數(shù)學(xué)分析完整版本

1、.下一頁(yè)掌握定積分概念及基本性質(zhì)；掌握定積分概念及基本性質(zhì)；理解可積的充要條件、充分條件、必要條件；理解可積的充要條件、充分條件、必要條件；掌握積分中值定理、微積分基本定理、牛頓萊掌握積分中值定理、微積分基本定理、牛頓萊布尼茲公式；布尼茲公式；掌握定積分的計(jì)算方法（換元法、分部積公法掌握定積分的計(jì)算方法（換元法、分部積公法等）。等）。 教學(xué)目標(biāo)：教學(xué)目標(biāo)：第九章第九章 定積分定積分.定定積積分分概概念念的的引引入入 一 背景： 1. 曲邊梯形的面積: 2. 變力所作的功: 3. 函數(shù)的平均值: 4. 原函數(shù)的構(gòu)造型定義: 1 1 曲曲邊邊梯梯形形的的面面積積 中學(xué)里我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了正方形，三角形

2、，梯形等面積的計(jì)算，這些圖形有一個(gè)共同的特征：每條邊都是直線段。但我們生活與工程實(shí)際中經(jīng)常接觸的大都是曲邊圖形,他們的面積怎么計(jì)算呢？我們通常用一些小矩形面積的和來(lái)近似它。 1 定積分的概念定積分的概念.abxyoabxyo上面用九個(gè)小矩形近似的情況顯然比用四個(gè)小矩形近似的情況精度高，但這樣得到的仍然是曲邊圖形面積的近似值。如何求取曲邊圖形的準(zhǔn)確面積呢？ 比如舉世矚目的長(zhǎng)江三峽溢流壩，其斷面形狀是根據(jù)流體力學(xué)原理設(shè)計(jì)的，如圖 1 所示，上端一段是是拋物線，中間部分是直 .BACD 圖1 長(zhǎng)江三峽溢流壩斷面比如舉世矚目的長(zhǎng)江三峽溢流壩，其斷面形狀是根據(jù)流體力學(xué)原理設(shè)計(jì)的， 如圖1所示， 上端一段

3、是是拋物線， 中間部分是直線，下面部分是圓弧。建造這樣的大壩自 然要根據(jù)它的體積備料，計(jì)算它的體積就 需要盡可能準(zhǔn)確的計(jì)算出它的斷面面積。 該斷面最上面拋物線所圍的那一塊面積該 怎樣計(jì)算呢？在介紹微分定義 時(shí)我們已經(jīng)知道，直與曲雖然是一對(duì)矛盾 ，但它們可以相互轉(zhuǎn)化，早在三國(guó)時(shí)代， 我國(guó)古代代數(shù)學(xué)家劉徽就提出了“割圓術(shù)” .，以“直”代“曲”把圓的面積近似看成多邊形面積來(lái)計(jì)算?，F(xiàn)在我們我們來(lái)計(jì)算一下溢流壩上部斷面面積。 假設(shè)拋物線方程為 1,0 x,x1y2, 將 1,0 等分成 n等份，拋物線下面部分分割成 n 個(gè)小曲邊梯形第 i 個(gè)小曲邊梯形用寬為n1，高為 2ni1 的矩形代替， 21ni

4、n1.它的面積 n1)2n2i(1iS 所求的總面積 3226n13n22n1n1i2i3n11n1n1i)2n2i(1nS 我們分別取 n=10, 50, 100 用計(jì)算機(jī)把它的圖象畫出來(lái)，并計(jì)算出面積的近似值： clf, n=10; x=0:1/n:1; y=1-x.2; y1=1-x.2; .sn=sum(1/n)*(1-x.2), bar(x,y,m) sn = 0.7150 00.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.10.20.30.40.50.60.70.80.91n=10 情況.00.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.10.20.30

5、.40.50.60.70.80.91n=50 情況, S(50) = 0.6717.00.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.10.20.30.40.50.60.70.80.91S(100)=0.6717 n=100 情況 。S(10)= 0.7150; S(50)= 0.6766; S(100)=0.6717 6666. 0 。 分割越細(xì)，越接近面積準(zhǔn)確值 6666.0 。 .F(x)AB再看一個(gè)變力做功的問(wèn)題。 設(shè) 質(zhì)點(diǎn) m 受力)(xF 的作用，沿直線由 A 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 B 點(diǎn)，求變力)(xF作的功 F 雖然是變力，但在很短一段間隔內(nèi)x，F(xiàn) 的變化不大，可近似看作是常

