考點(diǎn)24數(shù)列求和及綜合應(yīng)用

1、圓學(xué)子夢(mèng)想 鑄金字品牌溫馨提示： 此題庫(kù)為Word版，請(qǐng)按住Ctrl,滑動(dòng)鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，點(diǎn)擊右上角的關(guān)閉按鈕可返回目錄。考點(diǎn)24 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用一、選擇題1.（2011·江西高考理科·5） 已知數(shù)列 的前項(xiàng)和滿足：+=，且=1，那么=( )A.1 B.9 C.10 D.55【思路點(diǎn)撥】【精講精析】選A.2.（2011·安徽高考文科·7）若數(shù)列的通項(xiàng)公式是n=(-1)n(3-2),則 （A）15 (B)12 （C）12 (D) 15【思路點(diǎn)撥】觀察數(shù)列的性質(zhì)，得到【精講精析】選A. 故二、填空題3.（2011·江蘇高

2、考·13）設(shè)，其中成公比為q的等比數(shù)列，成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是_【思路點(diǎn)撥】本題考查的是等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是找出等差數(shù)列與等比數(shù)列的結(jié)合點(diǎn)，從而找到q滿足的關(guān)系式，求得其最小值。【精講精析】答案：由題意：，而的最小值分別為1，2，3；。4.（2011·浙江高考文科·17）若數(shù)列中的最大項(xiàng)是第項(xiàng)，則=_.【思路點(diǎn)撥】可由不等式組解得.【精講精析】答案：4設(shè)最大項(xiàng)為第項(xiàng)，則由不等式組得,即,解得,故.三、解答題5.（2011·安徽高考理科·18）在數(shù)1和100之間插入個(gè)實(shí)數(shù)，使得這+2個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這

3、+2個(gè)數(shù)的乘積記作，再令，（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【思路點(diǎn)撥】本題將數(shù)列問(wèn)題和三角問(wèn)題結(jié)合在一起，解決此題需利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，及兩角差的正切公式等基本知識(shí).【精講精析】（）設(shè)這+2個(gè)數(shù)構(gòu)成的等比數(shù)列為，則，則，又所以 （）由題意和（）中計(jì)算結(jié)果，知另一方面，利用得 所以6.（2011·江蘇高考·20）設(shè)M為部分正整數(shù)組成的集合，數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和為，已知對(duì)任意整數(shù)kM，當(dāng)整數(shù)n>k時(shí)，都成立（1）設(shè)M=1，求的值；（2）設(shè)M=3，4，求數(shù)列的通項(xiàng)公式?！舅悸伏c(diǎn)撥】本題考查的是等差數(shù)列概念、和與通項(xiàng)關(guān)系，其中（1）問(wèn)較為容

4、易，（2）問(wèn)解決的關(guān)鍵是抓住題目的的轉(zhuǎn)化從中找到解決問(wèn)題的規(guī)律。【精講精析】由題設(shè)知，當(dāng)時(shí)，即，從而，又，故當(dāng)時(shí)，所以的值為8.(2) 由題設(shè)知, 當(dāng),且時(shí)，且，兩式相減得，即，所以當(dāng)時(shí)，成等差數(shù)列，且也成等差數(shù)列，從而當(dāng)時(shí)， ，且。 所以當(dāng)時(shí)，即，于是，當(dāng)時(shí)，成等差數(shù)列，從而，故由式知，即，當(dāng)時(shí)，設(shè)，當(dāng)時(shí)，從而由式知，故，從而，于是。因此，對(duì)任意都成立。又由（可知，故且。解得，從而，。因此，數(shù)列為等差數(shù)列，由知，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為。7.（2011·新課標(biāo)全國(guó)高考理科·17）等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且（)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）設(shè) 求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【思路點(diǎn)撥】第（1）問(wèn)可

