大學(xué)高數(shù)曲面積分題

1、第二十章 曲線積分§1 第一型曲線積分1.計算下列第一型曲線積分：（1），其中是以為頂點的三角形；（2），其中是以原點為圓心，為半徑的右半圓周；（3），其中是橢圓在第一象限中的部分；（4），其中是單位圓周；（5），其中為螺旋線的一段；（6），其中是曲線的一段；（7），其中是與相交的圓周. 解 （1）；（2）右半圓的參數(shù)方程為：所以 ；（3）由于橢圓在第一象限中的部分可表示為，(),從而 所以 ；（4）由于圓的參數(shù)方程為：，所以；（5）；（6）；（7）截線為，所以.2. 求曲線的質(zhì)量，設(shè)其線密度為. 解 曲線質(zhì)量為.3. 求擺線的重心，設(shè)其質(zhì)量分布是均勻的. 解 設(shè)擺線的線密度為，由于

2、，從而其質(zhì)量為，故其重心坐標(biāo)為；.4. 若曲線以極坐標(biāo)表示，試給出計算的公式，并用此公式計算下列曲線積分：（1），其中為曲線的一段；（2），其中為對數(shù)螺線在圓內(nèi)的部分. 解 因為的參數(shù)方程為且.所以.（1）；（2）.若記 ，則 于是，故.5. 證明：若函數(shù)在光滑曲線上連續(xù)，則存在點，使得，其中為的弧長.證 由于函數(shù)在光滑曲線上連續(xù)，從而曲線積分存在，且又在上連續(xù)，為光滑曲線，所以與在上連續(xù)，由積分中值定理知：存在，使.令，顯然點，且.§2 第二型曲線積分1. 計算第二型曲線積分：（1），其中為本節(jié)例2中的三種情況；（2），其中為擺線沿增加方向的一段；（3），其中為圓周，依逆時針方向；

3、（4），其中為與軸所圍的閉曲線，依順時針方向；（5），其中：從到的直線段. 解 （1）若積分沿拋物線：（），則；若積分沿直線：（），則.若積分沿封閉曲線，在一段上，；在一段上，；在一段上，沿從到.且 ，.因此.（2）由于，從而 .（3）由于圓的參數(shù)方程為：，所以.（4）.（5）直線的參數(shù)方程為（）.2. 設(shè)質(zhì)點受力作用，力的反方向指向原點，大小與質(zhì)點離原點的距離成正比.若質(zhì)點由沿橢圓移動到，求力所作的功. 解 橢圓的參數(shù)方程為：，而 .則力所作的功.3. 設(shè)一質(zhì)點受力作用，力的方向指向原點，大小與質(zhì)點到平面的距離成反比.若質(zhì)點沿直線從沿橢圓移動到，求力所作的功. 解 由于力的方向指向原點，故其

4、方向余弦為其中.所以力的三個分力為.從而力所作的功.4. 證明曲線積分的估計式：其中為的弧長，. 利用上述不等式估計積分.并證明. 證 （1）因為，且，從而（2）因為，則由（1）得則，故.5. 計算沿空間曲線的第二型曲線積分：（1），其中：與相交的圓，其方向按曲線依次經(jīng)過1，2，7，8卦限；（2），其中為球面在第一卦限部分的邊界曲線，其方向按曲線依次經(jīng)過平面部分，平面部分和平面部分. 解 （1）曲線的參數(shù)方程為，且從0增加到時，曲線依次經(jīng)過1，2，7，8卦限，所以.（2）球面在第一卦限部分的邊界曲線由三部分； ；組成.而 ，同理 ，.所以.總 練 習(xí) 題1. 計算下列曲線積分：（1），其中是由

5、和所圍的閉曲線；（2），其中為雙紐線；（3），其中為圓錐螺線，；（4），為以為半徑，圓心在原點的右半圓周從最上面一點到最下面一點；（5），為拋物線，從到的一段；（6），是維維安尼曲線，若從軸正向看去，是沿逆時針方向進行的. 解 （1）是由與及三部分組成.故.（2）由于的極坐標(biāo)方程為，且.利用對稱性得.（3）由于,所以 .（4）由于圓的參數(shù)方程為：，且點與對應(yīng)，點與對應(yīng).故；（5）.（6）曲線的參數(shù)方程為，則.2. 設(shè)為連續(xù)函數(shù)，試就如下曲線：（1）：連接的直線段；（2）：連接三點的三角形（逆時針方向），計算下列積分：. 解 （1）連接的直線段的方程為，則 ；.（2）連接的直線段的方程為，則；，.連接的直線段的方程為，則；，,從而；, .3. 設(shè)為定義在平面曲線弧段上的非負連續(xù)函數(shù)，且在上恒大于零.（1）試證明;（2）試問在相同條件下，第二型曲線積分是否成立？為什么？ 證 （1）證 由題設(shè)存在使得，令，由連續(xù)函數(shù)的局部保號性知：存在，使得對一切 ，有.又由于為定義在平面曲線弧段上的恒大于零的連續(xù)函