實(shí)驗(yàn)八微分方程

1、【實(shí)驗(yàn)八】 微分方程【實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹?通過實(shí)驗(yàn)，學(xué)習(xí)在Mathematica系統(tǒng)下求微分方程的通解和數(shù)值解；畫出由微分方程通解所決定的積分曲線族；掌握在Mathematica系統(tǒng)下利用微分方程解決有關(guān)實(shí)際問題的方法.【實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備】一、微分方程的通解在Mathematica系統(tǒng)下利用命令求微分方程的通解、特解以及解微分方程組，其調(diào)用格式如下：命令意義求微分方程的通解.求微分方程的特解.求微分方程組的通解.求微分方程組的特解.注：(1)在上面命令中，由于是的函數(shù)，因此函數(shù)以完整的形式表示. (2)在使用前要用命令清除變量以前的定義.例1 求微分方程的通解，并畫出由通解決定的積分曲線族.解 (1)求微分方

2、程的通解：In1:= Out1:= (2)畫出積分曲線族：由于Out1所輸出的微分方程的通解含有獨(dú)立的常數(shù)，因此在畫積分曲線時(shí)，首先用命令作出在指定的范圍后所得微分方程的一組特解的圖形，然后利用 ()命令將生成這組圖形，并在同一坐標(biāo)系下顯示.In2:= Out2:= In3:= Out3:= 注：在In3中c，-6，6，1表示c從-6到6每增加1取一個(gè)值.例2 求方程的通解，并畫出由通解決定的積分曲線族.解 In1:= Out1:= In2:= Out2:= In3:= Out3:= 例3 求方程滿足初始條件，的特解，并畫出由該特解所決定的積分曲線.解 In1:= Out1:= In2:= O

3、ut2:= 例4 求微分方程組 ，當(dāng)，時(shí)的特解.解 In1:= Out1:= 二、微分方程的數(shù)值解雖然許多微分方程無法求得其通解，但是，只要微分方程式含有初值問題，且屬于常微分方程式，則可以用命令求得該微分方程的數(shù)值解.由于的輸出微分方程的數(shù)值解是，是數(shù)值解的定義區(qū)間.因此，我們可以根據(jù)函數(shù)查詢某一點(diǎn)的函數(shù)值. 命令的調(diào)用格式如下：命令意義 求微分方程的數(shù)值解.求微分方程組的數(shù)值解.選擇項(xiàng)命令意義表示數(shù)值解的精確度為.最大步數(shù).最大步長.注：用求出數(shù)值解后可用下面命令畫出積分曲線：例5 在區(qū)間0, 10上求微分方程在處的數(shù)值解，精確到，并作出數(shù)值解的積分曲線. In1:= Out1:= In2

4、:= Out2:= In3:= Out3:= 【實(shí)驗(yàn)問題】牛頓加熱與冷卻定律：一塊熱的物體，溫度下降的速度與其自身溫度同外界溫度的差值成正比；一塊冷的物體，溫度上升的速度與其自身溫度同外界溫度的差值成正比.問題：當(dāng)一謀殺案發(fā)生后，尸體的溫度從原來的 開始變涼，假設(shè)兩個(gè)小時(shí)后尸體溫度變?yōu)椋⑶以O(shè)周圍空氣溫度保持不變. 1.求自謀殺發(fā)生后，尸體溫度是如何作為(小時(shí))的函數(shù)而變化的； 2.畫出溫度時(shí)間曲線； 3.尸體最終的溫度將如何；4.若尸體被發(fā)現(xiàn)時(shí)的溫度是，時(shí)間是下午4時(shí)，則謀殺案何時(shí)發(fā)生.模型建立：設(shè)尸體在時(shí)刻的溫度為，則溫度的變化速度為，由于熱量總是從溫度高的物體向溫度低的物體傳導(dǎo)，從而使得

5、尸體是隨時(shí)間的增加而逐漸冷卻的，因此恒為負(fù)值.在初始時(shí)刻時(shí)，尸體的溫度是，并且周圍空氣溫度保持 不變.由牛頓冷卻定律：其中：是比例常數(shù). 計(jì)算過程：(1)求In1:= Out1:= 將，代入，求出比例常數(shù)的數(shù)值解.In2:= Out2:= 因而得到 (2)作出溫度時(shí)間曲線圖In3:= ;In4:= Out4:= (3)考察100小時(shí)、1000小時(shí)、10000小時(shí)、后尸體的溫度In5:= Out5:= In6:= Out6:= In7:= Out7:= 結(jié)論：尸體的最終溫度為.(4)將溫度代入求時(shí)刻：In8:= Out8:= 謀殺案大約發(fā)生在發(fā)現(xiàn)尸體8.5小時(shí)以前，即在上午7:30左右.【實(shí)驗(yàn)任務(wù)】一、求下列微分方程的通解.1.； 2.； 3. .二、求下列微分方程滿足初始條件的特解1.，；2. ，.三、放射性廢料的處理問題美國原子能委員會(huì)以往處理濃縮的放射性廢料的方法是：把這些廢料裝入密封的圓桶里，然后扔到水深為90多米的海底.生態(tài)學(xué)家和科學(xué)家們擔(dān)心圓桶下沉到海底時(shí)與海底碰撞而發(fā)生破裂，從而造成核污染. 原子能委員會(huì)認(rèn)為這種說法是不可能的.為此工程師們進(jìn)行了碰撞試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓桶下沉速度超過12.2m/s與海底碰撞時(shí)，圓桶就有可能發(fā)生破裂.為了避免圓桶被碰裂，需要計(jì)算圓桶沉到海底時(shí)的速度是多少？這時(shí)已知圓桶重量是