5、由，聯(lián)立方程組求得和公比，從而求得的通項(xiàng)公式.第（2）問(wèn)中，需先利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)，再用裂項(xiàng)相消的方法求數(shù)列的前項(xiàng)和.【精講精析】（）設(shè)數(shù)列的公比為q，由得所以.由條件可知,故.由得，所以.故數(shù)列的通項(xiàng)式為=.（ ）.故,.所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為.8.（2011·新課標(biāo)全國(guó)高考文科·17）已知等比數(shù)列中，公比.（I）為的前項(xiàng)和，證明：（II）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【思路點(diǎn)撥】第（1）問(wèn)利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式和求和公式求出然后證明等式成立；（2）利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)，即得的通項(xiàng)公式.【精講精析】（I），（II）.數(shù)列的通項(xiàng)公式為=.9.（2011·廣東文科

6、83;T20）設(shè)b>0，數(shù)列滿足a1=b,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)證明：對(duì)于一切正整數(shù)n， b+1【思路點(diǎn)撥】（1）把題中條件變形為，構(gòu)造成為，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，求得的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式.（2）利用均值不等式證明.【精講精析】（1）【解】由已知得，當(dāng)時(shí)，上式變形為：，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得：，解得；當(dāng)時(shí)，有，即是首項(xiàng)公差均為1的等差數(shù)列，則.綜上所述.（2）【證明】方法一：當(dāng)只需綜上所述方法二：由（1）及題設(shè)知: 當(dāng)時(shí)，+1=2=2；當(dāng)時(shí)，而，即2，又，.綜上所述，對(duì)于一切正整數(shù)有.10.（2011·廣東高考理科·

7、20）設(shè)數(shù)列滿足.求數(shù)列的通項(xiàng)公式；證明：對(duì)于一切正整數(shù)n,【思路點(diǎn)撥】（1）把題中條件變形為，構(gòu)造成為，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，求得的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式.，或用猜想證明的方法解決.（2）利用均值不等式證明.【精講精析】（1）方法一：由已知得，兩邊同除以，整理得，當(dāng)時(shí)有： （）令，則是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.由等比數(shù)列通項(xiàng)公式得，即從而.當(dāng)時(shí)，有，即是首項(xiàng)與公差均為的等差數(shù)列，從而有，得.綜上所述方法二：（）當(dāng)時(shí)，是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，即，（）當(dāng)時(shí)，猜想，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，猜想顯然成立；假設(shè)當(dāng)時(shí)，則，所以當(dāng)時(shí)，猜想成立，由知，綜上所述（2）【證明】方法一：（）當(dāng)時(shí)， ，

8、故時(shí)，命題成立；（）當(dāng)時(shí)，以上n個(gè)式子相加得，故當(dāng)時(shí)，命題成立；綜上（）（）知命題成立方法二：由（1）及題設(shè)知: 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，而 ，即，又綜上所述：對(duì)于一切正整數(shù)n,.11.（2011·山東高考理科·20）（本小題滿分12分）等比數(shù)列中，分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.【思路點(diǎn)撥】（）由題意易知.由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式.（）由題意易知數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列，利用分組求和法，可以將奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分開來(lái)求解數(shù)列

9、的前n項(xiàng)和，但是要分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論【精講精析】（）由題意可知，公比，通項(xiàng)公式為；（）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)故另解：令，即則故.12.（2011·山東高考文科·20）（本小題滿分12分）等比數(shù)列中，分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若數(shù)列滿足：=，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【思路點(diǎn)撥】（I）由題意易知.由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式寫出數(shù)列.（II）由題意易知數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列，利用分組求和法，可以將奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分開來(lái)求解數(shù)列的前2n項(xiàng)和.【精講精析】（）由題意知,因?yàn)槭堑缺葦?shù)列

10、,所以公比為3,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.（）=, 所以=+13.（2011·遼寧高考理科·17）（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列an滿足a2=0，a6+a8= -10（I）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（II）求數(shù)列的前n項(xiàng)和【思路點(diǎn)撥】()先求首項(xiàng)和公差，再求通項(xiàng)公式；（）可利用錯(cuò)位相減法求和【精講精析】()設(shè)等差數(shù)列的公差為， 由已知條件可得故數(shù)列的通項(xiàng)公式為 5分 （）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，即=故=1，.所以，當(dāng)1時(shí)，=-=，所以=綜上，數(shù)列的前項(xiàng)和=. 12分14.（2011·北京高考理科·T20）(13分)若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為數(shù)列，記=.（）寫出一個(gè)滿足，且

