考點(diǎn)33直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)

1、圓學(xué)子夢想 鑄金字品牌溫馨提示： 此題庫為Word版，請按住Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，點(diǎn)擊右上角的關(guān)閉按鈕可返回目錄?？键c(diǎn)33 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)一、選擇題1.（2011·遼寧高考理科·8）如圖，四棱錐S-ABCD的底面為正方形，SD底面ABCD，則下列結(jié)論中不正確的是(A) ACSB (B) AB平面SCD (C) SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角 (D)AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角【思路點(diǎn)撥】先逐項(xiàng)分析，再判斷結(jié)論【精講精析】選D.選項(xiàng)具體分析結(jié)論A四棱錐S-ABCD的底面為正方形，所以ACBD，又SD底面AB

2、CD，所以SDAC，從而AC面SBD，故ACSB正確B由ABCD，可得AB平面SCD正確C選項(xiàng)A中已證得AC面SBD，又SA=SC，所以SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角正確DAB與SC所成的角為，此為銳角，而DC與SA所成的角即AB與SA所成的角，此為直角，二者不相等不正確2.（2011·浙江高考理科·4）下列命題中錯(cuò)誤的是（A）如果平面平面，那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面（B）如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面（C）如果平面平面，平面平面，那么平面（D）如果平面平面，那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面【思路點(diǎn)撥】本題考查空間線面的垂

3、直關(guān)系.【精講精析】選D.如果平面平面，那么平面內(nèi)垂直于交線的直線都垂直于平面，其它與交線不垂直的直線均不與平面垂直，故D項(xiàng)敘述是錯(cuò)誤的二、解答題3.（2011·江蘇高考·16）如圖，在四棱錐中，平面PAD平面ABCD，AB=AD，BAD=60°，E、F分別是AP、AD的中點(diǎn)求證：（1）直線EF平面PCD；（2）平面BEF平面PAD【思路點(diǎn)撥】本題證明的線面平行和面面垂直，解決的關(guān)鍵是根據(jù)線面平行和面面垂直的判定定理尋找需要的條件，注意要把所需的條件擺充分.【精講精析】(1) 在中，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫?PD平面,所以直線平面.(2)連結(jié)BD.因?yàn)椋?/p>

4、所以為等邊三角形.因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫嫫矫妫?又因?yàn)?所以.又因?yàn)?，所以平面平?4.（2011·新課標(biāo)全國高考理科·18）如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形.底面 .（I）證明：（II）設(shè)，求棱錐的高.【思路點(diǎn)撥】第(1)問,通過證明平面證明時(shí),可利用勾股定理，第（2）問，在中，可證邊上的高即為三棱錐的高，其長度利用等面積法可求.【精講精析】（ ）因?yàn)? 由余弦定理得 從而BD2+AD2= AB2，故BDAD.又PD底面ABCD，可得BDPD. 所以BD平面PAD. 故PABD（）過D作DEPB于E，由（I）知BCBD,又PD底面，所以BC平面PBD，

5、而DE平面PBD，故DEBC,所以DE平面PBC由題設(shè)知PD=1，則BD=,PB=2，由DEPB=PDBD得DE=,即棱錐的高為.5（2011·遼寧高考文科·18）（本小題滿分12分）如圖，四邊形ABCD為正方形，QA平面ABCD，PDQA，QA=AB=PD（I）證明：PQ平面DCQ；（II）求棱錐Q-ABCD的體積與棱錐P-DCQ的體積的比值【思路點(diǎn)撥】（I）；（II）設(shè)出正方形的邊長為，分別計(jì)算兩個(gè)棱錐的體積，再求體積的比值【精講精析】（I）由條件知為直角梯形因?yàn)镼A平面ABCD，所以平面平面ABCD，交線為又四邊形ABCD為正方形，所以平面，可得在直角梯形中可得，則所

