六方最密堆積中正八面體空隙和正四面體空隙

1、六方最密堆積中正八面體空隙和正四面體空隙中心的分?jǐn)?shù)坐標(biāo)等徑圓球緊密排列形成密置層，如下圖。在密置層內(nèi)，每個(gè)圓球周圍有六個(gè)球與它相切。相切的每三個(gè)球又圍出一個(gè)三角形空隙。仔細(xì)觀察這些三角形空隙，一排尖向上，接著下面一排尖向下，交替排列。而每個(gè)圓球與它周圍的六個(gè)球圍出的六個(gè)三角形空隙中，有三個(gè)尖向上，另外三個(gè)尖向下。如下圖，我們?cè)谶@里將尖向上的三角形空隙記為B，尖向下的三角形空隙記為C。第二密置層的球放在B之上，第三密置層的球投影在C中，三層完成一個(gè)周期。這樣的最密堆積方式叫做立方最密堆積ccp，記為 A1型，形成面心立方晶胞。假設(shè)第三密置層的球投影與第一密置層的球重合，兩層完成一個(gè)周期。這樣的最

2、密堆積方式叫做六方最密堆積hcp，記為A3型，形成六方晶胞，如下圖。在這兩種堆積方式中，任何四個(gè)相切的球圍成一個(gè)正四面體空隙；另外，相切的三個(gè)球如果與另一密置層相切的三個(gè)球空隙對(duì)應(yīng)，它們六個(gè)球?qū)梢粋€(gè)正八面體空隙。也就是說(shuō)，圍成正八面體空隙的這六個(gè)球可以分為相鄰的兩層，每層的正三角形中心的連線垂直于正三角形所在的密置層，參看下列圖，黑色代表的不是球而是正八面體的中心。在這兩種最密堆積方式中，每個(gè)球與同一密置層的六個(gè)球相切，同時(shí)與上一層的三個(gè)球和下一層的三個(gè)球相切，即每個(gè)球與周圍十二個(gè)球相切配位數(shù)為12。中心這個(gè)球與周圍的球圍出八個(gè)正四面體空隙，平均分?jǐn)偟矫總€(gè)正四面體空隙的是八分之一個(gè)球。這樣

3、，每個(gè)正四面體空隙分?jǐn)偟降那驍?shù)是四個(gè)八分之一，即半個(gè)。中心這個(gè)球周圍還圍出六個(gè)八面體空隙，它平均分?jǐn)偟矫總€(gè)正八面體空隙的是六分之一個(gè)球。這樣，每個(gè)正八面體空隙分?jǐn)偟降那驍?shù)是六個(gè)六分之一，即一個(gè)?？傊@兩種最密堆積中，球數(shù) : 正八面體空隙數(shù) : 正四面體空隙數(shù) = 1:1:2 。面心立方最密堆積ccp， A1型中正八面體空隙和正四面體空隙的問題比擬簡(jiǎn)單、直觀。下面我們集中討論六方最密堆積hcp，A3型中正八面體空隙和正四面體空隙中心的分?jǐn)?shù)坐標(biāo)。在六方最密堆積中畫出一個(gè)六方晶胞，如下面兩幅圖所示。 平均每個(gè)六方晶胞中有兩個(gè)正八面體空隙，如下面兩幅圖所示?？障吨行牡姆?jǐn)?shù)坐標(biāo)分別為：2/3,1/3

4、,1/4，2/3,1/3,3/4。 對(duì)于正四面體空隙，存在這樣一個(gè)問題，即正四面體的中心到它的底面的距離是它的高的多少倍？解法一分體積法：以正四面體的中心O為頂點(diǎn)，以正四面體的四個(gè)面為底面將正四面體平均分為四個(gè)等體積的小三棱錐，小三棱錐的高為OH，那么有：即正四面體的中心到底面的距離是它的高的四分之一。解法二立方體法： 將正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)放在立方體相隔的四個(gè)頂點(diǎn)。設(shè)立方體的邊長(zhǎng)為1，那么正四面體的邊長(zhǎng)為，正四面體的高為。由于立方體的體對(duì)角線為，所以正四面體的中心即立方體的中心到它的底面的距離與它的高之比為：解法三外接球法：如圖，設(shè)正四面體的邊長(zhǎng)為1，那么即正四面體的中心到底面的距離是它的高的

5、四分之一。解法四正弦定理法：如圖，正四面體中心到兩個(gè)頂點(diǎn)之間的夾角為109.47°，等腰三角形的另兩個(gè)角為35.27°。根據(jù)正弦定理即可求解。下面我們來(lái)找出六方最密堆積一個(gè)晶胞中的所有正四面體。 六方晶胞內(nèi)中間層的一個(gè)球與上面三個(gè)球和下面三個(gè)球各圍成一個(gè)正四面體空隙，空隙中心的分?jǐn)?shù)坐標(biāo)分別是：1/3,2/3,1/8，1/3,2/3,7/8。另外在每個(gè)棱上，晶胞頂點(diǎn)的八個(gè)球分別與中間層的球圍成正四面體空隙，這些空隙平均只有四分之一在這個(gè)晶胞內(nèi)，八個(gè)四分之一共為兩個(gè)。空隙中心的分?jǐn)?shù)坐標(biāo)分別是：0,0,3/8，0,0,5/8。四個(gè)坐標(biāo)說(shuō)明正四面體空隙共有四個(gè)。用體積模型示意圖來(lái)看各種空隙也是很有意思的。請(qǐng)看左圖。在六方硫化鋅中，硫離子呈六方密堆積，鋅離子填入空隙。鋅離子填入的是什么空隙？正四面體還是正八面體？是否