終值相等

7、，則其現(xiàn)值一定相等；否則就可進(jìn)行套利，即賣出現(xiàn)值較高的投資組合，買入現(xiàn)值較低的投資組合，并持有到期末，套利者就可賺取無風(fēng)險(xiǎn)收益。眾多套利者這樣做的結(jié)果，將使較高現(xiàn)值的投資組合價(jià)格下降，而較低現(xiàn)值的投資組合價(jià)格上升，直至套利機(jī)會(huì)消失，此時(shí)兩種組合的現(xiàn)值相等。這樣，我們就可根據(jù)兩種組合現(xiàn)值相等的關(guān)系求出遠(yuǎn)期價(jià)格。 2022-3-512例如，為了給無收益資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約定價(jià)，我們構(gòu)建如下兩個(gè)組合：組合A：一份遠(yuǎn)期合約多頭加上一筆數(shù)額為Ke-r（Tt）的現(xiàn)金；組合B：一單位標(biāo)的資產(chǎn)。遠(yuǎn)期合約現(xiàn)金組合A標(biāo)的資產(chǎn)組合B一、無套利定價(jià)法2022-3-513在組合A中，Ke-r（Tt）的現(xiàn)金以無風(fēng)險(xiǎn)利率投資，投

8、資期為（Tt）。到T時(shí)刻，其金額將達(dá)到K。這是因?yàn)椋篕e-r（Tt）er（Tt）=K在遠(yuǎn)期合約到期時(shí)，這筆現(xiàn)金剛好可用來交割換來一單位標(biāo)的資產(chǎn)。這樣，在T時(shí)刻，兩種組合都等于一單位標(biāo)的資產(chǎn)。根據(jù)無套利原則：終值相等，則其現(xiàn)值一定相等，這兩種組合在t時(shí)刻的價(jià)值必須相等。即： f+ Ke-r（Tt）=S f=SKe-r（Tt） （3.1） 該公式表明，無收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約多頭的價(jià)值等于標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)貨價(jià)格與交割價(jià)格現(xiàn)值的差額?；蛘哒f,一單位無收益資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約多頭等價(jià)于一單位標(biāo)的資產(chǎn)多頭和Ke-r（Tt）單位無風(fēng)險(xiǎn)負(fù)債的資產(chǎn)組合。 2022-3-514由于遠(yuǎn)期價(jià)格就是使遠(yuǎn)期合約價(jià)值為零的交割價(jià)格 ，即當(dāng)

9、=0時(shí)， = 。據(jù)此可令式（3.1）中的 =0，則 (3.2) ffKKF()r T tFSe這就是無收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨-遠(yuǎn)期平價(jià)定理（Spot-Forward Parity Theorem），或稱現(xiàn)貨期貨平價(jià)定理（Spot-Futures Parity Theorem）。 二、現(xiàn)貨遠(yuǎn)期平價(jià)定理2022-3-515為了證明無收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨-遠(yuǎn)期平價(jià)定理 ，我們用反證法證明等式不成立時(shí)的情形是不均衡的。若KSer（Tt），即交割價(jià)格大于現(xiàn)貨價(jià)格的終值。在這種情況下，套利者可以按無風(fēng)險(xiǎn)利率r 借入S現(xiàn)金，期限為Tt。然后用S購買一單位標(biāo)的資產(chǎn)，同時(shí)賣出一份該資產(chǎn)的遠(yuǎn)期合約，交割價(jià)格為K。在T時(shí)刻，該套

10、利者就可將一單位標(biāo)的資產(chǎn)用于交割換來K現(xiàn)金，并歸還借款本息Se r（Tt），這就實(shí)現(xiàn)了 KSer（Tt） 的無風(fēng)險(xiǎn)利潤。2022-3-516若Krl 。這時(shí)遠(yuǎn)期和期貨的價(jià)格區(qū)間為：()()1,1r T tr T tSY eSY e()(),lbr T tr T tSeSe二、非完美市場條件下的遠(yuǎn)期定價(jià)2022-3-5333. 存在賣空限制的時(shí)候，因?yàn)橘u空會(huì)給經(jīng)紀(jì)人帶來很大風(fēng)險(xiǎn)，所以幾乎所有的經(jīng)紀(jì)人都扣留賣空客戶的部分所得作為保證金。假設(shè)這一比例為X，那么均衡的遠(yuǎn)期和期貨價(jià)格區(qū)間應(yīng)該是：如果上述三種情況同時(shí)存在，遠(yuǎn)期和期貨價(jià)格區(qū)間應(yīng)該是：完全市場可以看成是 的特殊情況。)()1,r T tr T