11、的數(shù)列；（）若，n=2000，證明：E數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是=2011；（）對(duì)任意給定的整數(shù)n（n2），是否存在首項(xiàng)為0的E數(shù)列，使得=0？如果存在，寫出一個(gè)滿足條件的E數(shù)列；如果不存在，說(shuō)明理由.【思路點(diǎn)撥】（）寫出滿足條件的一個(gè)數(shù)列即可；（）分別證明必要性與充分性；（）先假設(shè)存在，看能否求出，求出即存在，求不出則不存在.【精講精析】（）0，1，2，1，0是一個(gè)滿足條件的E數(shù)列.（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一個(gè)滿足條件的E數(shù)列）（）必要性：因?yàn)镋數(shù)列是遞增數(shù)列，所以.所以是首項(xiàng)為12，公差為1的等差數(shù)列.所以.充分性：由于，所以，即.又因?yàn)?，所?故，即是遞增數(shù)列.綜上，結(jié)論得證

12、.（）令，則.因?yàn)?，所以因?yàn)?，所以為偶數(shù).所以為偶數(shù).所以要使，必須使為偶數(shù)，即4整除，亦即或當(dāng)時(shí)，E數(shù)列的項(xiàng)滿足 時(shí)，有；當(dāng)n=4m+1時(shí)，E數(shù)列的項(xiàng)滿足 時(shí)，有；當(dāng)n=4m+2或n=4m+3時(shí)，n(n-1)不能被4整除，此時(shí)不存在E數(shù)列，使得.15.（2011·北京高考文科·T20）(13分)若數(shù)列滿足，則稱為數(shù)列.記=.（）寫出一個(gè)E數(shù)列滿足（）若，n=2000，證明：E數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是=2011；（III）在的E數(shù)列中，求使得成立的n的最小值.【思路點(diǎn)撥】（）寫出滿足條件的一個(gè)數(shù)列即可；（）分別證明必要性與充分性；（）利用E數(shù)列的定義找出前面幾項(xiàng)的和與

13、0的關(guān)系，再求n的最小值.【精講精析】（）0，1，2，1，0是一個(gè)滿足條件的E數(shù)列.（答案不惟一，0，1，0，1，0也是一個(gè)滿足條件的E數(shù)列）（）必要性：因?yàn)镋數(shù)列是遞增數(shù)列，所以.所以是首項(xiàng)為12，公差為1的等差數(shù)列.所以.充分性：由于，所以，即.又因?yàn)?，所?故，即是遞增數(shù)列.綜上，結(jié)論得證.（）對(duì)首項(xiàng)為4的E數(shù)列由于，所以.所以對(duì)任意的首項(xiàng)為4的E數(shù)列，若，則必有.又的E數(shù)列：4，3，2，1，0，-1，-2，-3，-4滿足，所以n的最小值是9.16.（2011·湖南高考文科T20）（本小題滿分13分）某企業(yè)在第1年初購(gòu)買一臺(tái)價(jià)值為120萬(wàn)元的設(shè)備M，M的價(jià)值在使用過(guò)程中逐年減少

14、.從第2年到第6年，每年初M的價(jià)值比上年初減少10萬(wàn)元；從第7年開始，每年初M的價(jià)值為上年初的75%.（）求第n年初M的價(jià)值的表達(dá)式；（2）設(shè)大于80萬(wàn)元，則M繼續(xù)使用，否則須在第n年初對(duì)M更新.證明：須在第9年初對(duì)M更新.【思路點(diǎn)撥】本題考查學(xué)生運(yùn)用知識(shí)的能力，重點(diǎn)考查學(xué)生的以下能力：一是閱讀能力.二是轉(zhuǎn)化能力.三是表達(dá)能力.能否把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言的理解能力.四是解題能力.本題主要考查學(xué)生的閱讀能力和建模能力和運(yùn)算能力，閱讀后建立數(shù)列模型是關(guān)鍵.【精講精析】（I）當(dāng)時(shí)，數(shù)列是首項(xiàng)為120，公差為的等差數(shù)列 當(dāng)時(shí)，數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為為等比數(shù)列，又，所以 因此，第年初，M的價(jià)值的表達(dá)式