6、力作功問(wèn)題。按照求曲邊梯形面積的思想， 1） 對(duì),ba作分割 bxxxxanii11.當(dāng)每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度都很小時(shí)，小區(qū)間 ,1iixx上的力 ,)(1iiiixxFF 在 ,1iixx上，力 F 作的功 iiixFW)( 2）求 和 力 F 在 ,ba 上作的功 niniiiixFWW11)( 分割越細(xì)，近似程度越高，分割無(wú)限細(xì)時(shí)，即分割細(xì)度0max|ixT 近似程度就無(wú)限高. .將這種方法用于一般的曲邊梯形：將這種方法用于一般的曲邊梯形：b,nx1nx2x1x0 xa內(nèi)插入若干個(gè)分點(diǎn)，ba,區(qū) 間在abxyoi ix1x1 ix1 nx;1,1,ixixixixixnba長(zhǎng)度為，個(gè)小區(qū)間分成

7、把區(qū)間，上任取一點(diǎn)在每個(gè)小區(qū)間iixix,1iiix)f( A為高的小矩形面積為為底，以)(,1ifixix上一頁(yè)下一頁(yè).iniixfA )(1 曲邊梯形面積的近似值為曲邊梯形面積的近似值為iniixfA )(lim10 時(shí)，趨近于零即小區(qū)間的最大長(zhǎng)度當(dāng)分割無(wú)限加細(xì))0(,max,21nxxx曲邊梯形面積為上一頁(yè)下一頁(yè)再演示一下這個(gè)過(guò)程.3） 取極限 對(duì)上面和式取極限， 極限值,就是力在 ,ba 上作的功。 從上面兩個(gè)例子看出，不管是求曲邊梯形的面積或是計(jì)算變力作的功，它們都?xì)w結(jié)為對(duì)問(wèn)題的某些量進(jìn)行“分割、近似求和、取極限”，或者說(shuō)都?xì)w結(jié)為形如 niiixf1)( 的和式極限問(wèn)題。我們把這些問(wèn)

8、題從具體的問(wèn)題中抽象出來(lái)，作為一個(gè)數(shù)學(xué)概念提出來(lái)就是今天要講的定積分。由此我們可以給定積分下一個(gè)定義 .定 義 設(shè) )(xf是 定 義 在 區(qū) 間,ba上 的 一 個(gè) 函 數(shù) ， 在 閉 區(qū) 間,ba上 任 取 n-1 個(gè) 分bxxxxanii11 把 a,b 分 成 n 個(gè) 小 閉 區(qū) 間 ， 我 們 稱 這 些 分 點(diǎn) 和 小 區(qū) 間 構(gòu) 成 的 一個(gè) 分 割 ， 用 T 表 示 , 分 割 的 細(xì) 度 用max|ixT表 示 ， 在 分 割 T所 屬 的 各 個(gè) 小 區(qū) 間 內(nèi) 各 取 一 點(diǎn),1iiixx稱 為 介 點(diǎn) ， 作 和 式 niiixf1)( 以 后 簡(jiǎn) 記 為 )(Tf

9、此 和 式 稱 為)(xf 在,ba上 屬 于 分 割 T 的 積 分 和 （ 或 黎 曼 和 ， 設(shè) J 是一 個(gè) 確 定 的 數(shù) ，若 對(duì) 任 意0總 存 在 某 個(gè)0，使 得 ,ba 上 的上的任何分割 T，只要它的細(xì)度| T，屬于分割 T 的所有積分和 )(Tf 都有 .|)(|JTf 則稱)(xf在,ba上可積，稱 J 為函數(shù))(xf在區(qū)間,ba上的定積分(或黎曼積分)，記作baf(x)dx 其中)(xf稱為積分函數(shù)， x 稱為積分變量，,ba稱為積分區(qū)間，ba ,分別稱為積分 的上限和下限。 利用積分的定義，前面提到曲邊梯形面積可簡(jiǎn)潔的表示為 badxxfS)( 變力作功問(wèn)題可表示

10、為 badxxFW)(.例 用定義求積分 1021xdx. 解 分法與介點(diǎn)集選法如例 1 , 有 1021xdxnlimninni12111nlimniinn122 . 上式最后的極限求不出來(lái), 但卻表明該極限值就是積分1021xdx. 三理解定積分定義要注意以下三點(diǎn)： 1）定積分定義與我們前面講的函數(shù)極限的“”定義形式上非常相似，但是兩者之間還是有很大差別的。對(duì)于定積分來(lái)說(shuō)，給定了細(xì)度|T以后，積分和并不唯一確定，同一細(xì)度分割由無(wú)窮 . 學(xué)習(xí)定積分，不僅要理解、記住定積分的定義，還要學(xué)習(xí)建立定積分概念學(xué)習(xí)定積分，不僅要理解、記住定積分的定義，還要學(xué)習(xí)建立定積分概念的基本思想，我們以后的學(xué)習(xí)中