11、 tXSeSe（）0,0,lbXYrrr11,1lbrTr TXSY eSY e（）2022-3-534本書的討論焦點(diǎn)是金融標(biāo)的資產(chǎn)的衍生產(chǎn)品，金融標(biāo)的資產(chǎn)屬于投資性資產(chǎn)。所謂投資性資產(chǎn)投資性資產(chǎn)是指投資者主要出于投資目的而持有的資產(chǎn)，如股票、債券等金融資產(chǎn)和黃金、白銀等資產(chǎn)。由于投資性資產(chǎn)的投資決策不受消費(fèi)等其他目的的影響，投資者所關(guān)注的是金融資產(chǎn)中所蘊(yùn)涵的風(fēng)險(xiǎn)收益特征而非金融產(chǎn)品本身，因此標(biāo)的資產(chǎn)及其期貨之間存在高度的可替代性，只要相對價(jià)格水平不合理，投資者隨時(shí)可在這兩者之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換。所以，在這樣的市場上，只要沒有其他的制度制約套利行為，期貨的定價(jià)就成為一個(gè)純粹的風(fēng)險(xiǎn)收益問題，相應(yīng)地?zé)o套利

12、原則和持有成本模型就成為遠(yuǎn)期定價(jià)的基本原理。 三、消費(fèi)性資產(chǎn)的遠(yuǎn)期定價(jià)2022-3-535消費(fèi)性資產(chǎn)消費(fèi)性資產(chǎn)則是指那些投資者主要出于消費(fèi)目的而持有的資產(chǎn)，如石油、銅、農(nóng)產(chǎn)品等。對于消費(fèi)性資產(chǎn)來說，遠(yuǎn)期定價(jià)公式不再適用，而是轉(zhuǎn)化為 ：原因在于消費(fèi)性的標(biāo)的資產(chǎn)具有消費(fèi)價(jià)值，而遠(yuǎn)期卻無法即時(shí)消費(fèi)，消費(fèi)性的標(biāo)的資產(chǎn)與其遠(yuǎn)期之間并不具有完全的可替代性。因此即使在遠(yuǎn)期相對價(jià)值偏低的時(shí)候投資者也不會(huì)輕易出售現(xiàn)貨，購買遠(yuǎn)期，從而使得單純基于風(fēng)險(xiǎn)收益考慮的金融無套利原則不再完全有效。()c T tFSe()c T tFSe2022-3-536第六節(jié) 遠(yuǎn)期價(jià)格與標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)貨價(jià)格的關(guān)系2022-3-537無套利條

13、件下 ，。可以從三個(gè)角度分析F和S之間的關(guān)系 ：第一，當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)在遠(yuǎn)期（期貨）存續(xù)期內(nèi)沒有收益、已知現(xiàn)金收益較小、或已知收益率小于無風(fēng)險(xiǎn)利率時(shí)，當(dāng)前遠(yuǎn)期（期貨）價(jià)格應(yīng)高于標(biāo)的資產(chǎn)的當(dāng)前現(xiàn)貨價(jià)格；當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)在遠(yuǎn)期（期貨）存續(xù)期內(nèi)的已知現(xiàn)金收益較大或已知收益率大于無風(fēng)險(xiǎn)利率時(shí)，當(dāng)前遠(yuǎn)期（期貨）價(jià)格應(yīng)小于標(biāo)的資產(chǎn)的當(dāng)前現(xiàn)貨價(jià)格。在遠(yuǎn)期（期貨）到期日，遠(yuǎn)期（期貨）價(jià)格將收斂于標(biāo)的資產(chǎn)的現(xiàn)貨價(jià)格（這是套利行為決定的）。()c T tFSe一、同一時(shí)刻遠(yuǎn)期（期貨）價(jià)格與標(biāo) 的資產(chǎn)現(xiàn)貨價(jià)格的關(guān)系2022-3-538n當(dāng)標(biāo)的證券沒有收益，或者已知現(xiàn)金收益較小、或者已知收益率小于無風(fēng)險(xiǎn)利率時(shí)，期貨價(jià)格應(yīng)高于現(xiàn)貨

