小波分析入門和matlab使用

1、小波分析介紹以及matlab命令實現(xiàn) 一，小波分析的緣起傅里葉分析是信號處理中最常用的方法，傅里葉在1807年指出任何一個周期的連續(xù)信號可以表示成 一些合適的正弦波的疊加。這樣一個時間域的信號就通過傅力葉變換轉(zhuǎn)化成一系列的不同頻率的余弦波 的系數(shù)。但是傅里葉分析最大的缺點是在轉(zhuǎn)化后，時間信息完全丟失，對于一般的穩(wěn)定信號(statio narysignal)在時間上沒有重大的性質(zhì)變化，這不算什么，但對于不穩(wěn)定信號(non stationary signa)，些重要的信息如趨勢，轉(zhuǎn)折，突變點，事件的起止都丟失在頻率域中。傅力葉變換不能提取這些信息。于是人們想要一種time localized分析方

2、法。Gabor1946年提出了一種傅力葉變換的改進方法，短時傅力葉變換。僅僅分析一小段時間的信號， 就是在時間域取一個時間窗，同時要克服非周期性問題，使用了各種窗函數(shù)，使得窗內(nèi)的信號從0平滑的過度到信號的真實值在過度到0,使得首尾都為0 (為了滿足窗內(nèi)的周期性)。如常見的漢寧窗cosinetaper函數(shù)，以及復雜的 multitaper函數(shù)。但是這樣的結(jié)果在時間和頻率上存在一個折中，并且對所有的 頻率使用相同的窗長，不一定可以滿足精度的要求。1984年一些地球物理學家 Morlet等人發(fā)現(xiàn)了一種新的信號處理方法，小波變換。小波變換允許在 高頻信息時使用更短的時間段，在低頻使用長時段來獲得更加精

3、確的結(jié)果。小波變換包括連續(xù)小波變換， 離散小波變換以及小波包變換。存在一系列的母小波，選定后，小波變換把原信號變成若干偏移，縮放 的母波。二，連續(xù)小波變換( continuous wavelet transform)1,母小波與尺度，偏移子波：小波就是滿足一定條件的一些函數(shù)，母波經(jīng)過尺度變換，時間偏移后就是一系列的子波。shift的子波二母波以及圖一：母波以及scale的母波2,連續(xù)小波變換：選定母波后，通過尺度變換，時間偏移會得到許多子波，這一系列的子波于原信號相關(guān)，得到的系數(shù)就是小波變換后的結(jié)果。過程如下：(1)母波與信號相關(guān)得到相似系數(shù) cSignalWawletC = O 0102(2

4、)母波在時間上偏移，在與信號相關(guān)得到新的系數(shù)c(2)母波在時間上偏移，在與信號相關(guān)得到新的系數(shù)c(2)母波在時間上偏移，在與信號相關(guān)得到新的系數(shù)cscale禾口 shift(3)母波做尺度上的變化，拉伸后，與信號相關(guān)，偏移在相關(guān)到完成所有的(2)母波在時間上偏移，在與信號相關(guān)得到新的系數(shù)cSignal7avlbTIa/WV(2)母波在時間上偏移，在與信號相關(guān)得到新的系數(shù)cC = 0 2247wname') ，x是信號，scales 是使用 wavemenu打開小波工具箱的 wavelet3,連續(xù)小波變換的 matlab實現(xiàn)：連續(xù)小波變換的命令是oefs = cwt(x,scales,&

5、#39; 的尺度矢量，wn ame是小波的類型，可以在命令行中使用 display 查找。%構(gòu)建我們的信號，在500處有一個突變點。x = zeros(1000,1);x(500) = 1;%進行小波變換CWTcoeffs = cwt(x,1:128,'haar','plot');colormap jet; colorbar;結(jié)果如下：也可以單獨看某個尺度的圖，CWTcoeffs ( 10，:)表示尺度為10的cwt值。(2)母波在時間上偏移，在與信號相關(guān)得到新的系數(shù)c(2)母波在時間上偏移，在與信號相關(guān)得到新的系數(shù)c.4uii；ill mi L : afiLi