11、還會(huì)遇到其它類型的積分，比如勒貝格積分、的基本思想，我們以后的學(xué)習(xí)中還會(huì)遇到其它類型的積分，比如勒貝格積分、斯蒂疌斯積分等，只要理解了定積分的思想，其他類型的積分就很容易理解了。斯蒂疌斯積分等，只要理解了定積分的思想，其他類型的積分就很容易理解了?，F(xiàn)在我們?cè)賮?lái)總結(jié)一下定積分建立的的思想和方法：從定積分的實(shí)例和概念中現(xiàn)在我們?cè)賮?lái)總結(jié)一下定積分建立的的思想和方法：從定積分的實(shí)例和概念中看到定積分的基本思想是：首先作分割然后用看到定積分的基本思想是：首先作分割然后用“直直”的長(zhǎng)方形去近似代替小曲邊的長(zhǎng)方形去近似代替小曲邊梯形，以梯形，以“直直” 代代“曲曲”；然后把所有長(zhǎng)方形加起來(lái)，近似求和，得到曲

12、邊梯形；然后把所有長(zhǎng)方形加起來(lái)，近似求和，得到曲邊梯形面面積的一個(gè)近似值；當(dāng)分割無(wú)限加細(xì)時(shí)，就得到曲邊梯形的準(zhǔn)確值，即積的一個(gè)近似值；當(dāng)分割無(wú)限加細(xì)時(shí)，就得到曲邊梯形的準(zhǔn)確值，即badxxf)(，這時(shí)又從，這時(shí)又從“直直”回到了回到了“曲曲”。“分割、近似求和、取極限分割、近似求和、取極限”是定積分的核心是定積分的核心思想。思想。四四小結(jié)小結(jié)：返回.觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系1, 0,3xyxy.觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面

13、積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系1,0,3xyxy.觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系1, 0,3xyxy.觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系1, 0,3xyxy.觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系1,0,3xyxy.觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和

14、與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系1,0,3xyxy. 應(yīng)該說(shuō)定積分的思想最早產(chǎn)生于中國(guó)，三國(guó)時(shí)候應(yīng)該說(shuō)定積分的思想最早產(chǎn)生于中國(guó)，三國(guó)時(shí)候（263 年），我國(guó)科學(xué)家劉徽就提出了年），我國(guó)科學(xué)家劉徽就提出了“割圓術(shù)割圓術(shù)”方法，方法，他把圓的面積用正多邊形面積來(lái)近似代替，算出了他把圓的面積用正多邊形面積來(lái)近似代替，算出了 （稱徽（稱徽 率）。劉徽所說(shuō)的率）。劉徽所說(shuō)的“割只彌細(xì)，所失彌割只彌細(xì)，所失彌小，割之又割，以之不可割，則與圓合體而無(wú)所失矣小，割之又割，以之不可割，則與圓合體而無(wú)所失矣”14. 3返回 劉 徽 祖沖之，這正是定積分的核心思想。南北朝時(shí)我國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖沖之（

15、這正是定積分的核心思想。南北朝時(shí)我國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖沖之（429-500）在）在綴術(shù)綴術(shù)一書一書 中又求得中又求得 在在 與與 之間之間 ”，比歐洲最早得出這，比歐洲最早得出這個(gè)近似值的德人鄂圖早個(gè)近似值的德人鄂圖早1100余年余年1415926.31415927.3. 英國(guó)數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家出生在一個(gè)農(nóng)民家庭，出生前父親就去世了，三歲母親改嫁，由外祖母撫養(yǎng)。1661年入劍橋大學(xué)，1665年獲學(xué)士學(xué)位，1668年獲碩士學(xué)位。由于他出色的成就，1669年巴魯（Barrow）把數(shù)學(xué)教授的職位讓給年僅26歲的牛頓。1703 年被選為英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)長(zhǎng)。牛頓一生成就輝煌，堪稱科學(xué)巨匠。最突出的有四項(xiàng)重大貢獻(xiàn)：