14、價(jià)格。 現(xiàn)貨價(jià)格期貨價(jià)格第三章第三章 遠(yuǎn)期和期貨的定價(jià)遠(yuǎn)期和期貨的定價(jià) 2022-3-539n當(dāng)標(biāo)的證券的已知現(xiàn)金收益較大，或者已知收益率大于無風(fēng)險(xiǎn)利率時(shí)，期貨價(jià)格應(yīng)小于現(xiàn)貨價(jià)格。 現(xiàn)貨價(jià)格 期貨價(jià)格第三章第三章 遠(yuǎn)期和期貨的定價(jià)遠(yuǎn)期和期貨的定價(jià) 2022-3-540第二，標(biāo)的資產(chǎn)的現(xiàn)貨價(jià)格對同一時(shí)刻的遠(yuǎn)期（期貨）價(jià)格起著重要的制約關(guān)系，正是這種制約關(guān)系決定了遠(yuǎn)期（期貨）是無法炒作的。但是，如果現(xiàn)貨市場規(guī)模不夠大，現(xiàn)貨價(jià)格無法形成對遠(yuǎn)期（期貨）價(jià)格的有效制約，遠(yuǎn)期（期貨）市場就遲早會(huì)因惡性投機(jī)而出問題。（案例3.7國債期貨事件）2022-3-541第三，對式（3.8）進(jìn)行變換，可得 從本質(zhì)來看

15、，遠(yuǎn)期（期貨）是衍生產(chǎn)品，其價(jià)格應(yīng)取決于標(biāo)的資產(chǎn)當(dāng)前現(xiàn)貨價(jià)格S，隨S變化而變化；在實(shí)際中則應(yīng)該體現(xiàn)為遠(yuǎn)期（期貨）和現(xiàn)貨市場同時(shí)對新的信息作出反映。 但在現(xiàn)實(shí)生活中，大量實(shí)證研究表明，無論是商品還是金融遠(yuǎn)期（期貨），由于遠(yuǎn)期（期貨）市場具有低成本、高杠桿和高流動(dòng)性等特征，如果遠(yuǎn)期（期貨）市場發(fā)展較為完善，規(guī)模和影響力較大，在面臨新的市場信息沖擊時(shí)，投資者越來越多地先在遠(yuǎn)期（期貨）市場上進(jìn)行操作，使得新信息往往先在遠(yuǎn)期（期貨）市場上得到反映，然后才傳達(dá)至現(xiàn)貨市場，從而使得F反過來具有引領(lǐng)S價(jià)格變化的信號(hào)功能。當(dāng)前遠(yuǎn)期（期貨）價(jià)格對當(dāng)前現(xiàn)貨價(jià)格的此種引領(lǐng)作用也被稱為遠(yuǎn)期（期貨）的“價(jià)格發(fā)現(xiàn)價(jià)格發(fā)現(xiàn)”（Price DiscoveryPrice Discovery）功能。 ()c T tSFe2022-3-542根據(jù)預(yù)期收益率的概念，我們有： 表示現(xiàn)在市場上預(yù)期的該資產(chǎn)在T時(shí)刻的市價(jià)；y表示該資產(chǎn)的連續(xù)復(fù)利預(yù)期收益率；t為現(xiàn)在時(shí)刻 。而遠(yuǎn)期（期貨）價(jià)格 ：比較以上兩式可知，y和r的大小決定了F和E(ST)孰大孰小。而y值的大小又取決于標(biāo)的資產(chǎn)的系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)。 ()TE S()()y T tTE SSe()r T tFSe二、當(dāng)前遠(yuǎn)期（期貨）價(jià)格與標(biāo)的資產(chǎn)預(yù)期未來現(xiàn)貨價(jià)格的關(guān)系2