6、以 6分（II）設(shè)由題設(shè)知為棱錐的高，所以棱錐的體積由（I）知為棱錐的高，而=，的面積為，所以棱錐的體積故棱錐Q-ABCD的體積與棱錐P-DCQ的體積的比值為1 12分6.（2011·廣東高考文科·18）圖5所示的幾何體是將高為2，底面半徑為1的直圓柱沿過軸的平面切開后，將其中一半沿切面向右水平平移后得到的. A，A，B，B分別為,的中點(diǎn)，分別為的中點(diǎn). （1）證明：四點(diǎn)共面；（2）設(shè)G為A A中點(diǎn)，延長到H，使得.證明：平面 【思路點(diǎn)撥】(1)證明，從而它們確定一個(gè)平面，這個(gè)四點(diǎn)同在此平面內(nèi).(2)作輔助線如圖，證，從而得結(jié)論.【精講精析】【證明】證明：（1）中點(diǎn)，連接B

7、O2直線BO2是由直線AO1平移得到 共面. （2）將AO1延長至H使得O1H=O1A，連接/由平移性質(zhì)得與HB平行且相等即求二面角的余弦值為.7.（2011·廣東高考理科·18）如圖5，在錐體中，是邊長為1的菱形，且，,分別是的中點(diǎn).（1） 證明：（2）求二面角的余弦值.【思路點(diǎn)撥】（1）證明ADEF， ADDE，從而證得；（2）取AD的中點(diǎn)G，連結(jié)PG、BG.，證PGB是所求二面角的平面角，在PGB中由余弦定理可求得所求二面角的余弦.【精講精析】（1）證明：取AD的中點(diǎn)G，連結(jié)PG、BG.PA=PD，ADPG.在ABG中，GAB=,AG=，AB=1, AGB=,即ADG

8、B.又PGGB=G，AD平面PGB，從而ADPB.分別是的中點(diǎn)，EF/PB，從而ADEF.又DE/GB，ADGB，ADDE,DEEF=E, .（2）由（1）知PGB是所求二面角的平面角.在PGB中，PG2=,BG=1sin600=,PB=2.由余弦定理得cosPGB=,8.（2011·山東高考文科·19）（本小題滿分12分）如圖，在四棱臺(tái)中，平面，底面是平行四邊形，60°（）證明：；（）證明：.【思路點(diǎn)撥】（I）本題考查線面垂直的判定定理，以及空間位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化思想，要證，可先證平面,只需證BD，BDAD由平面，所以BD，設(shè)AD=a，則AB=2a由余弦定理得：,所

9、以BD=，在由勾股定理的逆定理判斷BDAD.原命題得證.（II）本小題考查線面平行的判定，只需在平面A1BD內(nèi)找一條直線和CC1平行即可，因此可連結(jié)AC, A1C1,設(shè)，連結(jié)EA1 ，只要證CC1EA1即可.【精講精析】（）證明：因?yàn)椋栽O(shè)AD=a,則AB=2a,又因?yàn)?0°,所以在中,由余弦定理得：,所以BD=,所以,故BDAD,又因?yàn)槠矫?，所以BD,又因?yàn)? 所以平面,故.(II)連結(jié)AC, A1C1,設(shè)，連結(jié)EA1，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以由棱臺(tái)定義及AB=2AD=2A1B1知CC1EA1，又因?yàn)镋A1平面A1BD，CC1平面A1BD，所以. 9.（2011

10、83;北京高考文科·T17）（14分）如圖，在四面體PABCD中，點(diǎn)D,E,F,G分別是棱AP,AC,BC,PB的中點(diǎn).（）求證：DE/平面BCP；（）求證：四邊形DEFG為矩形；（）是否存在點(diǎn)Q，到四邊形PABCD六條棱的中點(diǎn)的距離相等？說明理由.AECFBGPD AECFBGPDMQN【思路點(diǎn)撥】（）利用線面平行的判定定理進(jìn)行證明；（）先證DEFG為平行四邊形，再證明相鄰兩邊垂直；（）假設(shè)存在，再證明.【精講精析】（）因?yàn)镈,E分別為AP,AC的中點(diǎn)，所以DE/PC.又因?yàn)镈E平面BCP，所以DE/平面BCP.()因?yàn)镈,E,F,G分別為AP,AC,BC,PB的中點(diǎn)，所以DE/P