15、為(II)設(shè)表示數(shù)列的前項(xiàng)和，由等差及等比數(shù)列的求和公式得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因?yàn)槭沁f減數(shù)列，所以是遞減數(shù)列，又所以須在第9年初對(duì)M更新17.（2011·江西高考文科·21）（1）已知兩個(gè)等比數(shù)列，滿足，若數(shù)列唯一，求的值；（2）是否存在兩個(gè)等比數(shù)列，使得成公差不為的等差數(shù)列？若存在，求 ， 的通項(xiàng)公式；若不存在，說(shuō)明理由【思路點(diǎn)撥】（1）先將再根據(jù)，可得和的關(guān)系式，再根據(jù)數(shù)列的唯一性，知q必有一個(gè)值為0，代入可得a的值。(2)將再根據(jù)它們四個(gè)成等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得之間的關(guān)系，通過(guò)消參可得，即或，經(jīng)討論可得兩者都不符合題意?！揪v精析】解：（1）要唯一，當(dāng)公比時(shí)，由且，

16、 ，最少有一個(gè)根（有兩個(gè)根時(shí)，保證僅有一個(gè)正根），此時(shí)滿足條件的a有無(wú)數(shù)多個(gè)，不符合。當(dāng)公比時(shí)，等比數(shù)列首項(xiàng)為a，其余各項(xiàng)均為常數(shù)0，則唯一，此時(shí)由，可推得符合綜上：。（2）假設(shè)存在這樣的等比數(shù)列，則由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，整理得：要使該式成立，則=或此時(shí)數(shù)列，公差為0與題意不符，所以不存在這樣的等比數(shù)列。18.（2011天津高考文科T20）已知數(shù)列滿足 （）求的值； （）設(shè)，證明是等比數(shù)列； （）設(shè)為的前項(xiàng)和，證明【思路點(diǎn)撥】（1）的通項(xiàng)公式是常數(shù)，對(duì)n取值代入求值；（2）由的關(guān)系式，構(gòu)造是常數(shù)；由（2）求出的通項(xiàng)，得到的通項(xiàng)公式，再求和、放縮證明.【精講精析】 （）【解析】由可得又，當(dāng)當(dāng)

17、（）證明：對(duì)任意 -，得.所以是等比數(shù)列.（）證明：，由（）知，當(dāng)時(shí)，故對(duì)任意由得因此，于是，故19.（2011·浙江高考理科·19）（本題滿分14分）已知公差不為0的等差數(shù)列的首項(xiàng)為（R），設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列。（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及；（）記+， + + ，當(dāng)2時(shí)，試比較與的大小【思路點(diǎn)撥】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、求和公式、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，要注意待定系數(shù)法與分類討論思想的應(yīng)用?！揪v精析】（）解：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,由 得。因?yàn)?所以所以，（）解：因?yàn)?所以因?yàn)樗援?dāng)n2時(shí)，即所以，當(dāng)0時(shí)，；當(dāng)0時(shí)，。20.（2011·浙江高考文科·19）（本題滿分14分）已知公差不為0的等差數(shù)列的首項(xiàng)且成等比數(shù)列。（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）對(duì)，試比較與的大小【思路點(diǎn)撥】本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、求和公式、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，代入公式即可求解，要注意待定系數(shù)法與分類討論思想的應(yīng)用。【精講精析】（）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d,由 得。從而因?yàn)?所以故通項(xiàng)公式（）解：記因?yàn)?，所以，?dāng)