九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)思維特訓(xùn)(十四)　圓內(nèi)接正三角形的一個(gè)性質(zhì)的拓展應(yīng)用

1、.思維特訓(xùn)十四圓內(nèi)接正三角形的一個(gè)性質(zhì)的拓展應(yīng)用方法點(diǎn)津 ·根本圖形與結(jié)論：解題原理：正三角形的性質(zhì)、圓周角的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)結(jié)合解題方法：截長(zhǎng)補(bǔ)短法典題精練 ·1：如圖141，ABC是O的內(nèi)接正三角形，P為上一點(diǎn)不與點(diǎn)B，C重合1如圖，假設(shè)P是的中點(diǎn)，那么PBPC_PA填“或“；2如圖，當(dāng)點(diǎn)P在上挪動(dòng)時(shí)，1中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由圖1412如圖142，等邊三角形ABC內(nèi)接于O，P為O上異于A，B，C的動(dòng)點(diǎn)當(dāng)P為弦BC所對(duì)的優(yōu)弧上一點(diǎn)時(shí)，連接PA，PB，PC，猜測(cè)PA，PB，PC之間的數(shù)量關(guān)系圖14232019·廣州如圖143，C為ABD的外接圓上的一

2、動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)C不在上，且不與點(diǎn)B，D重合，ACBABD45°.1求證：BD是該外接圓的直徑；2連接CD，求證：ACBCCD.圖1434如圖144，正方形ABCD內(nèi)接于O，P為上一點(diǎn)，試判斷PC，PA，PB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明圖1445閱讀理解：1如圖145a，假設(shè)在ABC所在平面內(nèi)存在一點(diǎn)P，使它到三角形各頂點(diǎn)的間隔 之和最小，那么稱(chēng)點(diǎn)P為ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，此時(shí)PAPBPC的值為ABC的費(fèi)馬間隔 ；2如圖b，假設(shè)四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在同一圓上，那么有AB·CDBC·ADAC·BD.此為托勒密定理圖145知識(shí)遷移：1請(qǐng)你利用托勒密定理，解決如下問(wèn)題：如圖14

3、6a，點(diǎn)P為等邊三角形ABC外接圓的上任意一點(diǎn)求證：PBPCPA；2根據(jù)1中的結(jié)論，我們有如下探尋ABC其中A，B，C均小于120°的費(fèi)馬點(diǎn)和費(fèi)馬間隔 的方法：第一步：如圖146b，在ABC的外部以BC為邊作等邊三角形BCD及BCD的外接圓；第二步：在上任取一點(diǎn)P，連接PA，PB，PC，PD.易知PAPBPCPAPBPCPA_；第三步：請(qǐng)你根據(jù)上面“閱讀理解1中的定義，在圖146b中找出ABC的費(fèi)馬點(diǎn)P，并指出線(xiàn)段_的長(zhǎng)度即ABC的費(fèi)馬間隔 圖146知識(shí)應(yīng)用：三村莊A，B，C構(gòu)成了如圖147所示的ABC其中A，B，C均小于120°，現(xiàn)選取一點(diǎn)P打水井，使從水井P到三村莊A，

4、B，C所鋪設(shè)的輸水管總長(zhǎng)度最小，求輸水管總長(zhǎng)度的最小值圖147典題講評(píng)與答案詳析1解：12成立理由如下：方法1：如圖，在PA上截取PEPC，連接CE.APCABC60°，且PEPC，PEC為等邊三角形，CEPC，PCE60°.又ACB60°，ACEBCP.在ACE和BCP中，ACEBCP，EAPB，PBPCPA.方法2：如圖，延長(zhǎng)BP至點(diǎn)E，使PEPC，連接CE.ABC為等邊三角形，ACBC，BACACB60°.A，B，P，C四點(diǎn)共圓，BACBPC180°.又BPCCPE180°，CPEBAC60°.又PEPC，PCE是等邊

5、三角形，ECPC，EPCE60°.BCE60°BCP，ACP60°BCP，BCEACP.在BEC和APC中，BECAPCSAS，EBPA.又EBPBPE，PEPC，PAPBPC.2解：當(dāng)點(diǎn)P在劣弧AB上時(shí)，有PCPAPB；當(dāng)點(diǎn)P在劣弧AC上時(shí)，有PBPAPC.3證明：1，ADBACB45°.又ABD45°，BAD90°，BD是該外接圓的直徑2如圖，在CD的延長(zhǎng)線(xiàn)上截取DEBC，連接AE.ABDADB，ABAD.ADEADC180°，ABCADC180°，ABCADE.在ABC與ADE中，ABCADESAS，BACD

6、AE，從而B(niǎo)ACCADDAECAD，即BADCAE90°.，ACDABD45°，CAE是等腰直角三角形，ACCE.又CECDDE，DEBC，ACBCCD.4.解：PAPCPB.證明如下：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BEBP，交AP于點(diǎn)E，連接AC.四邊形ABCD為正方形，ABCB，ABC90°，ACB45°.ABECBE90°，CBPCBE90°，ABECBP.ACB45°，APB45°，BEP45°，從而EBPB，EPPB.在ABE和CBP中，ABECBPSAS，EAPC.又PAEAEP，EPPB，PAPCPB.5解：知識(shí)遷移：1證明：由托勒密定理可知PB·ACPC·ABPA·BC.ABC是等邊三角形，ABACBC，PBPCPA.2第二步：PD第三步：連接AD，交圓于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求，線(xiàn)段AD的長(zhǎng)度即ABC的費(fèi)馬間隔 知識(shí)應(yīng)用：如圖，以BC為邊在ABC的外部作等邊三角形BCD，連接AD，那么線(xiàn)段AD的長(zhǎng)即為輸水管總長(zhǎng)度的最小值BCD為等邊三角形，BC4 km，CBD6