11、C/FG , DG/AB/EF，所以四邊形DEFG為平行四邊形.又因?yàn)?所以.所以四邊形DEFG為矩形.（）存在點(diǎn)Q滿足條件，理由如下：連接DF,EG，設(shè)Q為EG的中點(diǎn)，由（）知，且，分別取PC,AB的中點(diǎn)M,N，連接ME,EN,NG,MG,MN.與（）同理，可證四邊形MENG為矩形，其對角線交點(diǎn)為EG的中點(diǎn)Q，且，所以Q為滿足條件的點(diǎn).10（2011·湖南高考文科T19）（本小題滿分12分）如圖3，在圓錐PO中，已知PO=，O的直徑AB=2，點(diǎn)C在上，且D為AC的中點(diǎn).（）證明：AC平面POD；（）求直線OC和平面PAC所成角的正弦值.【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了空間位置關(guān)系，考查空

12、間觀念和空間想象能力.首先考查空間垂直的證明，考查線面垂直，轉(zhuǎn)到線線垂直，考查線面垂直的判斷定理.再考查線面角的求法，求線面角要扣住定義法.另外解決立體幾何的方法有兩種：一是幾何法，主要考查思維能力.二是向量法，主要考查向量的運(yùn)用，而向量法又有兩種，一是坐標(biāo)法，二是基底法.【精講精析】（I）因?yàn)橛謨?nèi)的兩條相交直線，所以（II）由（I）知，又所以平面在平面中，過作則連結(jié)，則是上的射影，所以是直線和平面所成的角在在11.（2011·陜西高考文科·T16）（本小題滿分12分）如圖，在ABC中，ABC=45°，BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把ABD折起

13、，使BDC=90°.（）證明：平面ADB平面BDC；（）若BD=1，求三棱錐DABC的表面積.【思路點(diǎn)撥】（）確定圖形在折起前后的不變性質(zhì)，如角的大小不變，線段長度不變，線線關(guān)系不變，再由面面垂直的判定定理進(jìn)行推理證明；（）充分利用垂直所得的直角三角形，根據(jù)直角三角形的面積公式計(jì)算【精講精析】（）折起前AD是BC邊上的高， 當(dāng)ABD折起后，ADDC，ADDB，又DBDCD，AD平面BDC，又AD 平面BDC.平面ABD平面BDC（）由（）知，DA,DB=DA=DC=1，ABC= AB=BC=CA=,， 三棱錐D的表面積是12.（2011·天津高考文科·1

14、7）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為中點(diǎn)，平面，為中點(diǎn)（）證明：/平面；（）證明：平面；（）求直線與平面所成角的正切值【思路點(diǎn)撥】(1)證明 MO/PB;(2) 證明AD垂直于平面PAC內(nèi)的兩條相交直線PO、AC；(3) 取OD的中點(diǎn)N，證明即為所求的線面角，【精講精析】（）證明：連接BD，MO，在平行四邊形ABCD中，因?yàn)镺為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)為BD的中點(diǎn)，又M為PD的中點(diǎn)，所以PB/MO.因?yàn)槠矫鍭CM，平面ACM，所以PB/平面ACM.（）證明：因?yàn)?，且AD=AC=1，所以，即，又PO平面ABCD，平面ABCD，所以，所以平面PAC.（）取DO中點(diǎn)N，連接MN，AN，因?yàn)镸為PD的

15、中點(diǎn)，所以MN/PO，且平面ABCD，得平面ABCD，所以是直線AM與平面ABCD所成的角，在中，從而，在，即直線AM與平面ABCD所成角的正切值為13. （2011·浙江高考文科·20）（本題滿分14分）如圖，在三棱錐中，為的中點(diǎn)，平面，垂足落在線段上.（）證明：；（）已知，.求二面角的大小.【思路點(diǎn)撥】（1）小題只需把線線垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直問題；（2）利用二面角平面角的定義做出其平面角并在三角形中即可求解，本題主要考查點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，空間想象能力與運(yùn)算求解能力.【精講精析】（）證明：由AB=AC,D是BC的中點(diǎn)，得ADBC, 又PO平面ABC,得POBC. 因?yàn)镻OAD=0，所以BC平面PAD故BCPA.（）解：如圖，在