16、創(chuàng)立微積分，為近代數(shù)學(xué)奠定了基礎(chǔ)，推動(dòng)了整個(gè)科學(xué)技術(shù)的發(fā)展。他發(fā)現(xiàn)了力學(xué)三大定律，為經(jīng)典力學(xué)奠定了基礎(chǔ)；他發(fā)現(xiàn)了萬(wàn)有引力為近代天文學(xué)奠定了基礎(chǔ)；他對(duì)光譜分析的實(shí)驗(yàn)，為近代光學(xué)奠定了基礎(chǔ) 。他的巨著自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理影響深遠(yuǎn)，他被公認(rèn)為歷史上偉大的科學(xué)家。可惜他晚年研究神學(xué)，走了彎路。 牛牛 頓（頓（I.Newton 1642.12.251727.3.3）. 黎 曼（B.Riemann 1826.9.17-1866.7.20） 德國(guó)數(shù)學(xué)家，出生在德國(guó)一個(gè)鄉(xiāng)村牧師家庭，在哥廷根大學(xué) 和柏林大學(xué)學(xué)習(xí)，1851年獲博士學(xué)位1859年任教授，1886年 因肺結(jié)核去世。他四十年的生涯中，在數(shù)學(xué)許多分支，都

17、作 出了劃時(shí)代貢獻(xiàn)。他在1851年的博士論文“復(fù)變函數(shù)論的基礎(chǔ)” 給出了保角影射的基本定理，是幾何函數(shù)論的基礎(chǔ)，1854年 定義了黎曼積分，又提出了關(guān)于三角級(jí)數(shù)收斂的黎曼條件。同年在他的另一篇論文中引入n維流形和黎曼空間的概念，并定義了黎曼空間的曲率，開辟了幾何學(xué)的新領(lǐng)域。1857年他在關(guān)于阿貝爾函數(shù)的論文中，引入了黎曼面概念，奠定了復(fù)變函數(shù)的幾何理論基礎(chǔ)，1858年他關(guān)于素?cái)?shù)分布的論文，用黎曼函數(shù)論述了素?cái)?shù)的分布，開辟了解吸函數(shù)論。在此論文中還提出了柯西函數(shù)零點(diǎn)分布的黎曼猜想，至盡還未解決。他在非歐幾何、偏微分方程、理論物理、橢圓函數(shù)論等方面都有杰出貢獻(xiàn)，不愧是一位具有開拓精神的偉大數(shù)學(xué)家。

18、.小知識(shí)：中國(guó)古代數(shù)學(xué)對(duì)微積分創(chuàng)立的貢獻(xiàn)微積分的產(chǎn)生一般分為三個(gè)階段：極限概念；求積的無(wú)限小方法；積分與微分的互逆關(guān)系 。最后一步是由牛頓、萊布尼茲完成的。前兩階段的工作，歐洲的大批數(shù)學(xué)家一直追朔到古希臘的阿基米德都作出了各自的貢獻(xiàn)。對(duì)于這方面的工作，古代中國(guó)毫不遜色于西方，微積分思想在古代中國(guó)早有萌芽，甚至是古希臘數(shù)學(xué)不能比擬的。公元前7世紀(jì)老莊哲學(xué)中就有無(wú)限可分性和極限思想；公元前4世紀(jì)墨經(jīng)中有了有窮、無(wú)窮、無(wú)限?。ㄗ钚o(wú)內(nèi)）、無(wú)窮大（最大無(wú)外）的定義和極限、瞬時(shí)等概念。劉徽公元263年首創(chuàng)的割圓術(shù)求圓面積和方錐體積，求得 圓周率約等于3 .1416，他的極限思想和無(wú)窮小方法，是世界古代極限思想的深刻體現(xiàn)。微積分思想雖然可追朔古希臘，但它的概念和法則卻是16世紀(jì)下半葉，開普勒、卡瓦列利等求積的不可分量思想和方法基礎(chǔ)上產(chǎn)生和發(fā)展起來(lái)的。而這些思想和方法從劉徽對(duì)圓錐、圓臺(tái)、圓柱的體積公式的證明到公元5世紀(jì)祖恒求球體積的方法中都可找到。北宋大科學(xué)家沈括的夢(mèng)溪筆談獨(dú)創(chuàng)了“隙積術(shù)”、“會(huì)圓術(shù)”和“棋局都數(shù)術(shù)”開創(chuàng)了對(duì)高階等差級(jí)數(shù)求和的研究。特別是13世紀(jì)40年代到14世紀(jì)初，在主要領(lǐng)域都達(dá)到了中國(guó)古代數(shù)學(xué)的高峰，出現(xiàn)了現(xiàn)通稱賈憲三角形的“開方作法本源圖”和增乘開