安康學(xué)院2011級(jí)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)高等代數(shù)2試題A答案

1、2012-2013學(xué)年第一學(xué)期期末考試答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)高等代數(shù)2（A）卷命題教師：杜貴春任課教師：杜貴春 課程代碼：22701105適用班級(jí)：2011級(jí)數(shù)本 教研室主任審核(簽名)：教學(xué)主任(簽名)：題 號(hào)一二三四五總分分 值1515104218100一、 單項(xiàng)（每小題3分，共15分）1. 下面關(guān)于向量組極大無(wú)關(guān)組的結(jié)論, 正確的個(gè)數(shù)有 【 B 】() 任何向量組都有極大無(wú)關(guān)組； () 任何有限個(gè)不全為零的向量組都有極大無(wú)關(guān)組； () 若極大無(wú)關(guān)組存在則必唯一； () 極大無(wú)關(guān)組存在不唯一, 但彼此等價(jià) A1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)2.已知f(x)=x-2x-1,方陣A的特征值為1，0，

2、-1，則f(A)的特征值為 【 C 】 A. 2， 1，-2； B. -2，-1，-2；C. -2，-1，2； D. 2， 0，-2.3.設(shè)，是歐氏空間V的兩個(gè)非零向量，且，的夾角=arcos(-),則 【 A 】 A. =120； B. =60； C. =-60； D. =240.4. 設(shè)是維向量空間的線性變換，那么下列錯(cuò)誤的說(shuō)法是 【 D 】A. 是單射的核=； B.是滿射的秩=； C是可逆的核=； D.是雙射是單位變換.5. 下列向量組中，構(gòu)成歐氏空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基的是 【 B 】A. B. C. D. 二、（每小題3分，共15分）三、1. 向量組=(1,2,3),=(-1,0,1),=(

3、0,2,4) 生成的子空間L（，）的維數(shù)是_2_.2.設(shè)，則向量是A的屬于特征根 4 的特征向量3設(shè)三階方陣A的特征多項(xiàng)式為，則 -8 4A,B為階正交矩陣，且|A|>0,|B|<0，則|AB|= -1 5. 若A既為實(shí)對(duì)稱矩陣又為正交矩陣，則=_ A _. 三、（正確在題號(hào)后括號(hào)內(nèi)填寫“T”,錯(cuò)誤的填寫“F”）（每小題2分，共10分）1.數(shù)域P上的每一個(gè)向量空間都有基和維數(shù). （ F ）2.相似矩陣有相同的跡. （ T ）3.線性變換把線性無(wú)關(guān)的向量組變成線性無(wú)關(guān)的向量組. （ F ）4. 歐氏空間V上的對(duì)稱變換在任意基下的矩陣為對(duì)稱矩陣. （ F ）5. 歐氏空間V上的正交變換

4、關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)正交基的矩陣為正交矩陣. ( T )四、計(jì)算題（第1小題12分，第2小題14分，第3小題16分，共42分）1.在線性空間P中，求由基=（1，1，1，1），=（1，1，-1，-1），=（1，-1，1，-1），=（1，-1，-1，1）到基=（1，1，0，1），=（2，1，3，1），=（1，1，0，0），=（0，1，-1，-1）的過(guò)渡矩陣，并求向量=（1，0，0，-1）在基，下的坐標(biāo).解 記M=（，）=， （3分）N=（，）=，并記所求過(guò)渡矩陣為A，則有 A=MN=. （5分）=（1，0，0，-1）在基，下的坐標(biāo)是N=. （4分）2設(shè)與相似（1）求的值；（2）求可逆矩陣T，使解：(1)易見(jiàn)B

5、的特征根為2,2,b.設(shè)A的特征根為,則又A與B相似知它們有相同的特征根,從而 Tr(A)= =5+a=4+b=Tr(B),即有 a-b=-1 又由 |A|=6(a-1)= =4b=|B|,得 （3分）3a-2b=3 綜合,兩式,得a=5,b=6. （3分）(2)將a=5代入矩陣A,現(xiàn)已知矩陣A的特征根為2,2,6.矩陣A的屬于特征根2的特征向量是齊次線性方程組 (2I-A)x=0,即 = 的非零解,為 ,且不同時(shí)為零.矩陣A的屬于特征根6的特征向量為齊次線性方程組(6I-A)x=0,即 =的非零解,為 （5分）于是取 ,則T可逆,且有=. （3分） 3已知二次型通過(guò)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，求的值

6、及所作的正交變換解 所給二次型的矩陣為A=,由已知,A的特征根為1,2,5.而A的特征多項(xiàng)式 f(x)=(x-2)(x-6x+9-a),結(jié)合A的特征根為1,2,5易知, 9-a=5, 而a>0,所以a=2.于是A=. （5分）經(jīng)計(jì)算,取特征根1的特征子空間的一個(gè)基為 =(0,-1,1);特征根2的特征子空間的基為=(1,0,0,); 特征根5的特征子空間的一個(gè)基為=(0,1,1),由于特征根互不相同,所以這3個(gè)特征向量相互正交.將其單位化得 =(0,-, ),= (1,0,0,),=(0, ,).現(xiàn)令 （7分）U=,則U為正交矩陣.作正交變換X=UY,即可把二次型 化為標(biāo)準(zhǔn)形. （4分）

7、五、證明題（每小題9分，共18分）1. 已知為歐氏空間V上的對(duì)稱變換,證明的不變子空間W的正交補(bǔ)W也是的不變子空間.證明：設(shè) W,要證()W,即()W.任取W,有()W.因W,故 (,()=0. （3分）因此(),)=(,()=0. （3分）即()W, ()W, 這就證明了W也是的不變子空間. （3分）2.設(shè)，是線性變換的兩個(gè)不同的特征值，是分別屬于，的特征向量，證明：+不是的特征向量. 證明：如果線性空間V的線性變換以V中每個(gè)非零向量作為它的特征向量，那么是數(shù)乘變換.證明：用反證法.設(shè)（+）=（+）， 但 （+）=（）+（）=+，故 （+）=+，于是 （-）+（-）=0. （3分）由于，互不相同，所以，是線性無(wú)關(guān)的，從而有-=-=0