6、 am ; nr a= r 2 j2UD4J_ianlaxitWLib GatrfiQ 血于StTdllC-odVI: mieJ l| J Q_J討q 卡'、- S *- ji 豈EBlia嘔曲監(jiān)陽TI號夕«的»卻竝liId-，離散小波變換:1為什么要進行離散小波變換連續(xù)小波變換要經(jīng)過大量的尺度偏移的轉(zhuǎn)換在計算，將會產(chǎn)生較大的計算量，因此有人選擇在部分尺 度和時間偏移上來做，就是連散小波變換。事實證明，如果我們按照2的幕值去選擇尺度和偏移，我們的小波分析就能更高效并且能相當?shù)木_。2. 一級濾波：近似和細節(jié)( Approximations and details)1

7、)理論過程：對許多信號來 說，低頻信息是最重要的部分，給予了信號的基本特征。高頻的部分則對信號細化，在小波分析中，我們說的近似就是信號中大尺度的低頻的部分，而細節(jié)則是指信號中高頻的小尺度的部分。通過一個高頻和低頻的濾波器，可以分離著兩部分。/WX-陽0 DWT1WnTfirtnDvtvilDI7fiidnnr信號S共1000個點，分 別通過高通和低通濾波 器后，進行一個 減采樣的過程，得到500個點的cD和 cA，其中cA為低通濾波 器出來后的結(jié)果，保留了信號的基本信息，為一個近(Approximation )。cD 為高通濾波器出來后，保留了信號的高頻信息，為一個細節(jié)( Detail )。2

8、)matlab實現(xiàn)：matlab中相關(guān)命令為dwt進行一級的離散小波分 解，idwt 級的小波合成。%構(gòu)建信號sload leleccum ;s = leleccum(1:3920);l_s = len gth(s);%進行一級的離散小波分解，使用db1為母波cA1,cD1 = dwt(s,'db1');%從系數(shù)cA1和cD1中獲得信號的近似和細節(jié)A1 = idwt(cA1,'db1' ,l_s);D1 = idwt(,cD1,'db1' ,l_s);結(jié)果展示：注意，dwt后的系數(shù)和1級的Approximation和 detail的區(qū)別在于是否通

9、過補0到原信號長度。3,多級濾波，多級分解1理論過程：上 面的分解過程可以迭代的進行，每一級的近似 又可以繼續(xù)分解成新的近似和 細節(jié)，產(chǎn)生了小波的分解樹。氣嗎2)matlab的實現(xiàn)：%仍然使用上例子的信號s，進行3級的DWT分解C,L = wavedec(s,3,'db1' );%C中存放的是系數(shù)，L中存放長度%提取出各級的A和D的系數(shù)cA3 = appcoef(C,L,'db1',3);cD1,cD2,cD3 = detcoef(C,L,1,2,3);%從各級系數(shù)中得到各級的近似和細節(jié)A3 = wrcoef('a',C ,L ,'db1

10、',3);D1 = wrcoef('d',C ,L ,'db1',1);D2 = wrcoef('d',C ,L ,'db1',2);D3 = wrcoef('d',C ,L ,'db1',3);%從系數(shù)中重構(gòu)信號并計十算誤差A0 = waverec(C,L,'db1');err = max(abs(s-A0)結(jié)果如圖:四，小波包分析1.在離散小波分析中，信號分成近似和細節(jié)，然后近似向下層繼續(xù)進行分 解，但細節(jié)不 再變化。小波包分析中，細節(jié)和近似都將 繼續(xù)向下一級分解。于是獲

11、得了小波包的分 解樹。有許多中分 解方法，如S = A1+D1 = A1 + AD2+DD2 = AA2+DA2+AAD3+DAD3+DD2 =.如何選擇一種最有效的 辦法來 表示信號的問題就產(chǎn)生了，通常使用en tropy-based criterio n條件來選擇。%從波包系數(shù)中提取出某個節(jié)點的數(shù) 據(jù)根據(jù)該節(jié)點的數(shù)據(jù)，獲得該節(jié)點結(jié)果如右圖2，matlab實現(xiàn)：%獲得信號load no isdopp%進行5級的波包分析，使用sym4母波T = wpdec( no isdopp,5,'sym4');plot(T)% 結(jié)果如右圖wpc = wpcoef(T,16);%的信號近似rwpc = wprcoef(T,16); %決定最好的波包樹Topt = besttree(T);plot(Topt)%利用第七個節(jié)點數(shù)據(jù)重構(gòu)信號rsig = wprcoef(Topt,7);% rsig is length 1024 plot (no isdopp,'